高考数学一轮复习练案41第六章不等式推理与证明第四讲基本不等式含解析

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高考数学一轮复习练案41第六章不等式推理与证明第四讲基本不等式含解析

‎ [练案41]第四讲 基本不等式 A组基础巩固 一、单选题 ‎1.若3x+2y=2,则8x+4y的最小值为( A )‎ A.4  B.4 ‎ C.2  D.2 ‎[解析] ∵3x+2y=2,∴8x+4y=23x+22y≥2=2=4,当且仅当3x+2y=2且3x=2y,即x=,y=时等号成立,∴8x+4y的最小值为4,故选A.‎ ‎2.(2020·辽宁铁岭六校联考协作体联考)若a>b>1,P=,Q=(lg a+lg b),R=lg(),则( B )‎ A.Rb>1,则lg a>lg b>0,‎ 由基本不等式可得 P=<(lg a+lg b)‎ ‎=lg (ab)=lg 0,b>0,‎ 所以(‎2a+b)=2ab≤()2,‎ 因为‎2a+b>0,所以‎2a+b≥,当且仅当‎2a=b,‎ 即a=,b=时取等号,故‎4a+2b的最小值为.‎ ‎4.(2020·安徽黄山质检)已知f(x)=(x>0),则f(x)的最小值是( D )‎ - 7 -‎ A.2  B.3 ‎ C.4  D.5‎ ‎[解析] 由题意知,‎ f(x)===x+1++1,‎ 因为x>0,所以x+1>0,‎ 则x+1++1≥2+1=5,‎ ‎(当且仅当x+1=,即x=1时取“=”)‎ 故f(x)的最小值是5.‎ ‎5.(2020·山西大同联考)已知正实数m,n满足+=4,则m+n的最小值是( D )‎ A.4  B.2 ‎ C.9  D. ‎[解析] 由题意知m+n=(+)(m+n)=(5++)≥(5+2)=,‎ ‎(当且仅当m=,n=时取等号)‎ ‎∴m+n的最小值为,故选D.‎ ‎6.(2020·辽宁葫芦岛协作校联考)“∀x,y>0,(x+y)(+)≥a”是“a≤‎8”‎的( B )‎ A.充分不必要条件   B.必要不充分条件 C.充要条件   D.既不充分也不必要条件 ‎[解析] ∵x,y>0,‎ ‎∴(x+y)(+)=1+4++≥5+2=9,‎ 当且仅当=,即y=2x>0时,等号成立.‎ ‎∴a≤9.∴“∀x,y>0,(x+y)(+)≥a”是“a≤8”的必要不充分条件,故选B.‎ ‎7.(2020·陕西绥德中学阶段测试)已知:x>1,y<0,且3y(1-x)=x+8,则x-3y的最小值是( A )‎ A.8  B.6 ‎ C.  D. - 7 -‎ ‎[解析] 由题意3y=且x-1>0,‎ ‎∴x-3y=x+=x-1++2‎ ‎≥2+2=8,‎ ‎(当且仅当x-1=即x=4时取等号)‎ ‎∴x-3y的最小值为8,故选A.‎ ‎8.(2020·广东期中)已知a>1,b>0,a+b=2,则+的最小值为( A )‎ A.+   B.+ C.3+2   D.+ ‎[解析] 由题意知a>1,b>0,a+b=2,‎ 可得:(a-1)+b=1,a-1>0,‎ 则+=[(a-1)+b](+)=1+++≥+2=+,‎ 当且仅当=且a+b=2时,‎ 即a=3-,b=-1时等号成立,‎ 则+的最小值为+.故选A.‎ ‎9.(2020·四川眉山一中办学共同体期中)圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+1=0(a>0,b>0)对称,则+的最小值为( D )‎ A.3+2   B.9‎ C.16   D.18‎ ‎[解析] 由圆的对称性可得,直线ax-2by+1=0必过圆心(-2,1),所以a+b=.‎ 所以+=2(+)(a+b)=2(5++)≥18,‎ 当且仅当=且a+b=时,‎ 即a=,b=时取等号,故选D.‎ 二、多选题 ‎10.已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是( CD )‎ - 7 -‎ A.a+b≥2   B.+≥2‎ C.|+|≥2   D.a2+b2≥2ab ‎[解析] 因为和同号,所以|+|=||+||≥2.∵(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab,故选C、D.‎ ‎11.下列命题中正确的是( BD )‎ A.函数y=sinx+(00)的最小值为2-4 D.函数y=2-3x-(x>0)的最大值为2-4 ‎[解析] A.sinx=取到最小值4,则sin2x=4,显然不成立.因为≥,所以取不到“=”,设=t(t≥),y=t+在[,+∞)上为增函数,最小值为,故B正确;因为x>0时,3x+≥2·=4,当且仅当3x=,即x=时取“=”,所以y=2-(3x+)有最大值2-4,故C项不正确,D项正确.故选B、D.‎ ‎12.(2020·四川成都新都区诊断改编)已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则n的值可以为( BC )‎ A.18  B.12 ‎ C.16  D.20‎ ‎[解析] 由题意知n≤(‎3a+b)(+)=10++ ‎∵10++≥10+2=16,‎ ‎(当且仅当a=b时取等号)‎ ‎∴10++的最小值为16,‎ 故n的最大值为16.选B、C.‎ 三、填空题 ‎13.(2020·广东惠州调研)已知x>,则函数y=4x+的最小值为__7__.‎ - 7 -‎ ‎[解析] ∵x>,∴4x-5>0,‎ ‎∴y=4x-5++5≥2+5=7,‎ 当且仅当4x-5=即x=时取等号,‎ ‎∴y的最小值为7.‎ ‎14.(2020·湖南模拟)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产品__80__件.‎ ‎[解析] 由题意知平均每件产品的生产准备费用是元,则+≥2=20,当且仅当=,即x=80时“=”成立,所以每批应生产产品80件.‎ ‎15.(2020·湖北部分重点中学联考)已知x>0,y>0,若+>m2+‎2m恒成立,则实数m的取值范围是__(-4,2)__.‎ ‎[解析] ∵x>0,y>0,‎ ‎∴+≥2=8‎ ‎(当且仅当y=2x时取等号)‎ ‎∴+的最小值为8,‎ 由题意可知m2+‎2m-8<0,解得-40‎ ‎∴f(x)=[(1-x)+x](+)‎ ‎=++≥+2= - 7 -‎ ‎(当且仅当2x=1-x,即x=时取等号)‎ ‎∴f(x)的最小值为,故选C.‎ ‎2.(2020·山东新泰一中质检)已知△ABC的面积是9,角A,B,C成等差数列,其对应边分别是a,b,c,则a+c的最小值是( A )‎ A.12  B.12 ‎ C.10  D.10 ‎[解析] 由题意知B=,∴acsin B=9,‎ ‎∴ac=36,∴a+c≥2=12,‎ ‎(当且仅当a=c=6时取等号)‎ ‎∴a+c的最小值为12,故选A.‎ ‎3.(2020·山东济宁期末)已知函数f(x)=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+4=0上,其中mn>0,则+的最小值为( B )‎ A.  B. ‎ C.2  D.4‎ ‎[解析] 由题意知A(-2,-1),∴‎2m+n=4,‎ ‎∴2(m+1)+n=6,‎ ‎∴+=[2(m+1)+n](+)‎ ‎=(4++)‎ ‎≥(4+2)=,‎ 当且仅当n=2(m+1),即m=,n=3时取等号,‎ ‎∴+的最小值为,故选B.‎ ‎4.(2020·安徽宣城第二次调研)已知双曲线-=1(m>0,n>0)和椭圆+=1有相同的焦点,则+的最小值为( B )‎ A.2  B.3 ‎ C.4  D.5‎ ‎[解析] 由题意知m+n=5-2=3,∵m>0,n>0,‎ - 7 -‎ ‎∴+=(m+n)·(+)=(5++)≥(5+2)=3,‎ 当且仅当=,即m=2n=2时,等号成立,‎ ‎∴+的最小值为3.故选B.‎ ‎5.(2020·河北)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式+≥4恒成立,则m的取值范围是( B )‎ A.[,+∞)   B.[2,+∞)‎ C.(0,]   D.(0,2]‎ ‎[解析] 由题意知m>0,x>0,y>0,‎ ‎∵+=(x+y)(+)‎ ‎=(2+m++)‎ ‎≥(2+m+2)‎ ‎=(2+m+2)‎ ‎(当且仅当y=x时取等号)‎ ‎∴(2+m+2)≥4(m>0),解得m≥2,故选B.‎ - 7 -‎
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