2015届高考数学二轮复习专题训练试题：数列（4）

2015届高考数学二轮复习专题训练试题：数列（4）

数列（4） 1、设 是正项数列，其前 项和 满足： ,则数列 的通项公式 =____________。 2、下列说法：①当 ；② ABC 中， 是 成 立的充要条件；③函数 的图象可以由函数 （其中 ）平移得到；④已知 是 等差数列 的前 项和，若 ，则 .；⑤函数 与函数 的图象 关于直线 对称。其中正确的命题的序号为 。 3、在等差数列 中，当 时， 必定是常数数列. 然而在等比数列 中，对某些 正整数 r、s ，当 时， 可以不是 常数列，试写出非常数数列 的一个通项公式 . 4、设 为递减的等比数列，其中 为公比，前 项和 ，且 ，则 = . 5、观察下面的数阵，容易看出，第 n+1 行最右边一个数与第 n 行最右边一个数满足 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …则前 20 行的所有数字之和为 ． 6、 7、下列命题中，真命题的序号是 .① 中， ②数列{ }的前 n 项和 ，则数列{ }是等差数列. ③锐角三角形的三边长分别为 3，4， ，则 的取值范围是 . ④等差数列{ }前 n 项和为 。已知 + - =0， =38,则 m=10.⑤常数数列既是等差数列 又是等比数列. ⑥数列{ }满足， ，则数列{ }为等比数列. 8、对于各项均为整数的数列 ，如果 ( =1，2，3，…)为完全平方数 （即能表示为一个整数的平 方的数，例如 4 是完全平方数、3 不是完全平方数），则称数列 具有“ 性质”．不论数列 是否 具有“ 性质”，如果存在与 不是同一数列的 ，且 同时满足下面两个条件：① 是 的一个排列；②数列 具有“ 性质”，则称数列 具有“变换 性质”．下面三个数列：①数列 的前 项和 ；②数列 1，2，3，4，5；③1，2， 3，…，11.具有“ 性质”的为 ；具有“变换 性质”的为 . 9、由 9 个正数组成的数阵 每行中的三个数成等差数列，且 ， ， 成等比数列．给出下列结论： ①第二列中的 必成等比数 列； ②第一列 中的 不一定成等比数列； ③ ； ④若 9 个数 之和大于 81，则 >9． 其中正确的序号有 ．（填写所有正确结论的序号）． 10、若 是等比数列， 是互不相等的正整数，则有正确的结论： ．类比上述性质，相应地，若 是等差数列， 是互不相等的正整 数，则有正确的结论： . . 11、已知 前 n 项和 ，则 … 的值为 12、用 三个不同字母组成一个含 个字母的字符串，要求由字母 开始，相 邻两个字母不能相同. 例如 时，排出的字符串是 ； 时排出的字符串是 ,…….记这种含 个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是 的字符 串的个数为 , 则 , , ． 13、设数列{ }是等差数列，数列{ }是等比数列，记数列{ }、{ }的前 项和分别为 、 ．若 、 ，且 ，则 ＝____________ 14、已知数列 的前 项和为 ， ，且当 ， 时， ，若 ，则 15、若{an}为等比数列，且 16、等差数列 中，公差 ， , , 成等比数列，则 = 17、在数列{an}中，若 a －a ＝p(n≥2，n∈N＋，p 为常数)，则称{an}为“等方差数列”.下列是对 “等方差数列”的判断：①若{an}是等方差数列，则{a }是等差数列；②{(－1)n}是等方差数列； ③若{an}是等方差数列，则{ akn}(k∈N＋，k 为常数)也是等方差数列； ④若{an}既是等方差数列 ，又是等差数列，则该数列为常数数列.其中正确命题的序号为　　.(将所有正确命 题的序号填在横线上). 18、下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第 i 行第 j 列的数为 ai，j（i， j∈N*），则 （Ⅰ）a9，9＝ ；（Ⅱ）表中的数 82 共出现 次． 19、已知数列 、 满足 ，则 = 20、若 ， 则 。 21、在等比数列 中，若 ，则 。 22、已知 是等比数列， ，则 的值范围是 _______________ 23、若数列{an}是等差数列，公差为 d 且 d≠0，a1、d∈R，{an}的前 n 项和记为 Sn，设集合 P＝{(x，y)| －y2＝1，x、y∈R}，Q＝{(x，y)|x＝an，y＝ ，n∈N*}，给出下列命题：[来源:Z,xx,k.Com] ①集合 Q 表示的图形是一条直线；②P∩Q ＝∅；③P∩Q 只有一个元素；④P∩Q 至多有一个元素． 其中正确的命题序号是________．(注：把你认为是正确命题的序号都填上) 24、将如图所示的三角形数阵中所有的数按从上至下、从左至右的顺序排列成数列 a11，a21，a22，a31， a32，…．若所得数列构成一个等差数列，且 a11=2，a33=12，则①数阵中的数 aii 可用 i 表示为　　； ②若 amn+a（m+1）（n+1）=a（m+2）（n+2），则 m+n 的值为　　． 25、对正整数 n，设曲线 在 x＝2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 ，则数列 的 前 n 项和是　　 26、已知数列{an}中，a1=1，当 n∈N+，n≥2 时，an= ，则数列{an}的通项公式 an=　　． 27、两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石 子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数 1，5，12，22，…，被称为 五角形数，其中第 1 个五角形数记作 a1=1，第 2 个五角形数记作 a2=5，第 3 个五角形数记作 a3=12，第 4 个五角形数记作 a4=22，…，若按此规律继续下去，若 an=145，则 n=　　． 28、手表的表面在一平面上．整点 1，2，…，12 这 12 个数字等间隔地分布在半径为 1 的圆周上．从整点 i 到整点 i+1 的向量记作 ，则 • + • +…+ • =　　． 29、如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有 n（n＞1，n∈N）个点，每 个图形总的点数记为 an，则 a6=　15　； =　　． 30、函数 y=x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1，k∈N*，a1=16， 则 a1+a2+a3=　　． 31、 已知数列 满足： （ 为正整数）， ，若 ，则 所有可能的取值为 32、已知数列 是等差数列，它的前 项和 满足： ，令 .若对任意的 ，都有 成立，则 的取值范围是 33、已知等差数列 首项为 ，公差为 ，等比数列 首项为 ，公比为 ，其中 都是大于 的正整数，且 ，那么 　　　；若对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，则 　　　　．　 34、数列 满足 ， ，其中 ， ．给出下列命题： ① ，对于任意 ， ；② ，对于任意 ， ； ③ ， ，当 （ ）时总有 . 其中正确的命题是___ ___.（写出所有正确命题的序号） 35、已知数列 是等差数列，它的前 项和 满足： ，令 .若对任意的 ，都有 成立，则 的取值范围是 36、下列说法中：①在 中，若 ，则 ； ②已知数列 为等差数列，若 ，则有 ；[来源:学#科#网] ③已知数列 、 为等比数列，则数列 、 也为等比数列； ④若 ，则函数 的最大值为 ；其中正确的是__________（填 正确说法的序号） 37、第 1 行：21+20 第 2 行：22+20，22+21 第 3 行：23+20，23+21，23+22 第 4 行：24+20， 24+21，24+22，24+23[来源:Z,xx,k.Com] … 由上述规律，则第 n 行的所有数之和为 . 38、已知等差数列 的公差 d 不为 0，等比数列 的公比 q 为小于 1 的正有理数。若 ， 且 是正整数，则 q 等于 ． 39、已知数列 满足 ， ，记数列 的前 项和的最大 值为 ，则 . 40、将给定的 25 个数排成如图 1 所示的数表，若每行 5 个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的 5 个 数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表中所有数之和为 50，则表正中间一个数 ＝ [来源:Z#xx#k.Com] 1、 2、 ② ③ ④ 3、 4、 5、221556、 .7、①③④ 8、具有“ 性质”的为 ① ；具有“变换 性质”的为 ② . 9、 ①②③ 10、 11、67 12、 13、 14、 ； 15、30016、 17、①②③④18、（Ⅰ）82；（Ⅱ） 519、 20、1； 21、 22、[8，32/3) 23、④解析　依题意得 y＝ ＝ ＝ x＋ a1，即集合 Q 中的元素是直线 x－2y＝－a1 上的一系 列点，因此①不正确；注意到直线 y＝ x＋ a1 与双曲线 －y2＝1 的一条渐近线 y＝ x 平行或重合， 因此直线 y＝ x＋ a1 与 双曲线 －y2＝1 至多有一个公共点，于是集合 P∩Q 中最多有一个元素，因此②③都不正确，④正确． 24、解：①不妨设等差数列 a11，a21，a22，a31，a32，…为{bn}，则由 a11=2，a33=12 可得 b1=2， 公差 d=2． 故 bn=2n．而 aii 可为等差数列{bn}中的第 1+2+3+…+i= 个，∴aii =2× =i（i+1） =i2+i， 故答案为 i2+i．②由题意可得，amn=b1+2+3+…+（m﹣1）+n=2[1+2+3+…+（m﹣1）+n]=m2﹣ m+2n． ∴a（m+1）（n+1）=（m+1）2﹣（m+1）+2（n+1），a（m+2）（n+2）=（m+2）2﹣（m+2）+2（ n+2）． 再由 amn+a（m+1）（n+1）=a（m+2）（n+2）， 可得 m2﹣m+2n+（m+1）2﹣（m+1）+2（n+1）=（m+2）2﹣（m+2）+2（n+2）， 化简可得 m2﹣3m﹣4+2n=0，由于 n＞0，∴m2﹣3m﹣4＜0，解得﹣1＜m＜4， ∴m=1，2，3，再由 m≥n＞0，可得 ，∴m+n=5，故答案为 5．25、 26、解：an= ，a1=1∴ = = ，an＞0 即 ∴数列{ }是以 1 为首项以 1 为公差的等差数列∴ ∴ 故答案为： 27、解：a2﹣a1=5﹣1=4，a3﹣a2=12﹣5=7，a4﹣a3=22﹣12=10，…，由此可知数列{an+1﹣an}构成 以 4 为首项，以 3 为公差的等差数列．所以 an+1﹣an=4+3（n﹣1）=3n+1．a2﹣a1=3×1+1 a3﹣a2=3×2+1…an﹣an﹣1=3（n﹣1）+1 累加得：an﹣a1=3（1+2+…+（n﹣1） ）+n﹣1 所以 =1+ +n﹣1= ．由 ，解 得： ．故答案为 10． 28、解：：∵整点把圆分成 12 份，∴每一份所对应的圆心角是 30 度， 连接相邻的两点组成等腰三角形底边平方为 2﹣ ，每对向量的夹角为 30°， 每对向量的数量积为 （ 2﹣ ）cos30°= ﹣ ，故 • + • +…+ • =12（ ﹣ ）= ，故答案为 ．[来源:学*科*网] 29、解：每个边有 n 个点，把每个边的点数相加得 3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第 n 个图形的 点数为 3n﹣3，即 an=3n﹣3∴a6=3×6﹣3=15 令 Sn= = … =1﹣ + … =1﹣ = ∴ = S2010= 故答案为：15， ． 30、解：在点（ak，ak2）处的切线方程为：y﹣ak2=2ak（x﹣ak），当 y=0 时，解得 ，所以 a1+a2+a3=16+8+4=28． 故答案为：28． 31、 56 和 9 32、 ．33、 34、 ①③35、 ．36、①④ 37、 38、答案： 39、 40、2