2021高考数学一轮复习课后限时集训37不等式的性质与一元二次不等式理北师大版
1
课后限时集训 37
不等式的性质与一元二次不等式
建议用时：45 分钟
一、选择题
1．已知 R 是实数集，集合 A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝ x| x－6
2x－1
≥0
，则 A∩(∁ RB)＝
( )
A.(1,6) B.[－1,2]
C.
1
2
，2
D.
1
2
，2
C [由 x2－x－2≤0 可得 A＝{x|－1≤x≤2}．由 x－6
2x－1
≥0 得
x－6 2x－1 ≥0，
2x－1≠0，
所以 B＝ x|x＜1
2
或 x≥6
，
所以∁ RB＝ x|1
2
≤x＜6
，所以 A∩(∁ RB)＝ x|1
2
≤x≤2
.故选 C.]
2．(2019·吉林模拟)若 a，b，c 为实数，且 a＜b＜0，则下列命题中正确的是
( )
A.ac2＜bc2 B.a2＞ab＞b2
C.1
a
＜1
b
D.b
a
＞a
b
B [法一：(直接法)A 选项，若 c＝0，则 ac2＝bc2，故不正确；B 选项，∵a＜b＜0，∴
a2＞ab，且 ab＞b2，
∴a2＞ab＞b2，故 B 正确；C 选项，∵a＜b＜0，∴1
a
－1
b
＝b－a
ab
＞0，∴1
a
＞1
b
，故错误； D
选项，∵a＜b＜0，∴b
a
－a
b
＝b2－a2
ab
＝ a＋b b－a
ab
＜0，∴b
a
＜a
b
，故错误．故选 B.
法二：(特值排除法)取 a＝－2，b＝－1，c＝0 易知 A、C、D 全错误，故选 B.]
3．不等式 2x2－4x＞22ax＋a 对一切实数 x 都成立，则实数 a 的取值范围是( )
A．(1,4)
B．(－4，－1)
C．(－∞，－4)∪(－1，＋∞)
2
D．(－∞，1)∪(4，＋∞)
B [∵不等式 2x2－4x＞22ax＋a 对一切实数 x 都成立，
∴x2－4x>2ax＋a 对一切实数 x 都成立，即 x2－(4＋2a)x－a>0 对一切实数 x 都成立．
∴Δ＝(4＋2a)2－4×(－a)<0，即 a2＋5a＋4<0.
∴－4
0，则实数 a 的取值范围是
( )
A．[1，＋∞) B.
1
2
，1
C.
1
2
，＋∞
D.
1
2
，＋∞
D [∵对任意的 x∈(1,4)，都有 f(x)＝ax2 －2x＋2>0 恒成立，∴a>2 x－1
x2 ＝
2
1
4
－
1
x
－1
2 2
，对任意的 x∈(1,4)恒成立，
∵1
4
<1
x
<1，∴2
1
4
－
1
x
－1
2 2
∈
0，1
2 ，
∴实数 a 的取值范围是
1
2
，＋∞
.]
5．(2019·辽宁师大附中模拟)若不等式 x2－(a＋1)x＋a≤0 的解集是[－4,3]的子集，
则 a 的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
B [原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当 a<1 时，不等式的解集为[a,1]，此时只要 a≥－
4 即可，即－4≤a<1；当 a＝1 时，不等式的解集为{1}，此时符合要求；当 a>1 时，不等式
的解集为[1，a]，此时只要 a≤3 即可，
即 10，则a
b2＋b
a2与1
a
＋1
b
的大小关系是________．
a
b2＋b
a2≥1
a
＋1
b
[a
b2＋b
a2－
1
a
＋1
b ＝a－b
b2 ＋b－a
a2 ＝(a－b)·
1
b2－1
a2 ＝ a＋b a－b 2
a2b2 .
3
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，
∴ a＋b a－b 2
a2b2 ≥0.即a
b2＋b
a2≥1
a
＋1
b
.]
7．已知 10 在区间[1,5]上有解，则 a 的取值范围是________．
－23
5
，＋∞
[法一：由Δ＝a2＋8>0 知方程恒有两个不等实根，又
因为 x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图像的
示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是 f(5)>0，解得
a>－23
5
.
法二：原题即转化为 a＞－x＋2
x
在[1,5]上有解，设－x＋2
x
＝f(x)，即 a＞f(x)min，f(x)
＝－x＋2
x
在[1,5]上是减函数，
∴a＞f(5)＝－23
5
.]
三、解答题
9．已知 f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式 f(x)＜0 的解集是(0,5)．
(1)求 f(x)的解析式；
(2)若对于任意的 x∈[－1,1]，不等式 f(x)＋t≤2 恒成立，求 t 的取值范围．
[解] (1)由题意可知，0,5 是 f(x)＝0 的两个实数根，
∴
0＋5＝－b
2
，
5×0＝c
2
，
∴
b＝－10，
c＝0，
即 f(x)＝2x2－10x.
(2)由(1)可知不等式 2x2－10x＋t≤2 对任意 x∈[－1,1]恒成立．
即 2x2－10x＋t－2≤0 在[－1,1]上恒成立，
∴
2＋10＋t－2≤0，
2－10＋t－2≤0，
∴
t≤－10，
t≤10，
∴t≤－10.
4
即 t 的取值范围为(－∞，－10]．
10．甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10)，每小时可
获得的利润是 100·
5x＋1－3
x 元．
(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围；
(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求
最大利润．
[解] (1)根据题意得 200
5x＋1－3
x ≥3 000，整理得 5x－14－3
x
≥0，即 5x2－14x－
3≥0，又 1≤x≤10，可解得 3≤x≤10，故要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000
元，x 的取值范围是[3,10]．
(2)设利润为 y 元，则 y＝900
x
·100
5x＋1－3
x
＝9×104 5＋1
x
－3
x2 ＝9×104 －3
1
x
－1
6 2＋61
12 ，
故 x＝6 时，ymax＝457 500 元，即甲厂以 6 千克/小时的生产速度生产 900 千克该产品获
得的利润最大，最大利润为 457 500 元．
1．已知 x，y∈R，且 x>y>0，则( )
A.1
x
－1
y
>0 B．sin x－sin y>0
C.
1
2 x－
1
2 y<0 D．ln x＋ln y>0
C [选项 A 中，因为 x>y>0，所以1
x
<1
y
，即1
x
－1
y
<0，故结论不成立；选项 B 中，当 x＝5π
6
，
y＝π
3
时，sin x－sin y<0，故结论不成立；选项 C 中，函数 y＝
1
2 x 是定义在 R 上的减函数，
因为 x>y>0，所以
1
2 x＜
1
2 y，所以
1
2 x－
1
2 y<0；选项 D 中，当 x＝e－1，y＝e－2 时，结论不
成立．]
2．若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1 有唯一解，则 a 的值为________．
1± 5
2
[由题意可知，方程 x2－2ax＋a＝－1 有唯一解，
5
∴Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，即 a＝1± 5
2
.]
3．已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于 x 的不等式 f(x)
＜c 的解集为(m，m＋6)，则实数 c 的值为________．
9 [由题意知 f(x)＝x2＋ax＋b＝
x＋a
2 2＋b－a2
4
.
因为 f(x)的值域为[0，＋∞)，所以 b－a2
4
＝0，即 b＝a2
4
.
所以 f(x)＝
x＋a
2 2.
又 f(x)＜c，所以
x＋a
2 2＜c，即－a
2
－ c＜x＜－a
2
＋ c.
所以
－a
2
－ c＝m，①
－a
2
＋ c＝m＋6.②
②－①，得 2 c＝6，所以 c＝9.]
4．已知函数 f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若 a＝2，试求函数 y＝f x
x
(x>0)的最小值；
(2)对于任意的 x∈[0,2]，不等式 f(x)≤a 成立，试求 a 的取值范围．
[解] (1)当 a＝2 时，依题意得 y＝f x
x
＝x2－4x＋1
x
＝x＋1
x
－4.因为 x>0，所以 x＋
1
x
≥2，
当且仅当 x＝1
x
时，即 x＝1 时，等号成立，所以 y≥－2.
所以当 x＝1 时，y＝f x
x
的最小值为－2.
(2)因为 f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“任意的 x∈[0,2]，不等式 f(x)≤a 成立”只要“x2－2ax－1≤0 在[0,2]
上恒成立”．
不妨设 g(x)＝x2－2ax－1，
则只要 g(x)≤0 在[0,2]上恒成立即可，所以
g 0≤ 0，
g 2≤ 0，
6
即
0－0－1≤0，
4－4a－1≤0，
解得 a≥3
4
，
则 a 的取值范围为
3
4
，＋∞
.
1．(2019·福州模拟)已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(ac≠0)，若 f(x)＜0 的解集为(－1，
m)，则下列说法正确的是( )
A．f(m－1)＜0 B．f(m－1)＞0
C．f(m－1)必与 m 同号 D．f(m－1)必与 m 异号
D [∵f(x)＜0 的解集为(－1，m)，
∴－1，m 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(ac≠0)的两个实数根，且 a＞0.
∴f(x)＝a(x＋1)(x－m)．
∴f(m－1)＝－am 与 m 必异号．
故选 D.]
2．(2019·河南中原名校联考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数．当 x>0 时，f(x)＝x2
－2x，则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________．
(－3,0)∪(3，＋∞) [设 x<0，则－x>0，
因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)．
又 f(0)＝0.于是不等式 f(x)>x 等价于
x＞0，
x2－2x＞x
或
x＜0，
－x2－2x＞x，
解得 x>3 或－3
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