数学理卷·2018届湖北省孝感市七校教学联盟高二下学期期末考试（2017-07）

数学理卷·2018届湖北省孝感市七校教学联盟高二下学期期末考试（2017-07）

‎2016—2017学年度下学期孝感市七校教学联盟 期末联合考试 高 二 数 学（理科） 试 卷 命题人：高丰平                                    审题人：李恒运 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1、设则“”是“”的 ‎ Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2、下列各式的运算结果为纯虚数的是 A． B． C． D．‎ ‎3、已知命题；命题若,则．下列命题为真命题的是 A． B． C． D．‎ ‎4、椭圆的离心率是 A． B． C． D．‎ ‎5、已知直线的方向向量，平面的法向量，若，，则直线与平面的位置关系是 A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．直线在平面内或直线与平面平行 ‎6、已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆 有公共焦点．则的方程为 A． B． C． D．‎ ‎7、函数在上的最大值和最小值分别为 ‎ ‎ ‎8、若是正整数的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9、设函数的图象与轴相交于点，则曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D．‎ ‎10、已知，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎11、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A．乙可以知道两人的成绩 　　　　B ．丁可能知道两人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 　　　　D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎12、已知函数的导函数满足，则对都有 ‎ A ． B． ‎ C ． D ．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13、在数列中，()，猜想这个数列的通项公式是 ． ‎ ‎14、函数的单调减区间是 ．‎ ‎15、已知，设函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为 ．‎ ‎16、设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记 ．当为锐角时，的取值范围是________． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17、（本小题满分10分）‎ ‎（Ⅰ）求函数的导数；‎ ‎（Ⅱ）求．‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ ‎　用反证法证明：如果，那么．‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点． ‎ ‎（Ⅰ）设是上的一点，且，求的大小；‎ ‎（Ⅱ）当，，求二面角的大小．‎ ‎19题图 ‎20、（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过 作的垂线交于点．求与的面积之比．‎ ‎20题图 ‎21、（本小题满分12分）‎ 圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高()与半径()应怎样选择，才能使所用材料最省？‎ ‎22、（本小题满分12分）‎ 已知函数在x = 2处的切线与直线垂直．‎ ‎（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使成立，求m的最小值． ‎ ‎2016—2017学年度下学期孝感市七校教学联盟 期末联合考试参考答案 高 二 数 学（理科） ‎ 一、选择题 二、填空题 ‎13、() 　14、或　　　　15、 16、‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎（Ⅰ）……………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）表示圆与轴所围成的上半圆的面积，……………7分因此………………………………………………………………10分 ‎18． （本小题满分12分）‎ ‎ 证明：假设则……………………………………………2分 容易看出………………………………………………………………………4分 下面证明……………………………………………………………………5分 因为所以即，从而，…………………………………８分 变形得………………………………………………………………………9分 综上得……………………………………………………………………………10分 这与条件矛盾．……………………………………………………………………11分 因此，假设不成立，即原命题成立．……………………………………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解 （Ⅰ）因为，，‎ ‎，平面，，‎ 所以平面，……………………………………………………………………2分 又平面，…………………………………………………………………………3分 所以，又，‎ 因此…………………………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得，，，故，，，……………………………………6分 设是平面的一个法向量.‎ 由可得 取，可得平面的一个法向量.………………………………8分 设是平面的一个法向量.‎ 由可得 取，可得平面的一个法向量.…………………………10分 所以.‎ 因此所求的角为.………………………………………………………………………12分 说明：其它解法酌情给分．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解 （Ⅰ）焦点在 轴上， ，…………………………………………………1 分 ‎ ∴……………………………………………………………………2 分 ‎∴，∴ ；…………………………………………………4 分 ‎（Ⅱ）设 ，‎ 直线的方程是 ，…………………………………………………5 分 ‎，，直线的方程是 ，……6 分 直线 的方程是 ，………………………………………………7 分 直线与直线联立 ‎ ，整理为： ，即 …………………………………………………………8 分 即，解得，…………………………9 分 代入求得 ……………………………………………………10分 ‎ 又………………………………………………………11分 和面积的比为4:5. ……………………………………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解 　　设圆柱的高为，底半径为，则表面积．………………2分 由得…………………………………………………………………3分 因此…………………………………5分 令解得.……………………………………………6分 当时，…………………………………………………………7分 当时，…………………………………………………………8分 因此是函数的极小值点，也是最小值点．……………………………10分 此时，…………………………………………………………11分 答：当罐与底面直径相等时，所用材料最省．…………………………………………12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 解 （Ⅰ） 由已知，，解得：a = 1…………………………………………………2分 ∴ 当时，，f (x)是减函数 当时，，f (x)是增函数 ∴函数f (x)的单调递减区间是(0，1]，单调递增区间是[1，+∞)．………………… 4分 ‎（Ⅱ）解：∵，∴等价于 即存在，使成立，∴ …………………………6分 设，则………………………………………8分 ‎ 设，则 ∴h (x)在上单调递增………………………………………………………………10分 又h (3) < 0，h (4) > 0，∴h (x)在上有唯一零点，设为x0，则，且 又，∴m的最小值是5．…………………………………………………………12分 部分题目来源或出处或说明：‎ 题1：天津文数题2；‎ 题2：全国卷1文数题3；‎ 题3：山东文数题5；‎ 题4：浙江理数题2；‎ 题5：豫南九校联考；‎ 题6：全国卷3理数题5；‎ 题7：教师师用书第58页题4改编；‎ 题8：课本第55页练习题改编；‎ 题9：课本第19页题改编；‎ 题10：课本第116页题改编；‎ 题11：全国卷2文数题9；‎ 题13：课本第83页题改编；‎ 题15：天津文数题10；‎ 题14：课本第31页题1；‎ 题16：建系处理较为容易；‎ 题17：课本第18、60页题；‎ 题18：教师用书第87页题5；‎ 题19：山东理数题17；‎ 题20：北京文数题19；‎ 题21：课本第37页习题.‎ ‎11、由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D.‎ ‎12、构造函数,则，‎ 当时，，递增；当时，，递减，所以在时取最小值，从而，故选A.‎ ‎16、由题设可知，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz， 则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1），由 =（1，1，﹣1），得 =（λ，λ，﹣λ），所以 =（﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣1）=（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1）， =（﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣1）=（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）， 所以∠APC为锐角等价于cos∠APC＞0，则等价于＞0， 即（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＞0， ∵0≤λ＜1，∴，0≤λ＜ ,因此，λ的取值范围是， 故答案为 ． ‎