高考数学一轮复习练案41第六章不等式推理与证明第四讲基本不等式含解析
[练案41]第四讲 基本不等式
A组基础巩固
一、单选题
1.若3x+2y=2,则8x+4y的最小值为( A )
A.4 B.4
C.2 D.2
[解析] ∵3x+2y=2,∴8x+4y=23x+22y≥2=2=4,当且仅当3x+2y=2且3x=2y,即x=,y=时等号成立,∴8x+4y的最小值为4,故选A.
2.(2020·辽宁铁岭六校联考协作体联考)若a>b>1,P=,Q=(lg a+lg b),R=lg(),则( B )
A.R
b>1,则lg a>lg b>0,
由基本不等式可得
P=<(lg a+lg b)
=lg (ab)=lg 0,b>0,
所以(2a+b)=2ab≤()2,
因为2a+b>0,所以2a+b≥,当且仅当2a=b,
即a=,b=时取等号,故4a+2b的最小值为.
4.(2020·安徽黄山质检)已知f(x)=(x>0),则f(x)的最小值是( D )
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A.2 B.3
C.4 D.5
[解析] 由题意知,
f(x)===x+1++1,
因为x>0,所以x+1>0,
则x+1++1≥2+1=5,
(当且仅当x+1=,即x=1时取“=”)
故f(x)的最小值是5.
5.(2020·山西大同联考)已知正实数m,n满足+=4,则m+n的最小值是( D )
A.4 B.2
C.9 D.
[解析] 由题意知m+n=(+)(m+n)=(5++)≥(5+2)=,
(当且仅当m=,n=时取等号)
∴m+n的最小值为,故选D.
6.(2020·辽宁葫芦岛协作校联考)“∀x,y>0,(x+y)(+)≥a”是“a≤8”的( B )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] ∵x,y>0,
∴(x+y)(+)=1+4++≥5+2=9,
当且仅当=,即y=2x>0时,等号成立.
∴a≤9.∴“∀x,y>0,(x+y)(+)≥a”是“a≤8”的必要不充分条件,故选B.
7.(2020·陕西绥德中学阶段测试)已知:x>1,y<0,且3y(1-x)=x+8,则x-3y的最小值是( A )
A.8 B.6
C. D.
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[解析] 由题意3y=且x-1>0,
∴x-3y=x+=x-1++2
≥2+2=8,
(当且仅当x-1=即x=4时取等号)
∴x-3y的最小值为8,故选A.
8.(2020·广东期中)已知a>1,b>0,a+b=2,则+的最小值为( A )
A.+ B.+
C.3+2 D.+
[解析] 由题意知a>1,b>0,a+b=2,
可得:(a-1)+b=1,a-1>0,
则+=[(a-1)+b](+)=1+++≥+2=+,
当且仅当=且a+b=2时,
即a=3-,b=-1时等号成立,
则+的最小值为+.故选A.
9.(2020·四川眉山一中办学共同体期中)圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+1=0(a>0,b>0)对称,则+的最小值为( D )
A.3+2 B.9
C.16 D.18
[解析] 由圆的对称性可得,直线ax-2by+1=0必过圆心(-2,1),所以a+b=.
所以+=2(+)(a+b)=2(5++)≥18,
当且仅当=且a+b=时,
即a=,b=时取等号,故选D.
二、多选题
10.已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是( CD )
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A.a+b≥2 B.+≥2
C.|+|≥2 D.a2+b2≥2ab
[解析] 因为和同号,所以|+|=||+||≥2.∵(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab,故选C、D.
11.下列命题中正确的是( BD )
A.函数y=sinx+(00)的最小值为2-4
D.函数y=2-3x-(x>0)的最大值为2-4
[解析] A.sinx=取到最小值4,则sin2x=4,显然不成立.因为≥,所以取不到“=”,设=t(t≥),y=t+在[,+∞)上为增函数,最小值为,故B正确;因为x>0时,3x+≥2·=4,当且仅当3x=,即x=时取“=”,所以y=2-(3x+)有最大值2-4,故C项不正确,D项正确.故选B、D.
12.(2020·四川成都新都区诊断改编)已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则n的值可以为( BC )
A.18 B.12
C.16 D.20
[解析] 由题意知n≤(3a+b)(+)=10++
∵10++≥10+2=16,
(当且仅当a=b时取等号)
∴10++的最小值为16,
故n的最大值为16.选B、C.
三、填空题
13.(2020·广东惠州调研)已知x>,则函数y=4x+的最小值为__7__.
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[解析] ∵x>,∴4x-5>0,
∴y=4x-5++5≥2+5=7,
当且仅当4x-5=即x=时取等号,
∴y的最小值为7.
14.(2020·湖南模拟)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产品__80__件.
[解析] 由题意知平均每件产品的生产准备费用是元,则+≥2=20,当且仅当=,即x=80时“=”成立,所以每批应生产产品80件.
15.(2020·湖北部分重点中学联考)已知x>0,y>0,若+>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是__(-4,2)__.
[解析] ∵x>0,y>0,
∴+≥2=8
(当且仅当y=2x时取等号)
∴+的最小值为8,
由题意可知m2+2m-8<0,解得-40
∴f(x)=[(1-x)+x](+)
=++≥+2=
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(当且仅当2x=1-x,即x=时取等号)
∴f(x)的最小值为,故选C.
2.(2020·山东新泰一中质检)已知△ABC的面积是9,角A,B,C成等差数列,其对应边分别是a,b,c,则a+c的最小值是( A )
A.12 B.12
C.10 D.10
[解析] 由题意知B=,∴acsin B=9,
∴ac=36,∴a+c≥2=12,
(当且仅当a=c=6时取等号)
∴a+c的最小值为12,故选A.
3.(2020·山东济宁期末)已知函数f(x)=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+4=0上,其中mn>0,则+的最小值为( B )
A. B.
C.2 D.4
[解析] 由题意知A(-2,-1),∴2m+n=4,
∴2(m+1)+n=6,
∴+=[2(m+1)+n](+)
=(4++)
≥(4+2)=,
当且仅当n=2(m+1),即m=,n=3时取等号,
∴+的最小值为,故选B.
4.(2020·安徽宣城第二次调研)已知双曲线-=1(m>0,n>0)和椭圆+=1有相同的焦点,则+的最小值为( B )
A.2 B.3
C.4 D.5
[解析] 由题意知m+n=5-2=3,∵m>0,n>0,
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∴+=(m+n)·(+)=(5++)≥(5+2)=3,
当且仅当=,即m=2n=2时,等号成立,
∴+的最小值为3.故选B.
5.(2020·河北)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式+≥4恒成立,则m的取值范围是( B )
A.[,+∞) B.[2,+∞)
C.(0,] D.(0,2]
[解析] 由题意知m>0,x>0,y>0,
∵+=(x+y)(+)
=(2+m++)
≥(2+m+2)
=(2+m+2)
(当且仅当y=x时取等号)
∴(2+m+2)≥4(m>0),解得m≥2,故选B.
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