2020高中数学 第三章函数模型的应用实例

2020高中数学 第三章函数模型的应用实例

‎3.2.2　‎函数模型的应用实例 学习目标：1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)2.能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)3.了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力．(重点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．常见函数模型 常用函数模型 ‎(1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)‎ ‎(2)二次函数模拟 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)‎ ‎(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)‎ ‎(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)‎ ‎(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)‎ ‎(6)分段函数 y＝ ‎2.建立函数模型解决问题的基本过程 思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？‎ ‎[提示]　利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：‎ ‎(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．‎ 这些步骤用框图表示如图：‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．(　　)‎ ‎(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．(　　)‎ ‎(3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)√‎ - 7 -‎ ‎2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(　　)‎ A．300只　　　　　　　 B．400只 C．600只 D．700只 A　[将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.]‎ ‎3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)‎ ‎【导学号：37102385】‎ A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)‎ B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)‎ C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)‎ D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)‎ D　[由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)．]‎ ‎4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图325)，则客车有营运利润的时间不超过________年．‎ 图325‎ ‎10　[设二次函数y＝a(x－6)2＋11，又过点(4,7)，‎ 所以a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11.‎ 解y≥0，得6－≤x≤6＋，∴00)．‎ ‎(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域．‎ - 7 -‎ ‎(2)求羊群年增长量的最大值. ‎ ‎【导学号：37102387】‎ 思路探究：―→―→ ‎[解]　(1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，由此可得y＝kx(00，所以01.2，所以，这个男生偏胖．‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图326所示，那么图象所对应的函数模型是(　　)‎ 图326‎ A．分段函数　　　　　　 B．二次函数 C．指数函数 D．对数函数 A　[由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型．]‎ ‎2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　) ‎ ‎【导学号：37102389】‎ A．y＝0.957 6 B．y＝(0.957 6)100x C．y＝x - 7 -‎ D．y＝1－0.042 4 A　[由题意可知y＝(95.76%)，即y＝0.9576.]‎ ‎3．若一根蜡烛长‎20 cm，点燃后每小时燃烧‎5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为(　　)‎ B　[由题意h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.]‎ ‎4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元. ‎ ‎【导学号：37102390】‎ ‎2 500　[∵每生产一单位产品，成本增加10万元，‎ ‎∴单位产品数Q时的总成本为2 000＋10Q万元．‎ ‎∵K(Q)＝40Q－Q2，‎ ‎∴利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000‎ ‎＝－Q2＋30Q－2 000‎ ‎＝－(Q－300)2＋2 500，‎ ‎∴Q＝300时，利润L(Q)的最大值是2 500万元．]‎ ‎5．已知A，B两地相距‎150 km，某人开汽车以‎60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以‎50 km/h的速度返回A地．‎ ‎(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；‎ ‎(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．‎ ‎[解]　(1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．‎ ‎②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．‎ ‎③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．‎ 综上，s＝ 它的图象如图(1)所示．‎ ‎(1)　　　　　　　　　　　(2)‎ ‎(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝它的图象如图(2)所示．‎ - 7 -‎