2010年江苏省连云港市中考数学试卷

2010年江苏省连云港市中考数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1、（2010•连云港）下面四个数中比﹣2小的数是（　　）‎ ‎ A、1 B、0‎ ‎ C、﹣1 D、﹣3‎ 考点：有理数大小比较。‎ 分析：根据有理数大小比较的法则直接求得结果，再判定正确选项．‎ 解答：解：∵正数和0大于负数，‎ ‎∴排除A与B，即只需和C、D比较即可求得正确结果．‎ ‎∵|﹣2|=2，|﹣1|=1，|﹣3|=3，‎ ‎∴3＞2＞1，即|﹣3|＞|﹣2|＞|﹣1|，‎ ‎∴﹣3＜﹣2＜﹣1．‎ 故选D．‎ 点评：考查了有理数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．‎ ‎2、（2010•连云港）下列计算正确的是（　　）‎ ‎ A、a+a=x2 B、a•a2=a3‎ ‎ C、（a2）3=a5 D、a2（a+1）=a3+1‎ 考点：单项式乘多项式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。‎ 分析：根据同底数幂的乘法、幂的乘方和单项式乘以多项式的运算法则计算后利用排除法求解．‎ 解答：解：A、a+a=x2，很明显错误，应该为a+a=2a，故本选项错误；‎ B、a•a2=a3，利用同底数幂的乘法，故本选项正确；‎ C、应为（a2）3=a6，故本选项错误；‎ D、a2（a+1）=a3+a2，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：本题主要考查幂的运算性质，单项式乘以多项式的法则，需要熟练掌握．‎ ‎3、（2010•连云港）如图所示的几何体的左视图是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：简单组合体的三视图。‎ 分析：找到从左面看所得到的图形即可．‎ 解答：解：从左面看应是两个相对的三角形，故选B．‎ 点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ ‎4、（2010•连云港）今年1季度，连云港市高新技术产业产值突破110亿元，同比增长59%，数据“110亿”用科学记数可表示为（　　）‎ ‎ A、1.1×1010 B、11×1010‎ ‎ C、1.1×109 D、11×109‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：“110亿”即11 000 000 000用科学记数可表示为1.1×1010．故选A．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎5、（2010•连云港）下列四个多边形：①等边三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形、其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎ A、①② B、②③‎ ‎ C、②④ D、①④‎ 考点：中心对称图形；轴对称图形。‎ 分析：根据正多边形的性质和轴对称与中心对称的性质解答．‎ 解答：解：由正多边形的对称性知，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；‎ 奇数边的正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形．‎ 故选C．‎ 点评：此题考查正多边形对称性．关键要记住偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，奇数边的正多边形只是轴对称图形．‎ ‎6、（2010•连云港）今年3月份某周，我市每天的最高气温（单位：℃）：12，9，10，6，11，12，17，则这组数据的中位数与极差分别是（　　）‎ ‎ A、8，11 B、8，17‎ ‎ C、11，11 D、11，17‎ 考点：中位数；极差。‎ 分析：首先把所给数据按照由小到大的顺序排序，然后利用中位数和极差定义即可求出结果．‎ 解答：解：把已知数据按照由小到大的顺序排序后为6、9、10、11、12、12、17，‎ ‎∴这组数据的中位数是11；‎ 极差是17﹣6=11．‎ 故选C．‎ 点评：此题主要这样考查了中位数和极差的定义，解题关键是把所给数据按照由小到大的顺序排序，然后确定最大值和最小值．‎ ‎7、（2010•连云港）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）‎ ‎ A、BA=BC B、AC、BD互相平分 ‎ C、AC=BD D、AB∥CD 考点：菱形的判定。‎ 分析：已知四边形的对角线互相垂直，可依据“对角线互相垂直且平分的四边形是菱形”的判定方法，来选择条件．‎ 解答：解：四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，‎ 若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：‎ AC、BD互相平分；（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）‎ 故选B．‎ 点评：此题主要考查的是菱形的判定方法：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．‎ ‎8、（2010•连云港）某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同，以每月用车路程xkm计算，甲汽车租凭公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为y2元，若y1、y2与x之间的函数关系如图所示，其中x=0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是（　　）‎ ‎ A、当月用车路程为2000km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同 B、当月用车路程为2300km时，租赁乙汽车租赁公车比较合算 ‎ C、除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多 D、甲租赁公司平均每公里收到的费用比乙租赁公司少 考点：函数的图象。‎ 分析：观察函数图象可知，函数的横坐标表示路程，纵坐标表示收费，根据图象上特殊点的意义即可求出答案．‎ 解答：解：A、交点为（2000，2000），那么当月用车路程为2000km，两家汽车租赁公司租赁费用相同，不符合题意；‎ B、由图象可得超过2000km时，相同路程，乙公司收费便宜，不符合题意；‎ C、由图象易得乙的租赁费较高，当行驶2000千米时，总收费相同，那么可得甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多，不符合题意；‎ D、由C错误，所以D符合题意；‎ 故选D．‎ 点评：解决本题的关键是理解两个函数图象交点的意义．‎ 二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎9、（2010•连云港）﹣3的倒数是 ．‎ 考点：倒数。‎ 分析：根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．‎ 解答：解：﹣3的倒数是﹣‎1‎‎3‎．‎ 点评：本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．‎ ‎10、（2010•连云港）在数轴上表示﹣‎6‎的点到原点的距离为 ．‎ 考点：实数与数轴。‎ 专题：应用题。‎ 分析：由于数轴上的点到原点的单位长度即为它到原点的距离，由此即可解决问题．‎ 解答：解：∵表示﹣‎6‎的点距离原点有‎6‎个单位长度，‎ ‎∴它到原点的距离为‎6‎．‎ 点评：此题主要考查了实数和数轴是一一对应的关系以及点在数轴上的几何意义．‎ ‎11、（2010•连云港）在函数y=‎‎1‎x+2‎中，自变量x的取值范围是 ．‎ 考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+2≠0，解得答案．‎ 解答：解：根据题意得：x+2≠0，‎ 解可得：x≠﹣2．‎ 点评：求解析法表示的函数的自变量取值范围时：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．‎ ‎12、（2010•连云港）不等式组‎&2x﹣1＜3‎‎&1﹣x＞2‎的解集是 ．‎ 考点：解一元一次不等式组。‎ 分析：先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“同小取小”来求不等式组的解集．‎ 解答：解：由（1）得，x＜2，‎ 由（2）得，x＜﹣1，‎ 故原不等式组的解集为：x＜﹣1．‎ 点评：‎ 主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．‎ ‎13、（2010•连云港）一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示方格地面上（每个小方格都是边长相等的正方形），则小鸟落在阴影方格地面上的概率为 ．‎ 考点：几何概率。‎ 分析：根据几何概率的求法：小鸟落向某区域的概率即该区域的面积与总面积的比值．‎ 解答：解：因为所有方格面积为：S1=25；‎ 阴影的面积为：S2=9．‎ 所以小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是‎9‎‎25‎．‎ 点评：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．‎ ‎14、（2010•连云港）化简：（a﹣2）•a‎2‎‎﹣4‎a‎2‎‎﹣4a+4‎= ．‎ 考点：分式的基本性质。‎ 分析：先将分式用公式法进行因式分解，然后再进行约分、化简．‎ 解答：解：原式=（a﹣2）×‎（a+2）（a﹣2）‎‎（a﹣2）‎‎2‎=a+2．‎ 点评：在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．‎ ‎15、（2010•连云港）若关于x的方程x2﹣mx+3=0有实数根，则m的值可以为 ．（任意给出一个符合条件的值即可）．‎ 考点：根的判别式。‎ 专题：开放型。‎ 分析：若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围后，再取一个符合条件的值即可．‎ 解答：解：∵一元二次方程有实数根，‎ ‎∴△=m2﹣12≥0，取m=4．（本题答案不唯一）‎ 点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：‎ ‎（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；‎ ‎（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎16、（2010•连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B=22°，则∠A= 度．‎ 考点：圆周角定理；平行线的性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：已知了∠B的度数，即可由圆周角定理求出同弧所对的圆心角∠AOC的度数，再根据平行线的内错角相等可得出∠A的度数．‎ 解答：解：∵BA∥CO，‎ ‎∴∠A=∠AOC；‎ ‎∵∠B=22°，‎ ‎∴∠AOC=2∠B=44°，‎ ‎∴∠A=44°．‎ 点评：此题主要考查的是平行线的性质及圆周角定理的应用．‎ ‎17、（2010•连云港）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为 ，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出‎3‎‎4‎+‎3‎‎4‎‎2‎+‎3‎‎4‎‎3‎+…+‎3‎‎4‎n= ．‎ 考点：规律型：图形的变化类。‎ 分析：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．‎ 解答：解：‎ ‎∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，‎ 且△ABC的面积为1，‎ ‎∴△A1B1C的面积为1×‎1‎‎4‎．‎ ‎∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积﹣△A1B1C的面积=‎3‎‎4‎=1﹣‎1‎‎4‎；‎ ‎∴四边形A2A1B1B2的面积=△A1B1C的面积﹣△A1B1C的面积=‎1‎‎4‎﹣‎1‎‎4‎‎2‎=‎3‎‎4‎‎2‎．‎ ‎…，‎ ‎∴第n个四边形的面积=‎1‎‎4‎n﹣1‎‎﹣‎‎1‎‎4‎n=‎3‎‎4‎n．‎ 故‎3‎‎4‎+‎3‎‎4‎‎2‎+‎3‎‎4‎‎3‎+…+‎3‎‎4‎n=（1﹣‎1‎‎4‎）+（‎1‎‎4‎﹣‎1‎‎4‎‎2‎）+…+（‎1‎‎4‎n﹣1‎‎﹣‎‎1‎‎4‎n）=1﹣‎1‎‎4‎n．‎ 点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．‎ ‎18、（2010•连云港）矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B’处，折痕为AE、在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为 ．‎ 考点：翻折变换（折叠问题）。‎ 分析：由翻折的性质知，BP=B′P，而要点P到CD的距离等于PB，则该垂线段必为PB′，故有PB′⊥CD，延长B′P交于点AB于点F，由于DF∥AB，则∠F=∠BAE=∠B′AE，所以B′F=B′A=AB=5，而B′P∥AD，利用平行线分线段成比例定理（或相似三角形的性质）即可求得B′P的长，由此得解．‎ 解答：解：根据折叠的性质知：BP=PB′，若点P到CD的距离等于PB，则此距离必与B′P相同，所以该距离必为PB′，延长AE交DC的延长线于F；‎ 由题意知：AB=AB′=5，∠BAE=∠B′AE；‎ 在Rt△AB′D中，AB′=5，AD=4，故BD=3；‎ 由于DF∥AB，则∠F=∠BAE，‎ 又∵∠BAE=∠B′AE，则∠B′AE=∠F，‎ ‎∴∠F=∠B′AE，即FB′=AB′=5；‎ ‎∵PB′⊥CD，AD⊥CD，‎ ‎∴PB′∥AD，‎ ‎∴PB'‎AD‎=‎FB'‎DF，即PB'‎‎4‎‎=‎‎5‎‎5+3‎，‎ 解得PB′=2.5；‎ 故此相等的距离为2.5．‎ 点评：此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换以及相似三角形的性质等知识的应用，此题的关键是能够发现PB′就是所求的P到CD的距离．‎ 三、解答题（共10小题，满分96分）‎ ‎19、（2010•连云港）计算：（1）（﹣2）2+3×（﹣2）﹣（‎1‎‎4‎）﹣2；‎ ‎（2）已知x=‎2‎﹣1，求x2+3x﹣1的值．‎ 考点：二次根式的化简求值；实数的运算。‎ 分析：（1）根据实数的运算规则进行计算；‎ ‎（2）本题有两种方法：①直接代值计算；②可由已知x的值，先求出（x+1）2的值，然后再整体代入求解．‎ 解答：解：（1）原式=4+（﹣6）﹣16‎ ‎=﹣18；‎ ‎（2）方法一：‎ 当x=‎2‎﹣1时，‎ x2+3x﹣1=（‎2‎﹣1）2+3（‎2‎﹣1）﹣1‎ ‎=2﹣2‎2‎+1+3‎2‎﹣3﹣1‎ ‎=‎2‎﹣1；‎ 方法二：‎ 因为x=‎2‎﹣1，所以x+1=‎2‎，所以（x+1）2=（‎2‎）2‎ 即x2+2x+1=2，所以x2+2x=1‎ 所以x2+3x﹣1=x2+2x+x﹣1=1+x﹣1=‎2‎﹣1．‎ 点评：此题主要考查了二次根式和实数的运算，涉及的知识点有：负整数次幂、完全平方公式等．‎ ‎20、（2010•连云港）随着我市经济发展水平的提高和新兴产业的兴起，劳动力市场已由体力型向专业技能型转变，为了解我市外来务工人员的专业技术状况，劳动部门随机抽查了一批外来务工人员，并根据所收集的数据绘制了两幅不完整的统计图：‎ ‎（1）本次共调查了名外来务工人员，其中有初级技术的务工人员有 人，有中级技术的务工人员人数占抽查人数的百分比是 ；‎ ‎（2）若我市共有外来务工人员15000人，试估计有专业技术的外来务工人员共有多少人？‎ 考点：扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）根据无技术的35人占总体的70%，即可求得总人数．结合条形统计图即可求得初级技术的务工人员人数，再根据总人数和中级技术的务工人员人数即可求得其百分比；‎ ‎（2）根据样本中有专业技术的外来务工人员所占的百分比估计总体．‎ 解答：解：（1）35÷70%=50（人）．‎ 初级技工人数：50﹣2﹣5﹣35=8（人），中级技工人数所占的百分比：5÷50=10%．‎ ‎（2）15000×‎50﹣35‎‎50‎=4500（人）．‎ 答：估计有4500人．‎ 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．‎ 读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．‎ 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎21、（2010•连云港）从甲地到乙地有A1、A2两条路线，从乙地到丙地有B1、B2、B3三条路线，从丙地到丁地有C1、C2两条路线．一个人任意选了一条从甲地到丁地的路线，求他恰好选到B2路线的概率是多少？‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：用树状图列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．‎ 解答：解：用树状图分析如下：‎ 所以P（选到B2路线）=‎4‎‎12‎=‎1‎‎3‎．‎ 答：他恰好选到B2路线的概率是‎1‎‎3‎．‎ 点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，注意本题是放回实验．‎ ‎22、（2010•连云港）已知反比例函数y=kx的图象与二次函数y=ax2+x﹣1的图象相交于点（2，2）‎ ‎（1）求a和k的值；‎ ‎（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？‎ 考点：待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的性质。‎ 分析：（1）将交点坐标分别代入两个函数的解析式中，即可求得a、k的值；‎ ‎（2）根据（1）可确定两个函数的解析式；求得二次函数的顶点坐标后，将其代入反比例函数的解析式中进行验证即可．‎ 解答：解：（1）因为二次函数y=ax2+x﹣1与反比例函数y=kx交于点（2，2）‎ 所以2=4a+2﹣1，解之得a=‎1‎‎4‎（2分）‎ ‎2=k‎2‎，所以k=4；（4分）‎ ‎（2）反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点；（5分）‎ 由（1）知，二次函数和反比例函数的关系式分别是y=‎1‎‎4‎x2+x﹣1和y=‎4‎x；‎ 因为y=‎1‎‎4‎x2+x﹣1=y=‎1‎‎4‎（x2+4x﹣4）=‎1‎‎4‎（x2+4x+4﹣8）=y=‎1‎‎4‎[（x+2）2﹣8]=‎1‎‎4‎（x+2）2﹣2，（6分）‎ 所以二次函数图象的顶点坐标是（﹣2，﹣2）；（7分）‎ 因为x=﹣2时，y=‎4‎‎﹣2‎=﹣2，所以反比例函数图象经过二次函数图象的顶点．（8分）‎ 点评：此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法及二次函数的顶点坐标的求法；在求二次函数的顶点坐标时，要针对题型要灵活地根据已知条件选择配方法和公式法．‎ ‎23、（2010•连云港）在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试，测试结果显示，甲校男生的优分率为60%，女生的优分率为40%，全校的优分率为49.6%；乙校男生的优分率为57%，女生的优分率为37%．‎ ‎（男（女）生优分率=男（女）生优分人数男（女）生测试人数×100%，全校优分率=全校优分人数全校测试人数×100%）‎ ‎（1）求甲校参加测试的男、女生人数各是多少？‎ ‎（2）从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低，请举例说明原因．‎ 考点：二元一次方程组的应用。‎ 专题：应用题。‎ 分析：（1）设甲校参加测试的男生人数是x人，女生人数是y人．根据“甲、乙两校各有100名”“男生的优秀率+女生的优秀率=全校的优秀率”作为相等关系列方程组即可求解；‎ ‎（2）这与乙校的男生人数和女生人数有关，可设乙校男生有70人，女生有30人，计算出优分率比较即可．‎ 解答：解：（1）设甲校参加测试的男生人数是x人，女生人数是y人．‎ 由题意可列方程组 ‎&x+y=100‎‎&60%x+40%y=49.6%×100‎ 解之得‎&x=48‎‎&y=52‎ 所以甲校参加测试的男生人数是48人，女生人数是52人．‎ ‎（2）如：乙校男生有70人，女生有30人，则乙校的全校优分率为‎70×57%+30×37%‎‎100‎×100%=51%‎ ‎∵51%＞49.6%‎ ‎∴甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低．‎ 点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．‎ ‎24、（2010•连云港）如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，O为AD边的中点，若把四边形ABCD绕着点O顺时针旋转180°，试解决下列问题：‎ ‎（1）画出四边形ABCD旋转后的图形；‎ ‎（2）求点C旋转过程所经过的路径长；‎ ‎（3）设点B旋转后的对应点为B′，求tan∠DAB′的值．‎ 考点：解直角三角形；弧长的计算；作图-旋转变换。‎ 专题：网格型。‎ 分析：（1）连接BO、CO、并延长相同单位找到对应点，顺次连接即可．‎ ‎（2）点C旋转过程所经过的路径是一段弧线，根据弧长公式即可计算．‎ ‎（3）先利用网格计算出三角形的边长，得出三角形为直角三角形，再根据正切函数定义计算．‎ 解答：解：（1）（3分）‎ ‎（2）易知点C的旋转路径是以O为圆心，OC为半径的半圆．‎ 因为OC=‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎5‎，‎ 所以半圆的长为‎5‎π． （6分）‎ ‎（3）B′D=‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎2‎，‎ AB′=‎3‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=3‎2‎，‎ AD=‎4‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎5‎，‎ 所以AD2=B′D2+AB′2‎ 所以△ADB′是直角三角形，且∠AB′D=90°． （8分）‎ 所以tan∠DAB′=DB'‎AB'‎=‎2‎‎3‎‎2‎=‎1‎‎3‎． （10分）‎ 点评：本题综合考查了旋转变换作图和弧长公式的计算方法，及解直角三角形．‎ ‎25、（2010•连云港）我市某工艺品厂生产一款工艺品、已知这款工艺品的生产成本为每件60‎ 元．‎ 经市场调研发现：该款工艺品每天的销售量y（件）与售价x（元）之间存在着如下表所示的一次函数关系．‎ ‎（利润=（售价﹣成本价）×销售量）‎ ‎（1）求销售量y（件）与售价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）你认为如何定价才能使工艺品厂每天获得的利润为40000元？‎ 考点：一次函数的应用；一元二次方程的应用。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）设一次函数的一般式y=kx+b，将（70，3000）（90，1000）代入即可求得；‎ ‎（2）按照等量关系“利润=（定价﹣成本）×销售量”列出利润关于定价的函数方程，求解即可．‎ 解答：解：（1）设一次函数关系式为y=kx+b，根据题意得‎&3000=70k+b‎&1000=90k+b 解之得k=﹣100，b=10000‎ 所以所求一次函数关系式为y=﹣100x+10000‎ ‎（2）由题意得（x﹣60）（﹣100x+10000）=40000‎ 即x2﹣160x+6400=0，所以（x﹣80）2=0‎ 所以x1=x2=80‎ 答：当定价为80元时才能使工艺品厂每天获得的利润为40000元．‎ 点评：此题为应用题，学生应学会通过运用函数方程去解，培养解决实际问题的能力．‎ ‎26、（2010•连云港）如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=74°，∠BEQ=30°；在点F处测得∠AFP=60°，∠BFQ=60°，EF=1km．‎ ‎（1）判断AB，AE的数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．‎ ‎（参考数据：‎3‎≈1.73，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）‎ 考点：解直角三角形的应用。‎ 分析：（1）根据SAS即可证明△AEF≌△ABF，得到AB=AE；‎ ‎（2）作AH⊥PQ，垂足为H．设AE=x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函数表示出HE 与HF，从而可得到关于x的方程，解方程即可得解．‎ 解答：解：（1）相等． （1分）‎ ‎∵∠BEQ=30°，∠BFQ=60°，‎ ‎∴∠EBF=30°，EF=BF． （2分）‎ 又∵∠AFP=60°，∴∠BFA=60°．‎ 在△AEF与△ABF中，‎ EF=BF，∠AFE=∠AFB，AF=AF，‎ ‎∴△AEF≌△ABF，‎ ‎∴AB=AE． （5分）‎ ‎（2）方法一：作AH⊥PQ，垂足为H．‎ 设AE=x，‎ 则AH=xsin74°，HE=xcos74°，‎ HF=xcos74°+1． （7分）‎ Rt△AHF中，AH=HF•tan60°，‎ ‎∴xsin74°=（xcos74°+1）•tan60°，‎ 即0.96x=（0.28x+1）×1.73，‎ 解得x≈3.6，即AB≈3.6．‎ 答：两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km． （10分）‎ 方法二：设AF与BE的交点为G．‎ 在Rt△EGF中，∵EF=1，∴EG=‎3‎‎2‎． （7分）‎ 在Rt△AEG中，‎ ‎∠AEG=76°，AE=EG÷cos76°=‎3‎‎2‎÷0.24≈3.6．‎ 答：两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km． （10分）‎ 点评：本题主要运用了三角函数，把求线段成的问题转化为方程求解的问题．‎ ‎27、（2010•连云港）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．‎ ‎（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有 ；‎ ‎（2）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE=AB，连接AE，那么有S梯形ABCD=S△ABE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．‎ 考点：作图—复杂作图；三角形的面积；全等三角形的判定；梯形。‎ 专题：探究型。‎ 分析：（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：一定是三角形的面积等分线的是三角形的中线；‎ ‎（2）根据等底等高可得S△ABC=S△AEC，即可证明S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法，可以先作DE的垂直平分线，找到中点，再连接AE即可；‎ ‎（3）能，连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE，证明可仿照（2）进行．‎ 解答：解：‎ ‎（1）中线所在的直线（2分）‎ ‎（2）方法一：连接BE，因为AB∥CE，AB=CE，所以四边形ABEC为平行四边形 所以BE∥AC（3分）‎ 所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等 所以有S△ABC=S△AEC 所以S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED（5分）‎ 方法二：设AE与BC相交于点F 因为AB∥CE所以∠ABF=∠ECF，∠BAF=∠CEF 又因为AB=CE 所以△ABF≌△ECF（4分）‎ 所以S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED（5分）‎ 过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图所示：‎ ‎（3）能，连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．‎ 因为BE∥AC，所以所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，所以有S△ABC=S△AEC 所以S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED（8分）‎ 因为S△ACD＞S△ABC 所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线，作图如下：‎ ‎（10分）‎ 点评：本题考查了学生的阅读理解能力、运用作图工具的能力，以及运用三角形、等底等高性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．还渗透了由“特殊”到“一般”的数学思想．‎ ‎28、（2010•连云港）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（﹣2，﹣2），半径为‎2‎．函数y=﹣x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点．‎ ‎（1）连接CO，求证：CO⊥AB；‎ ‎（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；‎ ‎（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）要靠辅佐线来完成解题．延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G，根据题意求得坐标A，B，继而求出∠DAO=45°．然后根据点C的坐标求出CG=OG=2，故求得∠COG=45°，∠AOD=45°后可知∠ODA=90°，证得CO⊥AB．‎ ‎（2）要使△PDA为等腰三角形，要分三种条件解答．即当OP=OA；当PO=PA以及AP=AC三种情况．‎ ‎（3）当直线PO与⊙O相切时，设切点为K，连接CK，则CK⊥O．由点C的坐标为（﹣2，﹣2），易得CO=2‎2‎，求出∠COK=30°，同理求出∠POA的另一个值为15°．因为M为EF的中点，可以推出△COM∽△POD，然后根据线段比求出MO•PO=CO•DO．求出st的值．故当PO过圆心C时，可求出s的值．‎ 解答：解：（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．‎ 因为直线AB的函数关系式是y=﹣x+2，所以易得A（2，0），B（0，2）‎ 所以AO=BO=2‎ 又因为∠AOB=90°，所以∠DAO=45°（1分）‎ 因为C（﹣2，﹣2），所以CG=OG=2‎ 所以∠COG=45°，∠AOD=45°（2分）‎ 所以∠ODA=90°，‎ 所以OD⊥AB，即CO⊥AB（3分）‎ ‎（2）要使△POA为等腰三角形 ‎①当OP=OA时，此时点P与点B重合，所以点P坐标为（0，2）；‎ ‎②当PO=PA时，由∠OAB=450，所以点P恰好是AB的中点，所以点P坐标为（1，1）；‎ ‎③当AP=AO时，则AP=2，过点P作PH⊥OA交于点H，在Rt△APH中，易得PH=AH=‎2‎，所以OH=2﹣‎2‎，所以点坐标为（2﹣‎2‎，‎2‎）（7分）‎ ‎（3）当直线PO与⊙O相切时，设切点为K，连接CK，则CK⊥OK 由点C的坐标为（﹣2，﹣2），易得CO=2‎2‎，‎ 又因为⊙C的半径为‎2‎，所以∠COK=30°，‎ 所以∠POD=30°，又∠AOD=45°，所以∠POA=75°‎ 同理可求出∠POA的另一个值为15°‎ 所以∠POA等于75°或15°（10分）‎ 因为M为EF的中点，所以CM⊥EF 又因为∠COM=∠POD．CO⊥AB 所以△COM∽△POD 所以COPO=MODO，即MO•PO=CO•DO 因为PO=t，MO=s，CO=2‎2‎，DO=‎2‎，所以st=4．‎ 当PO过圆心C时，MO=CO=2‎2‎，PO=DO=‎2‎，即MO•PO=4，也满足st=4．所以s=‎4‎t．（‎2‎‎≤t≤‎‎2‎‎6‎‎3‎）．‎ 点评：本题难度偏大，考查的是一次函数的运用，圆的知识以及相似三角形的有关知识．考生要注意的是要根据最基本的一次函数循序解答，不可大意．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ HJJ；xinruozai；py168；shenzigang；Linaliu；zhangCF；MMCH；huangling；hbxglhl；CJX；lanyuemeng；lanchong；张伟东；路斐斐；mama258；xiawei；csiya；zhjh；fuaisu；lzhzkkxx；zhangchao。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日