数学理卷·2018届湖南省长郡中学高二上学期第二次模块检测（2016-12）

数学理卷·2018届湖南省长郡中学高二上学期第二次模块检测（2016-12）

湖南省长郡中学2016-2017学年高二上学期第二次模块检测 数学（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题,每小题4分,共48分.）‎ ‎1.命题“数列前项和是的形式，则数列为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为（ ）．‎ A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎2.下列说法正确的是（ ）．‎ A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，”的否定是“”‎ C．关于的方程的两实根异号的充要条件是 D．命题“在中，若，则”的逆命题为真命题 ‎3.某工厂生产三种不同型号的产品，其产品的数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为的样本，样本中型产品有16件，那么样本容量为（ ）．‎ A．100 B．90 C．80 D．60‎ ‎4.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（ ）．‎ A． B．2 C．4 D．‎ ‎5.在中产生区间上均匀随机数的函数为“”，在用计算机模拟估计函数的图像、直线和轴在区间上部分围成的图形面积时，随机点与该区域内的点的坐标变换公式为（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6.甲、乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲、乙两人的平均数与中位数分别相等，则为（ ）．‎ A．3:2 B．2:3 C．3:1或5:3 D．3:2或7:5‎ ‎7.已知命题，；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是（ ）．‎ A．3 B．7 C．9 D．12‎ ‎9.过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两条渐近线与两点，若，则双曲线的离心率为（ ）．‎ A． B． C．2 D．‎ ‎10.已知函数设，且函数的零点均在区间内，圆的面积的最小值是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎11.关于曲线的下列说法：（1）关于直线对称；（2）是封闭图形，面积大于；（3）不是封闭图形，与圆无公共点；（4）原点道曲线的距离的最小值为4；（5）与曲线的四个交点恰为某正方形的四个顶点．其中正确的个数是（ ）．‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎12.已知函数，若关于的函数 有8个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）‎ ‎13.如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为_____________．‎ ‎14. 双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与此双曲线的两条渐近线分别交于点（不同于点），则_____________．‎ ‎15.已知函数，设，函数在上为单调函数时，则的最大值为 _____________．‎ ‎16.已知椭圆是椭圆的左右顶点，是椭圆上不与重合的一点，的倾斜角分别为，则 _____________．‎ 三、解答题 （本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题8分）‎ 设实数满足不等式，函数无极值点．‎ ‎（1）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）已知“”为真命题，并记为，且，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎18.（本小题8分）‎ 如图1，在直角梯形中，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面互相垂直，如图2．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．‎ ‎19.（本小题10分）‎ 双曲线的一条渐近线方程为，其右焦点到该直线的距离等于；点是圆上的动点，作轴于，且．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设直线与轨迹相交于不同的两点，是否存在过点的直线，使得点关于对称，如果存在，求实数的取值范围；如果不存在，请说明理由．‎ ‎20.（本小题10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，函数图像上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围．‎ ‎（3）求证：（其中，是自然对数的底数）．‎ 参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D C C D DC C C C A B D 二、填空题 ‎13. 14. 15．0 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：由，得，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ‎∵函数无极值点，∴恒成立，‎ 若为真命题，为假命题，则；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　4分 若为真命题，为假命题，则，‎ 于是，实数的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）∵“”真命题，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 又，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 即，从而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ‎∵是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件，‎ ‎∴，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．　8分 ‎18.解析：（1）（法一）因为平面平面，‎ 且平面平面，‎ 又在正方形中，，‎ 所以平面，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　1分 而平面，‎ 所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　2分 在直角梯形中，，‎ 所以，‎ 所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又平面，‎ 所以平面．‎ 而平面, …………………….4分 ‎（法二）同法一，得 ， 以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　2分 ‎，‎ ‎，‎ 所以，．．．．．．．．．．．．．．．3分 又不共线，平面，‎ 所以平面，‎ 而平面，‎ 所以平面平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎（2）（法一）因为平面平面，‎ 所以平面，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 因为平面与平面有公共点，‎ 所以可设平面平面．‎ 因为平面，平面，平面平面，‎ 所以 ，‎ 从而，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　6分 又，且，所以为中点，也为正方形，‎ 易知平面，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 所以是平面与平面所成锐二面角的平面角，而，‎ 所以平面与平面所成锐二面角为45°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎（法二）由（1）知，平面的一个法向量是，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　5分 设平面的一个法向量为，‎ 因为，‎ 所以取，得，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 设平面与平面所成锐二面角为，‎ 则 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 所以平面与平面所成锐二面角为45°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎19．【解析】（1）由题知，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 设，则，‎ 又，‎ 所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎（2）由，‎ 消去整理得．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎∴，‎ 整理得：，①‎ 令，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 设的中点，则，‎ ‎，‎ ‎①当时，由题知，．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ‎②当时，直线的方程为，‎ 由在直线上，得，‎ 化简得，②‎ 把②式代入①中，可得，解得，‎ 又由②得，解得，所以．．．．．．．．．．．．．．9分 综上，当时， ；当时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎20．解：（1）当时，，‎ ‎，‎ 由解得，由解得，‎ 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎（2）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，则当时，不等式恒成立，即恒成立，设，只需即可．‎ 由，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ‎①当时，，当时，，函数在上单调递减，故成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎②当时，由，‎ 因为，所以或，‎ ‎①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在上无最大值（或：当时，），此时不满足条件；‎ ‎②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎③当时，由，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，故函数在上单调递减，‎ 故成立，‎ 综上所述，实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ‎（3）据（2）知，当时，在上恒成立（或另证在区间上恒成立），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又，‎ ‎∵‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分