数学卷·2018届江苏省苏州市张家港高级中学高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

数学卷·2018届江苏省苏州市张家港高级中学高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年江苏省苏州市张家港高中联考高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分．请将答案填写在答卷纸上）‎ ‎1．直线x﹣y+a=0的倾斜角为　　．‎ ‎2．若正方体外接球的体积是，则正方体的棱长等于　　．‎ ‎3．斜率为2的直线经过（3，5），（a，7）二点，则a=　　．‎ ‎4．若ab＞0，ac＜0，则直线ax+by+c=0不经过第　　象限．‎ ‎5．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为　　．‎ ‎6．直线3x+4y+3=0与直线6x+8y+11=0间的距离是　　．‎ ‎7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥A﹣B1D1D的体积为　　cm3．‎ ‎8．入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是　　．‎ ‎9．已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为　　．‎ ‎10．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：‎ ‎①α∥β⇒l⊥m；‎ ‎②α⊥β⇒l∥m；‎ ‎③l∥m⇒α⊥β；‎ ‎④l⊥m⇒α∥β 其中正确命题的序号是　　．‎ ‎11．已知实数x，y满足的最小值为　　．‎ ‎12．圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程为　　．‎ ‎13．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P使得∠APB=90°，则m的最大值为　　．‎ ‎14．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为　　．‎ ‎　‎ 二、解答题（本大题共6道题，解答或证明需写出必要的文字说明和演算过程步骤）‎ ‎15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．‎ ‎（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ） 求证：EF⊥平面PDC．‎ ‎16．（14分）已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．‎ ‎17．（14分）已知正方形的中心为直线x﹣y+1=0和2x+y+2=0的交点，一条边所在的直线方程是x+3y﹣5=0，求其他三边所在直线的方程．‎ ‎18．（16分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1﹣ABCD，其上是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2．‎ ‎（1）证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；‎ ‎（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？‎ ‎19．（16分）如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交y轴正半轴于点A，l2交x轴正半轴于点C．‎ ‎（1）若A（0，1），求点C的坐标；‎ ‎（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．（16分）已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l：x+y﹣a=0上，过点P作圆O的切线，切点为T．‎ ‎（1）若a=8，切点T（，﹣1），求直线AP的方程；‎ ‎（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省苏州市张家港高中联考高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分．请将答案填写在答卷纸上）‎ ‎1．（2016秋•张家港市期中）直线x﹣y+a=0的倾斜角为　60°　．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；演绎法；直线与圆．‎ ‎【分析】由直线的倾斜角α与斜率k的关系，可以求出α的值．‎ ‎【解答】解：设直线x﹣y+a=0的倾斜角是α，‎ 则直线的方程可化为y=x+a，‎ l的斜率k=tanα=，‎ ‎∵0°≤α＜180°，‎ ‎∴α=60°．‎ 故答案为60°．‎ ‎【点评】本题考查了利用直线的斜率求倾斜角的问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（2009•日照一模）若正方体外接球的体积是，则正方体的棱长等于　　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先求球的半径，直径就是正方体的对角线，然后求出正方体的棱长即可．‎ ‎【解答】解：正方体外接球的体积是 ，则外接球的半径R=2，‎ 正方体的对角线的长为4，棱长等于 ，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查球的内接正方体问题，解题的关键是抓住直径就是正方体的对角线，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（2016秋•张家港市期中）斜率为2的直线经过（3，5），（a，7）二点，则a=　4　．‎ ‎【考点】直线的两点式方程．‎ ‎【专题】转化思想；转化法；直线与圆．‎ ‎【分析】接利用直线的点斜式方程求解即可．‎ ‎【解答】解：经过点（3，5），斜率为2的直线的点斜式方程：y﹣5=2（x﹣3），‎ 将（a，7）代入y﹣5=2（x﹣3），解得：a=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查直线方程的求法，点斜式方程的形式，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎4．（2016秋•张家港市期中）若ab＞0，ac＜0，则直线ax+by+c=0不经过第　三　象限．‎ ‎【考点】直线的一般式方程．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；直线与圆．‎ ‎【分析】由条件得到直线的斜率和直线的截距，即可得到直线的位置．‎ ‎【解答】解：直线的斜截式方程为y=﹣x﹣，‎ ‎∵ac＜0且ab＞0，‎ ‎∴bc＜0，‎ ‎∴斜率﹣＜0，在y轴上的截距﹣＞0．‎ ‎∴直线ax+by+c=0不通过第三象限．‎ 故答案为：三．‎ ‎【点评】本题主要考查直线的方程的应用，将方程转化为斜截式是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎5．（2011•青羊区校级模拟）过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为　x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0　．‎ ‎【考点】直线的截距式方程．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可．‎ ‎【解答】解：若直线的截距不为0，可设为，把P（2，3）代入，得，，a=5，直线方程为x+y﹣5=0‎ 若直线的截距为0，可设为y=kx，把P（2，3）代入，得3=2k，k=，直线方程为3x﹣2y=0‎ ‎∴所求直线方程为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0‎ 故答案为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0‎ ‎【点评】本题考查了直线方程的求法，属于直线方程中的基础题，应当掌握．‎ ‎　‎ ‎6．（2016秋•张家港市期中）直线3x+4y+3=0与直线6x+8y+11=0间的距离是　　．‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；演绎法；直线与圆．‎ ‎【分析】把两条平行直线的方程中x、y的系数化为相同的，再由条件利用两条平行直线间的距离公式计算求得结果．‎ ‎【解答】解：两直线3x+4y+3=0，6x+8y+11=0，即两直线6x+8y+6=0，6x+8y+11=0，‎ 故它们之间的距离为=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（2012秋•苏州期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥A﹣B1D1D的体积为　3　cm3．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】连接AC交BD于O，根据此长方体的结构特征，得出AO为A到面B1D1D的垂线段．△B1D1D为直角三角形，面积易求．所以利用体积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中的底面ABCD是正方形．‎ 连接AC交BD于O，‎ 则AC⊥BD，又D1D⊥BD，‎ 所以AC⊥面B1D1D，‎ AO为A到面B1D1D的垂线段，‎ 且AO=．‎ 又S△B1D1D=‎ 所以所求的体积V=cm3．‎ 故答案为：3‎ ‎【点评】本题考查锥体体积计算，对于三棱锥体积计算，要选择好底面，便于求解．‎ ‎　‎ ‎8．（2011•顺庆区校级模拟）入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是　x﹣2y﹣1=0　．‎ ‎【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】光线关于直线y=x对称，直线y=2x+1在x、y轴上的截距互换，即可求解．‎ ‎【解答】解：∵入射光线与反射光线关于直线l：y=x对称，‎ ‎∴反射光线的方程为y=2x+1即x﹣2y﹣1=0．‎ 故答案为：x﹣2y﹣1=0．‎ ‎【点评】光线关于直线对称，一般用到直线到直线的角的公式，和求直线的交点坐标，解答即可．本题是一种简洁解法．‎ ‎　‎ ‎9．（2016秋•张家港市期中）已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为　﹣7　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】由两直线平行，得到系数之间所满足的关系，求解即可得到满足条件的m的值．‎ ‎【解答】解：∵直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，‎ ‎∴，解得m=﹣7．‎ 故答案为：﹣7．‎ ‎【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是对条件的记忆与应用，是基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（2016•江苏模拟）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：‎ ‎①α∥β⇒l⊥m；‎ ‎②α⊥β⇒l∥m；‎ ‎③l∥m⇒α⊥β；‎ ‎④l⊥m⇒α∥β 其中正确命题的序号是　①③　．‎ ‎【考点】平面的基本性质及推论．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，当l∥m有α⊥β，当l⊥m有α∥β或α∩β，得到结论 ‎【解答】解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，‎ 当α∥β有l⊥m，故①正确 当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故②不正确 当l∥m有α⊥β，故③正确，‎ 当l⊥m有α∥β或α∩β，故④不正确，‎ 综上可知①③正确，‎ 故答案为：①③‎ ‎【点评】本题考查平面的基本性质即推论，本题解题的关键是看出在所给的条件下，不要漏掉其中的某一种位置关系，本题是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（2010•河东区二模）已知实数x，y满足的最小值为　　．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由题意得，所求的最小值就是原点到直线2x+y+5=0的距离．‎ ‎【解答】解： 表示直线 2x+y+5=0上的点与原点的距离，其最小值就是原点到直线2x+y+5=0‎ 的距离 =，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的意义，以及点到直线的距离公式的应用，其中明确表示直线 2x+y+5=0上的点与原点的距离，‎ 是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（2014•上高县校级模拟）圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程为　（x﹣1）2+（y+4）2=8　．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】设出圆心坐标，利用直线与圆相切，求出x的值，然后求出半径，即可得到圆的方程．‎ ‎【解答】解：设圆心O为（x，﹣4x） kop=‎ kL=﹣1 又相切∴kop•kL=﹣1∴x=1∴O（1，﹣4）r==‎ 所以所求圆方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．‎ 故答案为：（x﹣1）2+（y+4）2=8．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎13．（2016秋•张家港市期中）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P使得∠APB=90°，则m的最大值为　6　．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最大值即为|OP|的最大值．‎ ‎【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，‎ 设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），‎ ‎∵∠APB=90°，∴，‎ ‎∴=（a+m）（a﹣m）+b2=0，‎ ‎∴m2=a2+b2=|OP|2，‎ ‎∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎14．（2013•徐州三模）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为　9　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，然后根据体积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：根据题意几何体为正三棱锥，如图，‎ PD=a；OD=a；OP==．‎ 设棱长为a，则OD+PD=×a+a=a=2⇒a=3，‎ V棱锥=×a2×a=9，‎ 故答案是9‎ ‎【点评】本题考查锥体的体积．‎ ‎　‎ 二、解答题（本大题共6道题，解答或证明需写出必要的文字说明和演算过程步骤）‎ ‎15．（14分）（2010•江西模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．‎ ‎（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ） 求证：EF⊥平面PDC．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】对于（Ⅰ），要证EF∥平面PAD，只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可，而E、F分别为PC、BD的中点，所以连接AC，EF为中位线，从而得证；‎ 对于（Ⅱ）要证明EF⊥平面PDC，由第一问的结论，EF∥PA，只需证PA⊥平面PDC即可，已知PA=PD=AD，可得PA⊥PD，只需再证明PA⊥CD，而这需要再证明CD⊥平面PAD，‎ 由于ABCD是正方形，面PAD⊥底面ABCD，由面面垂直的性质可以证明，从而得证．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA（3分）‎ 且PA⊂平面PAD，EF⊊平面PAD，‎ ‎∴EF∥平面PAD（6分）‎ ‎（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ 又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，‎ ‎∴CD⊥PA（9分）‎ 又PA=PD=AD，‎ 所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA⊥PD（12分）‎ 而CD∩PD=D，‎ ‎∴PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC（14分）‎ ‎【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时，往往还要通过线面垂直来进行．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2009•天心区校级模拟）已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．‎ ‎【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由圆心在直线x﹣3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．‎ ‎【解答】解：设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，‎ 则圆心到直线y=x的距离d==|t|，‎ 由勾股定理及垂径定理得：（）2=r2﹣d2，即9t2﹣2t2=7，‎ 解得：t=±1，‎ ‎∴圆心坐标为（3，1），半径为3；圆心坐标为（﹣3，﹣1），半径为3，‎ 则（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．‎ ‎【点评】此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2016秋•张家港市期中）已知正方形的中心为直线x﹣y+1=0和2x+y+2=0的交点，一条边所在的直线方程是x+3y﹣5=0，求其他三边所在直线的方程．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎【专题】计算题；待定系数法；直线与圆．‎ ‎【分析】根据两条直线相交求出正方形的中心C的坐标，根据正方形的一条边所在的方程设出其它三边的直线方程，再由C到正方形四条边的距离相等列出方程，求出直线方程即可．‎ ‎【解答】解：根据题意，得，‎ 解得，‎ 所以正方形中心C的坐标为（﹣1，0）．‎ 点C到直线x+3y﹣5=0的距离d==．‎ 设与x+3y﹣5=0平行的一边所在直线的方程是x+3y+m=0（m≠﹣5），‎ 则点C到直线x+3y+m=0的距离 d==，‎ 解得m=﹣5（舍去）或m=7，‎ 所以与x+3y﹣5=0平行的边所在直线的方程是x+3y+7=0．‎ 设与x+3y﹣5=0垂直的边所在直线的方程是3x﹣y+n=0，‎ 则点C到直线3x﹣y+n=0的距离d==，‎ 解得n=﹣3或n=9，‎ 所以与x+3y﹣5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x﹣y﹣3=0和3x﹣y+9=0．‎ ‎【点评】本题考查了两条直线平行与垂直故选的应用问题，也考查了点到直线的距离的应用问题，是综合性题目．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）（2012•湖北）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1﹣ABCD，其上是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2．‎ ‎（1）证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；‎ ‎（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【专题】计算题；证明题．‎ ‎【分析】（1）依题意易证AC⊥B1D1，AA2⊥B1D1，由线面垂直的判定定理可证直线B1D1⊥平面ACC2A2；‎ ‎（2）需计算上面四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的表面积（除去下底面的面积）S1，四棱台A1B1C1D1﹣ABCD的表面积（除去下底面的面积）S2即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，‎ ‎∴AA2⊥AB，AA2⊥AD，又AB∩AD=A，‎ ‎∴AA2⊥平面ABCD．连接BD，‎ ‎∵BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴AA2⊥BD，又底面ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面，‎ 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD=BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1=B1D1，‎ ‎∴B1D1∥BD，于是由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1，又AA2∩AC=A，‎ ‎∴B1D1⊥平面ACC2A2；‎ ‎（2）∵四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，‎ ‎∴S1=S四棱柱下底面+S四棱柱侧面 ‎=+4AB•AA2‎ ‎=102+4×10×30‎ ‎=1300（cm2）‎ 又∵四棱台A1B1C1D1﹣ABCD上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，‎ ‎∴S2=S四棱柱下底面+S四棱台侧面 ‎=+4×（AB+A1B1）•h等腰梯形的高 ‎=202+4×（10+20）•‎ ‎=1120（cm2），‎ 于是该实心零部件的表面积S=S1+S2=1300+1120=2420（cm2），‎ 故所需加工处理费0.2S=0.2×2420=484元．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查棱柱、棱台的侧面积和表面积，着重考查分析转化与运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）（2012•北京模拟）如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交y轴正半轴于点A，l2交x轴正半轴于点C．‎ ‎（1）若A（0，1），求点C的坐标；‎ ‎（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】综合题；直线与圆．‎ ‎【分析】（1）先求l1的方程，进而可求l2的方程，即可得到点C的坐标；‎ ‎（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径，分类讨论，确定A、C的坐标，表示出AC，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（1）由直线l1经过两点A（0，1），B（1，2），得l1的方程为x﹣y+1=0．‎ 由直线l2⊥l1，且直线l2经过点B，得l2的方程为x+y﹣3=0．‎ 所以，点C的坐标为（3，0）．‎ ‎（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径．‎ ‎①若l1⊥y轴，则l2∥y轴，此时四边形OABC为矩形，．‎ ‎②若l1与y轴不垂直，则两条直线斜率都存在．不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为．‎ 所以直线l1的方程为y﹣2=k（x﹣1），从而A（0，2﹣k）；‎ 直线l2的方程为，从而C（2k+1，0）．‎ 令解得，注意到k≠0，所以．‎ 此时|AC|2=（2﹣k）2+（2k+1）2=5k2+5＞5，，‎ 所以半径的最小值为．‎ 此时圆的方程为．‎ ‎【点评】本题考查确定直线位置的几何要素，直线的倾斜角和斜率，过两点的直线斜率的计算公式，直线方程的点斜式，两条直线平行或垂直的判定，圆的标准方程，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）（2016•江苏模拟）已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l：x+y﹣a=0上，过点P作圆O的切线，切点为T．‎ ‎（1）若a=8，切点T（，﹣1），求直线AP的方程；‎ ‎（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．‎ ‎【分析】（1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，求出直线PT的方程，联立直线l和PT，得P（2，2），由此能求出直线AP的方程．‎ ‎（2）设P（x，y），由PA=2PT，得满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆（x﹣）2+y2=．问题可转化为直线与圆（x﹣）2+y2=有公共点，由此能求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，‎ 又切点T（，﹣1），∴kOT=﹣，kPT=﹣=，‎ ‎∴直线PT的方程为y+1=（x﹣），即，‎ 联立直线l和PT，，解得x=2，y=2，即P（2，2），‎ ‎∴直线AP的斜率为k==，‎ ‎∴直线AP的方程为y=，即（）x﹣2y+2﹣2=0．‎ ‎（2）设P（x，y），由PA=2PT，得（x+2）2+y2=4（x2+y2﹣4），即3x2+3y2+4x﹣20=0，‎ 即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆（x﹣）2+y2=．‎ ‎∴问题可转化为直线与圆（x﹣）2+y2=有公共点，‎ ‎∴d=≤，即||，‎ 解得．‎ ‎∴实数a的取值范围是[，]．‎ ‎【点评】本题考查直线方程的求法，考查实数取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、直线方程等知识的合理运用．‎