2016年高考数学（理科）真题分类汇编C单元 三角函数
数 学
C单元 三角函数
C1 角的概念及任意角的三角函数
C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
5．C2、C6[2016·全国卷Ⅲ] 若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )
A. B.
C．1 D.
5．A [解析] cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.
16．C2，C7，C8[2016·山东卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tan A＋tan B)＝＋.
(1)证明：a＋b＝2c；
(2)求cos C的最小值．
16．解：(1)证明：由题意知2（＋）＝＋，
化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，
即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B.
因为A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
从而sin A＋sin B＝2sin C.
由正弦定理得a＋b＝2c.
(2)由(1)知c＝，
所以cos C＝＝
＝（＋）－≥，
当且仅当a＝b时，等号成立．
故cos C的最小值为.
C3 三角函数的图象与性质
5．E1，C3，B6，B7[2016·北京卷] 已知x，y∈R，且x>y>0，则( )
A.－>0
B．sin x－sin y>0
C.x－y<0
D．ln x＋ln y>0
5．C [解析] 选项A中，因为x>y>0，所以<，即－<0，故结论不成立；选项B中，当x＝，y＝时，sin x－sin y<0，故结论不成立；选项C中，函数y＝x是定义在R上的减函数，因为x>y>0，所以x
0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图像上，则( )
A．t＝，s的最小值为
B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为
D．t＝，s的最小值为
7．A [解析] 因为P（，t）在函数y＝sin（2x－）的图像上，所以t＝sin（2×－）＝sin＝.因为s>0，y＝sin（2x－）＝sin 2（x－），所以函数y＝sin（2x－）的图像至少向左平移
eq f(π,6)个单位长度可以得到函数y＝sin 2x的图像，所以s的最小值为.
12．C4[2016·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)（ω>0，|φ|≤），x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图像的对称轴，且f(x)在，单调，则ω的最大值为( )
A．11 B．9
C．7 D．5
12．B [解析] 由已知可得－ω＋φ＝kπ，k∈Z，ω＋φ＝mπ＋，m∈Z，两式相加，得2φ＝(k＋m)π＋.因为|φ|≤，所以k＋m＝0或k＋m＝－1，即φ＝±，两式相减得ω＝2(m－k)＋1，即ω为正奇数．
因为函数f(x)在区间（，）单调，所以只要该区间位于函数f(x)图像的两条相邻对称轴之间即可，且－≤×，即ω≤12.
(1)当φ＝时，f(x)＝sin（ωx＋），则kπ－≤ω＋且ω＋≤kπ＋，k∈Z，
解得≤ω≤.由于ω≤12，故k最大取1，此时4.5≤ω≤9，此时ω的最大值为9.
(2)当φ＝－时，f(x)＝sin（ωx－），则kπ－≤ω－且ω－≤kπ＋，k∈Z，
解得≤ω≤.由于ω≤12，故k最大取0，此时ω≤，此时ω的最大值为5.
综上可知，ω的最大值为9.
14．C4[2016·全国卷Ⅲ] 函数y＝sin x－cos x的图像可由函数y＝sin x＋cos x的图像至少向右平移________个单位长度得到．
14. [解析] 函数y＝sin x－cos x＝2sin（x－）的图像可由函数y＝sin x＋cos x＝2sin（x＋）的图像至少向右平移个单位长度得到．
10．C4[2016·浙江卷] 已知2cos2x＋sin 2x＝Asin (ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．
10. 1 [解析] 2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin(2x＋)＋1，故A＝，b＝1.
12．C4，F3[2016·上海卷] 在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，－1)，P是曲线y＝上一个动点，则·的取值范围是________．
12．[0，1＋] [解析] 由题意得y＝表示以原点为圆心，1为半径的上半圆，设P
(cos α，sin α)，α∈[0，π]，则＝(1，1)，＝(cos α，sin α＋1)，所以·＝cos α＋sin α＋1＝sin(α＋)＋1，因为α∈[0，π]，所以0≤·≤1＋.
13．C4[2016·上海卷] 设a，b∈R，c∈[0，2π)．若对任意实数x都有2sin(3x－)＝asin(bx＋c)，则满足条件的有序实数组(a，b，c)的组数为________．
13．4 [解析] 根据题意a＝±2，b＝±3.若a＝2，则当b＝3时，c＝，当b＝－3时，c＝；若a＝－2，则当b＝3时，c＝，当b＝－3时，c＝.所以满足条件的有序实数组(a，b，c)的组数为4.
C5 两角和与差的正弦、余弦、正切
15．C5，C8[2016·北京卷] 在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求∠B的大小；
(2)求cos A＋cos C的最大值．
15．解：(1)由余弦定理及题设得
cos B＝＝＝.
又因为0<∠B<π，所以∠B＝.
(2)由(1)知∠A＋∠C＝.
cos A＋cos C＝cos A＋cos－A
＝cos A－cos A＋sin A
＝cos A＋sin A
＝cosA－.
因为0<∠A<，
所以当∠A＝时，cos A＋cos C取得最大值1.
15．C8、C5[2016·江苏卷] 在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.
(1)求AB的长；
(2)求cosA－的值．
15．解：(1)因为cos B＝，00，tan C>0，tan A＝>0，即tan Btan C－1>0.令tan Btan C－1＝t(t>0)，则tan Atan Btan C＝＝2t＋＋2≥8，
当t＝1，即tan Btan C＝2时取等号．
方法二：同方法一可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，
又tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋(1－tan Btan C)·tan(B＋C)＝tan A－tan A＋tan Atan Btan C＝tan Atan Btan C，
所以tan Atan Btan C＝tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋2tan Btan C≥2⇒tan Atan Btan C≥8，
当且仅当tan A＝2tan Btan C＝4时取等号．
15．C8、C5[2016·江苏卷] 在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.
(1)求AB的长；
(2)求cosA－的值．
15．解：(1)因为cos B＝，00)，
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，
代入＋＝中，有
＋＝，变形可得
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以sin Asin B＝sin C.
(2)由b2＋c2－a2＝bc及余弦定理，得
cos A＝＝，
所以sin A＝＝.
由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋sin B，
故tan B＝＝4.
15．C9[2016·天津卷] 已知函数f(x)＝4tan xsin（－x）cos（x－）－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间[－，]上的单调性．
15．解：(1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}.
f(x)＝4tan xcos xcos（x－）－＝4sin xcos（x－）－＝4sin x（cos x＋sin x）－＝2sin xcos x＋2sin2x－＝sin 2x＋(1－cos 2x)－＝sin 2x－cos 2x＝2sin（2x－），
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，函数y＝2sin z的单调递增区间是[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝[－，]，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ}，k∈Z，易知A∩B＝[－，].
所以当x∈[－，]时，f(x)在区间[－，]上单调递增，在区间[－，－)上单调递减．
6．[2016·大理一模] 函数f(x)＝sin 2x－sin的最小值为( )
A．0 B．－1 C．－ D. －2
6．B [解析] f(x)＝sin 2x－sin 2x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin，故所求最小值为－1.
11．[2016·宿州一检] 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图K161所示，为了得到函数y＝cos ωx的图像，只需把函数y＝f(x)的图像( )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
11．D [解析] 根据已知得×＝－＝，解得ω＝2，又f＝sin＝－1，所以φ＝2kπ＋－＝2kπ＋，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin
，只要把函数y＝f(x)的图像向左平移个单位长度，便可得到y＝sin＝sin＝cos 2x的图像．
5．[2016·宜宾诊断] 已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(B－A)＋sin(B＋A)＝3sin 2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是( )
A. B.
C. D. 或
5．D [解析] 由sin(B－A)＋sin(B＋A)＝3sin 2A，得2sin Bcos A＝6sin Acos A，所以cos A＝0或sin B＝3sin A.
若cos A＝0，则A＝，在Rt△ABC中，C＝，所以b＝＝，此时△ABC的面积S＝bc＝××＝；若sin B＝3sin A，即b＝3a，由余弦定理得7＝a2＋9a2－2·a·3a·，得a＝1，所以b＝3，此时△ABC的面积S＝absin C＝×1×3×＝.
15．[2016·贵阳模拟] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcos A＝(2c＋a)cos(A＋C)．
(1)求角B的大小；
(2)求函数f(x)＝2cos 2x＋cos(2x－B)在区间上的最小值及对应x的值．
15．解：(1)由已知得bcos A＝cos，
即sin Bcos A＝－cos B，
即sin＝－2sin Ccos B，
∴sin C＝－2sin Ccos B，
∴cos B＝－，即B＝.
(2)f＝2cos 2x＋cos 2xcos ＋sin 2xsin ＝
cos 2x＋sin 2x＝sin，
由x∈知2x＋∈.
当2x＋＝，即x＝时，f＝×＝－，
所以函数f(x)在区间上的最小值为－，此时x＝.
17．[2016·安庆二模] 如图K183所示，D是直角三角形ABC斜边BC上一点，AC＝DC.
(1)若∠DAC＝30°，求角B的大小；
(2)若BD＝2DC，且AD＝2，求DC的长．
图K184
17．解：(1)在△ADC中，由＝，及AC＝DC，
得sin∠ADC＝sin∠DAC＝.
又∠ADC＝B＋∠BAD＝B＋60°>60°，
所以∠ADC＝120°.
于是C＝180°－120°－30°＝30°，所以B＝60°.
(2)设DC＝x，则BD＝2x，BC＝3x，AC＝x，AB＝x.
于是sin B＝＝，所以cos B＝.
在△ABD中， AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，
即(2)2＝6x2＋4x2－2×x·2x·＝2x2 ，得x＝2.
故DC＝2.
