数学理卷·2019届广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试(2018-01)

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数学理卷·2019届广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试(2018-01)

高二理科数学期末考试试题 ‎ 命题:肖冬璇 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 如果命题“且”是假命题,“”也是假命题,则( ) ‎ A.命题“或”是假命题 B.命题“或”是假命题 C.命题“且”是真命题 D.命题“且”是真命题 ‎3. 已知数列为等差数列,其前项和为,,则为( )‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎4. 以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5.“”是 “函数有零点”的 ( ) ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎6.已知是两条不同的直线, 是两个不同的平面,给出下列命题:‎ ‎①若,,则; ②若,,且,则;‎ ‎③若,,则; ④若,,且,则.‎ 其中正确命题的序号是( )‎ A.①④ B.②④ C.②③ D.①③‎ ‎7.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题: “今有蒲生一日,长三尺。莞生一日,长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等?”(蒲常指一种多年生草本植物,莞指水葱一类的植物)现欲知几日后,莞高超过蒲高一倍.为了解决这个新问题,设计右面的程序框图,输入,.那么在①处应填( )‎ A.  B.  C.  D.‎ ‎8.过函数图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知定义在上的函数满足: 的图象关于点对称,且当时恒有,当时, ,则 ( )(其中为自然对数的底)‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知,点为斜边的中点,,,,则等于( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.在平面直角坐标系中,不等式组(为常数)表示的平面区域的面积为,若满足上述约束条件,则的最小值为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 设双曲线的左、右焦点分别为,离心率为,过的直线与双曲线的右支交于两点,若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13. 袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.‎ ‎14.已知为锐角,向量、满足,则 . ‎ ‎15.某三棱锥的三视图如图所示,则其外接球的表面积为______.‎ ‎ ‎ ‎16.若实数满足,则的最小值是_________.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分10分)在数列中,,.‎ ‎(1)求证:数列是等差数列;(2)求数列的前项和.‎ ‎18. (本小题满分12分) 在中,角所对的边分别是,且 ‎ .‎ ‎(1)求角;‎ ‎(2)若的中线的长为,求的面积的最大值.‎ ‎19.(本小题满分12分)某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示,该地周光照量(小时)都在30小时以上,其中不足50小时的周数有5周,不低于50小时且不超过70小时的周数有35周,超过70小时的周数有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量(百斤)与使用某种液体肥料(千克)之间对应数据为如图所示的折线图. ‎ ‎(1)依据数据的折线图,是否可用线性回归模型拟合与的关系?请计算相关系数并加以说明(精确到0.01).(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)‎ ‎(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制,并有如下关系:‎ 周光照量(单位:小时)‎ 光照控制仪最多可运行台数 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为3000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪,求商家在过去50周周总利润的平均值.‎ 附:相关系数公式,参考数据,.‎ ‎20.(本小题满分12分)在五面体中, , ‎ ‎,平面.‎ ‎(1)证明:直线平面;‎ ‎(2)已知为棱上的点,,求二面角的大小.‎ ‎21. (本小题满分12分)已知椭圆:的右焦点,过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,两点,当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设为坐标原点,线段上是否存在点,使得?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由.‎ ‎22.(本小题满分12分)已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)证明:当时, .‎ 高二数学期末考试试题参考答案 ‎ ‎ ACBDA CBBAD DC 13. 14. 15. 16. ‎ ‎ ‎ ‎17.解:(1)的两边同时除以,‎ 得, …………3分 所以数列是首项为4,公差为2的等差数列.  …………………4分 ‎(2)由(1),得,…………………5分 所以,故,………………7分 所以,‎ ‎ . ……………10分 ‎18.解:(1)∵ ,‎ ‎ …………4分, ‎ ‎ 即,又.………………6分 ‎(2) 由 ‎ 即…………………8分 从而(当且仅当时,等号成立),…………10分 即…………………12分 ‎19.解:(1)由已知数据可得,.………1分 因为 …………………2分 ‎…………………………3分 ‎…………………………4分 所以相关系数.………………5分 因为,所以可用线性回归模型拟合与的关系.……………6分 ‎(2)记商家周总利润为元,由条件可得在过去50周里:‎ 当时,共有10周,此时只有1台光照控制仪运行,‎ 周总利润=1×3000-2×1000=1000元.…………8分 当时,共有35周,此时有2台光照控制仪运行,‎ 周总利润=2×3000-1×1000=5000元. ……………………………9分 当时,共有5周,此时3台光照控制仪都运行,‎ 周总利润=3×3000=9000元.…………………10分 所以过去50周周总利润的平均值元,‎ 所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元. ………………………12分 ‎20.证明:(1)四边形为菱形, ‎ ‎,………1分 又 ∵平面∴………2分 又直线平面.………4分 ‎(2) , 为正三角形,取的中点,连接,则,又平面,∴两两垂直,以为原点, 所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,………5分 ‎, ‎ ‎,………6分 由(1)知是平面的法向量,………7分 ‎,,‎ 则,………8分 设平面的法向量为,‎ ‎∴,即,令,则,‎ ‎∴………10分 ‎∴………11分 ‎∴二面角大小为.………12分 ‎21. 解:(1)由题意知,又,所以,………2分 ‎,所以椭圆的方程为: ;………4分 ‎(2)当时, ,不合题意 设直线的方程为:,代入,‎ 得:,故,则 设,线段的中点为,‎ 则 ,………7分 由 得: ,‎ 所以直线为直线的垂直平分线,………8分 直线的方程为: , ………10分 令得:点的横坐标,………11分 因为, 所以,所以. ………12分 所以线段上存在点 使得,其中. ‎ ‎22.解:(1)函数的定义域为.‎ 由,得.………1分 ‎①当时, 恒成立, 递增,‎ ‎∴函数的单调递增区间是 ………2分 ‎②当时,则时,递减,‎ 时, ,递增.‎ ‎∴函数的单调递减区间是,单调递增区间是.………4分 ‎(2)要证明当时, ,即证明当时, ,………5分 即,令,则,‎ 当时, ;当时, .‎ 所以函数在上单调递减,在上单调递增.‎ 当时, .于是,当时, .①………8分 令,则.‎ 当时, ;当时, .‎ 所以函数在上单调递增,在上单调递减.‎ 当时, .于是,当时, .②………11分 显然,不等式①、②中的等号不能同时成立.故当时, ).………12分
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