2017-2018学年湖北省宜昌市示范高中协作体高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年湖北省宜昌市示范高中协作体高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018 学年湖北省宜昌市示范高中协作体高二上学期期中考 试（理科）数学 命题人：张春华 审题人：崔成平 （全卷满分：150 分 　 考试用时：120 分钟） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）． 1. 直线 x － 3y＋1＝0 的倾斜角是(　　) A． 5π 6 　　　 B． π 3 C． 2π 3 D． π 6 　 2．点 A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标为(　　) A．(－3,4，－10) B．(－3,2，－4) C．( 3 2，－ 1 2， 1 2) D．(6，－5,11) 3．设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l ⊂α，m⊂β.(　　) A．若 l⊥β，则 α⊥β B．若 α⊥β，则 l⊥m C．若 l∥β，则 α∥β D．若 α∥β，则 l∥m 4. 已知两条直线 l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0 平行，则 a=（　　） A．﹣1 B．2 C．0 或﹣2 D．﹣1 或 2 5. 已知点 P(x，y)在圆 x2＋y2＝1 上，则 的最大值为(　　) A. 2 B．2 2 C． 2＋1 D.1 6. 在三棱锥 A-BCD 中,E、F、G 分别是 AB、AC、BD 的中点,若 AD 与 BC 所成的角为 ,则∠FEG 为 ( ) A．30° B．60° C．120° D．60°或 120° 7. 入射光线沿直线 x－2y＋3＝0 射向直线 l：y＝x，被直线 l 反射后的光线所在直线的方程是(　　) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x＋y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0 2 2( 1) ( 1)x y− + − 60 8. 如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：以下说法正确的是(　　) ① 与 平行； ② 与 是异面直线； ③ 与 成 60°角； ④ 与 垂直； A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④ 9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　) A．12＋ 3 B．10＋ 3 C．6＋7 3 D．12 10．已知直线 kx－y－1+3k＝0（k∈R）恒过定点 A，点 A 在直线 mx+ny+1=0（m＞0，n＞0）上， 则 的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 16 11. 一个高为 2 的三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为 2 的等腰直角三角形，则该 几何体外接球的体积（　 　） A．4 π B．9π C．12π D． π 1 2 m n + 3 3 12. 已知点 A（﹣2，0），B（0，4），点 P 在圆 C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5 上，则使∠APB=90°的点 P 的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上) 13. 两平行直线 5x＋12y＋3＝0 与 10x＋24y＋5＝0 之间的距离是　 　　． 14. 设变量 x，y 满足{x－2y＋2 ≥ 0， x＋y－2 ≥ 0， x ≤ 3， 则 z＝2x－y 的最大值________． 15.直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且仅有一个公共点，则 b 的取值范围是________． 16.如右图，在 Rt△AOB 中，∠OAB＝30°，斜边 AB＝4，Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且二面角 B－AO－C 是直二面角．动点 D 在斜边 AB 上， 则 CD 与平面 AOB 所成角的正切值的最大值________． 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题 10 分) 已知三角形的三个顶点 A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)， (1) 求 BC 边所在的直线方程; (2) 求 BC 边上的高所在直线方程． 18．(本题 12 分)已知圆 C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线 l：ax＋y＋2a＝0. (1)当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切； (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且|AB|＝2 2时，求直线 l 的方程． 19. (本题 12 分)如图所示，在三棱柱 ABC ­A1B1C1 中，侧棱 AA1 ⊥底面 ABC，AB⊥BC，D 为 AC 的中点， AA1＝AB＝2. (1)求证：AB1∥平面 BC1D； (2)设 BC＝2，求四棱锥 B—DAA1C1 的体积． 20.(本题 12 分)已知直线 l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围； (2)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为 S， 求 S 的最小值及此时直线 l 的方程． 21.(本题 12 分) 如图(1)，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点．将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1F⊥CD，如图(2)． (1)求证：A1F⊥BE； (2)线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ？说明理由. 22. (本题 12 分) 如图所示，已知圆 A 的圆心在直线 y=﹣2x 上，且该圆存在两点关于直线 x+y﹣1=0 对称，又圆 A 与直线 l1：x+2y+7=0 相切，过点 B（﹣2，0）的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点，Q 是 MN 的中点，直线 l 与 l1 相交于点 P． （1）求圆 A 的方程； （2） 是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理 由． )BM BN BP+ ⋅  （ 宜昌市部分示范高中教学协作体 2017 年秋期中联考 高二理数答案 一、选择题（每小题 5 分，共计 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A D C D B B A C A B 二、填空题（每小题 5 分，共计 20 分） 13. 1 26 14.7 15. －10， ………………………………6 分 ∴k>0. …………………………… 7 分 故 S＝1 2|OA||OB|＝1 2×1＋2k k ×(1＋2k)＝1 2(4k＋ 1 k＋4)≥1 2(4＋4)＝4， ………10 分 当且仅当 4k＝1 k，即 k＝1 2时，取等号．故 S 的最小值为 4， ………11 分 此时直线 l 的方程为 x－2y+4=0 ………………………12 分 21. (本题 12 分) (1)证明：由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC， 所以 DE⊥AC. 所以 DE⊥A1D，DE⊥CD. 又 A1D∩CD＝D，A1D 平面 A1DC，CD 平面 A1DC， 所以 DE⊥平面 A1DC. ………………………………3 分 因为 A1F 平面 A1DC，所以 DE⊥A1F. ………………………………4 分 又因为 A1F⊥CD， 所以 A1F⊥平面 BCDE.所以 A1F⊥BE. ………………………6 分 ⊂ ⊂ ⊂ (2)线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ. …………………………………7 分 理由如下： 如图所示，分别取 A1C，A1B 的中点 P，Q，连接 DP，QE，PQ，则 PQ∥BC. ………8 分 又因为 DE∥BC，所以 DE∥PQ. 所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(1)知，DE⊥平面 A1DC， 所以 DE⊥A1C. ………9 分 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点， 所以 A1C⊥DP. …………………………10 分 又 DP∩DE＝D，DP 平面 DEP，DE 平面 DEP， 所以 A1C⊥平面 DEP. …………………………11 分 从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ. ………………………12 分 22. (本题 12 分) 解：（1）由圆存在两点关于直线 x+y﹣1=0 对称知圆心 A 在直线 x+y﹣1=0 上，………1 分 由 得 A（﹣1，2）， ………………………3 分 设圆 A 的半径为 R，因为圆 A 与直线 l1：x+2y+7=0 相切， ∴ ， ………………………5 分 ∴圆 A 的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20. ………………………6 分 （2）∵AQ⊥BP，∴ • =0， ……………………… ⊂ ⊂ 7 分 ∴（ + ）• =2 • =2（ ）• =2（ + • ）=2 • ， ……… 8 分 当直线 l 与 x 轴垂直时，得 ，则 =（0， ），又 =（1，2）， ∴（ + ）• =2 • =2 • =-10， ……… 9 分 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=k（x+2）， 由 ，解得 ，∴ =（ ， ）， ………10 分 ∴（ + ）• =2 • =2 • =2（ + ）=﹣10 ………11 分 综上所述，（ + ）• 是定值，且为﹣10 ………………………12 分