2020年高中数学第一章正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

2020年高中数学第一章正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

‎1.4.2‎‎ 第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．下列函数是以π为周期的是(　　)‎ A．y＝sin x　　　　　 B．y＝cos x＋2‎ C．y＝2cos 2x＋1 D．y＝sin 3x－2‎ 解析：对于A，B，函数的周期为2π，对于C，函数的周期是π，对于D，函数的周期是π，故选C.‎ 答案：C ‎2．函数f(x)＝cos 的最小正周期是(　　)‎ A. B．π C．2π D．4π 解析：T＝＝＝π，故B正确．‎ 答案：B ‎3．函数y＝sin 是(　　)‎ A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 解析：y＝sin ‎＝sin ‎＝－sin ＝－cos 2 010x，‎ 所以为偶函数．‎ 答案：B ‎4．下列函数中是奇函数且最小正周期为π的函数是(　　)‎ A．y＝sin B．y＝sin C．y＝cos D．y＝cos 解析：因为y＝cos ＝－sin 2x，‎ 5‎ 所以y＝cos 是奇函数，且T＝＝π，所以C正确．‎ 答案：C ‎5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于(　　)‎ A．－ B．1‎ C．－ D. 解析：f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝sin＝.‎ 答案：D ‎6．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(6)＝________.‎ 解析：f(6)＝f(4＋2)＝f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2.‎ 答案：2‎ ‎7．函数y＝cos 的最小正周期是________．‎ 解析：y＝cos ＝cos ‎＝cos ＝sin x.‎ 所以最小正周期为T＝＝4.‎ 答案：4‎ ‎8．已知f(x)＝ax＋bsin 3x＋3且f(－3)＝7，则f(3)＝________.‎ 解析：f(－3)＝－‎3a－bsin33＋3＝7.∴‎3a＋bsin33＝－4，‎ ‎∴f(3)＝‎3a＋bsin33＋3＝－4＋3＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎9．判断函数f(x)＝cos(2π－x)－x3sin x的奇偶性．‎ 解析：因为f(x)＝cos(2π－x)－x3sin x＝cos x－x3sin x，其定义域为R，‎ f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin (－x)＝cos x－x3sin x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．‎ 5‎ ‎10．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，‎ 求当x∈时，f(x)的解析式．‎ 解析：当x∈时，3π－x∈，‎ 因为x∈时，f(x)＝1－sin x，‎ 所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.‎ 又f(x)是以π为周期的偶函数，‎ 所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，‎ 所以f(x)的解析式为 f(x)＝1－sin x，x∈.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．函数y＝cos (k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　)‎ A．10 B．11‎ C．12 D．13‎ 解析：因为T＝＝≤2，‎ 所以k≥4π，又k∈Z，‎ 所以正整数k的最小值为13.‎ 答案：D ‎2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)‎ 解析：由已知，得f(x)是周期为2的偶函数，故选B.‎ 答案：B ‎3．已知f(x)＝cos x，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝________.‎ 解析：因为f(1)＝cos ＝，‎ 5‎ f(2)＝cos ＝－，‎ f(3)＝cos π＝－1，‎ f(4)＝cos＝－，‎ f(5)＝cos ＝，f(6)＝cos 2π＝1，‎ 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，‎ 又f(x)的周期为T＝＝6，‎ 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)‎ ‎＝－f(6)＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎4．设函数f(x)＝3sin(ωx＋)，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．‎ 若f＝，则sin α的值为________．‎ 解析：∵f(x)的最小正周期为，ω>0，∴ω＝＝4.∴f(x)＝3sin.‎ 由f＝3sin＝3cos α＝，‎ ‎∴cos α＝.∴sin α＝±＝±.‎ 答案：± ‎5．设函数f(x)＝asin 和函数g(x)＝bcos (a>0，b>0，k>0)，若它们的最小正周期之和为，且f ＝g，f ＝－g－1，求这两个函数的解析式．‎ 解析：因为f(x)和g(x)的最小正周期和为π，‎ 所以＋＝，解得k＝2.‎ 因为f ＝g，‎ 所以asin ＝bcos ，‎ 5‎ 即a·sin ＝b·cos ，‎ 所以a＝b，即a＝b.①‎ 又f ＝－g－1，‎ 则有a·sin ＝－b·cos －1，‎ 即a＝b－1②‎ 由①②得a＝b＝1，‎ 所以f(x)＝sin ，g(x)＝cos .‎ ‎6．已知函数y＝5cos (其中k∈N)，对任意实数a，‎ 在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值．‎ 解析：由5cos ＝，‎ 得cos ＝.‎ 因为函数y＝cos x在每个周期内出现函数值为有两次，而区间[a，a＋3]的长度为3，所以为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．‎ 即2×≤3，且4×≥3.‎ 所以≤k≤.又k∈N，故k＝2,3.‎ 5‎