福建省龙岩市高级中学2018-2019学年高三（上）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）
福建省龙岩高级中学2018-2019学年高三（上）第一次月考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设U={1,2，3，4}，且M={x∈U|x2-5x+P=0}，若∁UM={2,3}，则实数P的值为( )
A. -4 B. 4 C. -6 D. 6
【答案】B
【解析】解：由全集U={1,2，3，4}，CUM={2,3}，
得到集合M={1,4}，即1和4是方程x2-5x+P=0的两个解，
则实数P=1×4=4．
故选：B．
由全集U和集合M的补集确定出集合M，得到集合M中的元素是集合M中方程的解，根据韦达定理利用两根之积等于P，即可求出P的值．
此题考查学生理解掌握补集的意义，灵活利用韦达定理化简求值，是一道基础题．
2. 若tanα<0，且sinα>cosα，则α在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】解：∵tanα<0，
∴α在第2或4象限．
∵sinα>cosα，
∴α在第2象限．
故选：B．
利用各象限三角函数值的符号判断即可．
本题考查各象限三角函数值的符号，考查转化思想与运算能力，属于基本知识的考查．
3. 如果命题“￢(p或q)”是假命题，则下列说法正确的是( )
A. p、q均为真命题 B. p、q中至少有一个为真命题
C. p、q均为假命题 D. p、q至少有一个为假命题
【答案】B
【解析】解：∵命题“￢(p或q)”是假命题，
∴命题“p或q”为真命题，
则p、q中至少有一个为真命题．
故选：B．
由已知可得命题“p或q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题．
本题考查复合命题的真假判断，是基础题．
1. 已知命题“∃x∈R，2x2+(a-1)x+12≤0是假命题，则实数a的取值范围是( )
A. (-∞,-1) B. (-1,3) C. (-3,+∞) D. (-3,1)
【答案】B
【解析】解：∵“∃x∈R，2x2+(a-1)x+12≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+(a-1)x+12>0“
∵“∃x∈R，2x2+(a-1)x+12≤0”为假命题
∴“∀x∈R，2x2+(a-1)x+12>0“为真命题
即2x2+(a-1)x+12>0恒成立
∴(a-1)2-4×2×12<0
解得-1
0恒成立，令判别式小于0，求出a的范围．
本题考查含量词的命题的否定形式：将量词”∀”与“∃”互换，同时结论否定、考查命题与其否定真假相反、考查二次不等式恒成立从开口方向及判别式两方面考虑．
2. 函数y=x13的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：函数y=x13的图象过(1,1)点，
在x>0时，是凸函数，是增函数，
故选：B．
根据幂函数的图象和性质，分析出函数的单调性，凸凹性及所过定点，可得答案．
本题考查的知识点是函数的图象，幂函数的性质，难度不大，属于基础题．
1. 已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(-12,32)，且2α∈[0,2π)，则tanα等于( )
A. -3 B. 3 C. -33 D. 33
【答案】B
【解析】解：由角2α的终边经过点(-12,32)，且2α∈[0,2π)，可得2α=2π3，
故α=π3，可得tanα=tanπ3=3，
故选：B．
根据题意求出2α=2π3，可得α=π3，由此求得tanα的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，求出2α=2π3，是解题的关键，属于基础题.本题从角的角度求解，比较简练
2. 若f(x)=1log12(2x+1)，则f(x)的定义域为( )
A. (-12,0) B. (-12,+∞)
C. (-12,0)∪(0,+∞) D. (-12,2)
【答案】C
【解析】解：根据题意有：2x+1≠12x+1>0
解得：-120
C. f(x0)<0 D. f(x0)的符号不确定
【答案】C
【解析】解：根据题意，函数f(x)=lnx-log12x=lnx+log2x，其定义域为(0,+∞)，
且在其定义域上为增函数，
a是函数f(x)=lnx-log12x的零点，则f(a)=0，
若00y≤2，若z=yx，则z的取值范围为( )
A. (0,2) B. (0,2] C. (2,+∞) D. [2,+∞)
【答案】D
【解析】解：作出实数x，y满足x-y+1≤0x>0y≤2表示的平面区域，
得到如图的阴影区域，
设P(x,y)为区域内点，定点O(0,0)．
可得z=yx表示P、O两点连线的斜率，显然OA
的斜率最小，由x-y+1=0y=2，可得A(1,2)
可得z≥21=2．
故选：D．
作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的阴影区域.设P(x,y)为区域内一点，定点O(0,0)，可得目标函数z=yx，表示P、O两点连线的斜率，运动点P并观察直线PO斜率的变化，即可z的取值范围．
本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=yx的最值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和直线的斜率等知识，是中档题．
1. 已知tan(α+π4)=12，且-π2<α<0，则2sin2α+sin2αcos(α-π4)=( )
A. -255 B. -3510 C. -31010 D. 255
【答案】A
【解析】解：因为tan(α+π4)=12，所以1+tanα1-tanα=12，解得tanα=-13，因为-π2<α<0，所以sinα=-1010；
2sin2α+sin2αcos(α-π4)=2(sinα+cosα)sin α22(cosα+sinα)=22sinα=22×(-1010)=-255．
故选：A．
通过tan(α+π4)=12利用两角和的正切公式，求出tanα，结合角的范围，求出sinα，化简要求的表达式，代入sinα，即可得到选项．
本题是基础题，考查两角和的正切公式的应用，三角函数的表达式的化简求值，考查计算能力，注意角的范围，三角函数的值的符号的确定，以防出错．
2. 已知变量a，b满足b=-12a2+3lna(a>0)，若点Q(m,n)在直线y=2x+12上，则(a-m)2+(b-n)2的最小值为( )
A. 95 B. 355 C. 9 D. 3
【答案】A
【解析】解：∵b=-12a2+3lna(a>0)，
设b=y，a=x，则有：y=3lnx-12x2，
∴(a-m)2+(b-n)2就是曲线y=3lnx-12x2与直线y=2x+12之间的最小距离的平方值，
对曲线y=3lnx-12x2，求导：y'(x)=3x-x，
与y=2x+12平行的切线斜率k=2=3x-x，解得：x=1或
x=-3(舍)，
把x=1代入y=3lnx-12x2，得：y=-12，即切点为(1,-12)，
切点到直线y=2x+12的距离：|2+12+12|4+1=355，
∴(a-m)2+(b-n)2的最小值就是(355)2=95．
故选：A．
根据y=3lnx-12x2；以及y=2x+12，所以(a-m)2+(b-n)2就是曲线y=3lnx-12x2与直线y=2x+12之间的最小距离的平方值，由此能求出(a-m)2+(b-n)2的最小值．
本题考查对数运算法则的应用，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
1. 已知x，y为正实数，且满足4x+3y=12，则xy的最大值为______．
【答案】3
【解析】解：因为：x，y为正实数
∴4x+3y=12≥24x⋅3y=212xy，
⇒12xy≤6⇒xy≤3.(当且仅当x=32，y=2时取等号.)
所以：xy的最大值为3．
故答案为：3．
直接根据x，y为正实数，且满足4x+3y=12利用基本不等式即可得到答案．
本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，属基本题．
2. 已知3sin(π+α)+cos(-α)4sin(-α)-cos(9π+α)=2，则tanα=______．
【答案】15
【解析】解：∵3sin(π+α)+cos(-α)4sin(-α)-cos(9π+α)=-3sinα+cosα-4sinα+cosα=2，∴-3sinα+cosα=2(-4sinα+cosα)，
∴5sinα=cosα，∴tanα=sinαcosα=15，
故答案为：15．
利用诱导公式，把等式化为-3sinα+cosα=2(-4sinα+cosα)，即5sinα=cosα，故tanα=sinαcosα=15．
本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，推出5sinα=cosα 是解题的关键．
1. 已知点P(1,-2)及其关于原点对称点均不在等式2x-by+1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是______．
【答案】⌀
【解析】解：点P(1,-2)关于原点的对称点为Q(x,y)，
则x+12=0y-22=0，解得Q(-1,2)；
∵点P(1,-2)及其关于原点的对称点Q均不在不等式2x-by+1>0表示的平面区域内，
∴把点P，Q的坐标代入代数式2x-by+1中，应满足-2-2b+1≤02+2b+1≤0，
解得b∈⌀，即b的取值范围是⌀．
故答案为：⌀．
先求出点P关于原点的对称点Q，把点P、Q的坐标代入不等式2x-by+1>0中不成立，从而求出b的取值范围．
本题考查了用二元一次不等式表示平面区域的应用问题，是基础题目．
2. 已知f(x)=|lnx|,x>02x+1,x≤0，则方程f[f(x)]=3的根的个数是______．
【答案】5
【解析】解：由题意得，
2f(x)+1=3或|lnf(x)|=3，
即f(x)=1(舍去)或f(x)=e3或f(x)=e-3；
若f(x)=e3，
则2x+1=e3或|lnx|=e3，
故x=e3-12(舍去)或x=ee-3或x=e-e-3；
若f(x)=e-3，
则2x+1=e-3或|lnx|=e-3，
故x=e-3-12或x=ee-3或x=e-e-3；
故方程f[f(x)]=3共有5个解，
故答案为：5．
由题意得2f(x)+1=3或|lnf(x)|=3，从而解得f(x)=e3或f(x)=e-3；从而再讨论即可．
本题考查了分段函数与复合函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
3. 已知集合A={y|y=x2-32x+1,x∈[34,2]}，B={x|x+m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】解：y=x2-32x+1=(x-34)2+716；
该函数在[34,2]上单调递增，x=2时，y=2；
∴A={y|716≤y≤2}，B={x|x≥1-m2}；
∵x∈A是x∈B
的充分条件；
∴1-m2≤716；
解得m≤-34，或m≥34；
∴实数m的取值范围为(-∞,-34]∪[34,+∞)．
【解析】先求二次函数y=x2-32x+1在区间[34,2]上的值域，从而解出集合A，在解出集合B，根据“x∈A”是“x∈B”的充分条件即可得到关于m的不等式，从而解不等式即得实数m的取值范围．
考查二次函数在闭区间上的值域的求法，描述法表示集合，以及充分条件的概念，解一元二次不等式．
1. 设sinα=-35，sinβ=1213，且α∈(π,3π2)，β∈(π2,π)，求sin(α-β)，cos2α，tanβ2的值．
【答案】解：∵sin α=-35，sin β=1213，且α∈(π,3π2)，β∈(π2,π)，
∴cos α=-1-sin2α=-45，cos β=-1-sin2β=-513，
∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-35⋅(-513)-(-45)⋅1213=6365．
cos 2α=1-2sin2α=1-2×925=725，
tanβ2=sinβ1+cosβ=12131-513=32．
【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，求得sin(α-β)的值；再利用二倍角公式的求得cos2α，tanβ2的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题
2. (1)已知a>0，b>0，a+b=1a+1b，求1a+2b的最小值．
(2)已知lg(3x)+lgy=lg(x+y+1).求x+y的最小值．
【答案】解：(1)由a>0，b>0，a+b=1a+1b=a+bab，
得ab=1，则1a+2b≥21a⋅2b=22.当且仅当1a=2b，即a=22，b=2时等号成立．
(2)由lg(3x)+lg y=lg(x+y+1)得x>0y>03xy=x+y+1，
∵x>0，y>0，∴x+y+1=3xy≤3⋅(x+y2)2，
∴3(x+y)2-4(x+y)-4≥0，
∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0，
∴x+y≥2，
当且仅当x=y=1时取等号，∴x+y的最小值为2．
【解析】(1)根据题意可得ab=1，再根据基本不等式的性质即可求出，
(2)由对数的运算性质可得3xy=x+y+1，再根据基本不等式即可求出．
本题考查了基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题
1. 已知函数f(x)=msin2x-cos2x-12，x∈R，若tanα=23且f(α)=-326．
(1)求实数m的值及函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在[0,π]上的递增区间．
【答案】解：(1)f(α)=msin2α-12cos2α-1=m⋅2tanα1+tan2α-12⋅1-tan2α1+tan2α-1=43m13--1126-1，
又∵f(α)=-326，
∴43m13--1126-1=-326，即m=32；
故f(x)=32sin2x-12cos2x-1=sin(2x-π6)-1，
∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；
(2)f(x)的递增区间是2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2，
∴kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z，所以在[0,π]上的递增区间是[0,π3]∪[5π6,π]．
【解析】(1)利用同角三角函数关系和已知条件f(α)=-326求得43m13--1126-1=-326，由此得到m的值；则易得函数f(x)=sin(2x-π6)-1，根据正弦函数的性质来求最小正周期；
(2)利用(1)中得到的函数解析式和正弦函数的单调增区间解答．
本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性.考查了学生基础知识的综合运用．
2. 已知函数f(x)=3xa-2x2+lnx，其中a为常数，
①若a=1，求函数f(x)的单调区间；
②若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．
【答案】解：①若a=1时，f(x)=3x-2x2+lnx，定义域为(0,+∞)
f'(x)=1x-4x+3=-(4x+1)(x-1)x(x>0)(3分)
令 0'/>
，得x∈(0,1)，令，得x∈(1,+∞)，
函数f(x)=3x-2x2+lnx单调增区间为(0,1)，
函数f(x)=3x-2x2+lnx单调减区间为(1,+∞).(6分)
②f'(x)=3a-4x+1x，
若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，
即f'(x)=3a-4x+1x在[1,2]
f'(x)=3a-4x+1x≥0或f'(x)=3a-4x+1x≤0恒成立．
f'(x)=3a-4x+1x≥0或f'(x)=3a-4x+1x≤0(8分)
即3a-4x+1x≥0或3a-4x+1x≤0在[1,2]恒成立．
即3a≥4x-1x或3a≤4x-1x，
令h(x)=4x-1x，因函数h(x)在[1,2]上单调递增．
所以3a≥h(2)或3a≤h(1)，
故3a≥152或3a≤3，解得a<0或00，令f'(x)<0分别得出x的取值范围，即f(x)的单调区间；
②由函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，得f'(x)≥0或f'(x)≤0，分离出a，把右边看为函数，得到函数的单调性得最值，得关于a的不等式，求解得a的取值范围．
本题考查了利用导数求函数的单调性，和其逆问题，由单调性来确定导数非负或非正，分离参数，利用函数的思想，求最值，得关于a的不等式．
1. 已知曲线C1的参数方程为y=5+5sintx=4+5cost(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
【答案】解：(1)将y=5+5sintx=4+5cost，消去参数t，化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25，
即C1：x2+y2-8x-10y+16=0，
将y=ρsinθx=ρcosθ代入x2+y2-8x-10y+16=0，
得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0．
∴C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0．
(2)∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0，
联立x2+y2-2y=0x2+y2-8x-10y+16=0，
解得y=1x=1或y=2x=0，
∴C1与C2
交点的极坐标为(2,π4)和(2,π2).
【解析】(1)曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由y=ρsinθx=ρcosθ，能求出C1的极坐标方程．
(2)曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标．
本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
