高中数学 1_2_1 几个常用的函数的导数同步练习 新人教A版选修2-2

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高中数学 1_2_1 几个常用的函数的导数同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2 1.2 第1课时 几个常用的函数的导数 一、选择题 ‎1.下列结论不正确的是(  )‎ A.若y=0,则y′=0‎ B.若y=5x,则y′=5‎ C.若y=x-1,则y′=-x-2‎ ‎ [答案] D ‎2.若函数f(x)=,则f′(1)等于(  )‎ A.0     B.-    ‎ C.2     D. ‎[答案] D ‎[解析] f′(x)=()′=,‎ 所以f′(1)==,故应选D.‎ ‎3.抛物线y=x2在点(2,1)处的切线方程是(  )‎ A.x-y-1=0 B.x+y-3=0‎ C.x-y+1=0 D.x+y-1=0‎ ‎[答案] A ‎[解析] ∵f(x)=x2,‎ ‎∴f′(2)=li =li =1.‎ ‎∴切线方程为y-1=x-2.即x-y-1=0.‎ ‎4.已知f(x)=x3,则f′(2)=(  )‎ A.0 B.3x2 ‎ C.8 D.12‎ ‎[答案] D ‎[解析] f′(2)= ‎= = (6Δx+12)=12,故选D.‎ ‎5.已知f(x)=xα,若f′(-1)=-2,则α的值等于(  )‎ A.2 B.-2 ‎ C.3 D.-3‎ ‎[答案] A ‎[解析] 若α=2,则f(x)=x2,‎ ‎∴f′(x)=2x,∴f′(-1)=2×(-1)=-2适合条件.故应选A.‎ ‎6.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于(  )‎ A.1 B.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎[答案] D ‎[解析] ∵y=x3+x2-x-1‎ ‎∴= ‎=4+4Δx+(Δx)2,‎ ‎∴y′|x=1=li =li[4+4·Δx+(Δx)2]=4.‎ 故应选D.‎ ‎7.曲线y=x2在点P处切线斜率为k,当k=2时的P点坐标为(  )‎ A.(-2,-8) B.(-1,-1)‎ C.(1,1) D. ‎[答案] C ‎[解析] 设点P的坐标为(x0,y0),‎ ‎∵y=x2,∴y′=2x.∴k==2x0=2,‎ ‎∴x0=1,∴y0=x=1,即P(1,1),故应选C.‎ ‎8.已知f(x)=f′(1)x2,则f′(0)等于(  )‎ A.0 B.1 ‎ C.2 D.3‎ ‎[答案] A ‎[解析] ∵f(x)=f′(1)x2,∴f′(x)=‎2f′(1)x,∴f′(0)=‎2f′(1)×0=0.故应选A.‎ ‎9.曲线y=上的点P(0,0)的切线方程为(  )‎ A.y=-x B.x=0‎ C.y=0 D.不存在 ‎[答案] B ‎[解析] ∵y= ‎∴Δy=- ‎= ‎= ‎∴= ‎∴曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在,‎ ‎∴切线方程为x=0.‎ ‎10.质点作直线运动的方程是s=,则质点在t=3时的速度是(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] A ‎[解析] Δs=-= ‎= ‎= ‎∴li ==,‎ ‎∴s′(3)= .故应选A.‎ 二、填空题 ‎11.若y=x表示路程关于时间的函数,则y′=1可以解释为________.‎ ‎[答案] 某物体做瞬时速度为1的匀速运动 ‎[解析] 由导数的物理意义可知:y′=1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动.‎ ‎12.若曲线y=x2的某一切线与直线y=4x+6平行,则切点坐标是________.‎ ‎[答案] (2,4)‎ ‎[解析] 设切点坐标为(x0,x),‎ 因为y′=2x,所以切线的斜率k=2x0,又切线与y=4x+6平行,所以2x0=4,解得x0=2,故切点为(2,4).‎ ‎13.过抛物线y=x2上点A的切线的斜率为______________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] ∵y=x2,∴y′=x ‎∴k=×2=.‎ ‎14.(2010·江苏,8)函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.‎ ‎[答案] 21‎ ‎[解析] ∵y′=2x,∴过点(ak,a)的切线方程为y-a=2ak(x-ak),又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),所以ak+1=ak,即数列{ak}是等比数列,首项a1=16,其公比q=,∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21.‎ 三、解答题 ‎15.过点P(-2,0)作曲线y=的切线,求切线方程.‎ ‎[解析] 因为点P不在曲线y=上,‎ 故设切点为Q(x0,),∵y′=,‎ ‎∴过点Q的切线斜率为:=,∴x0=2,‎ ‎∴切线方程为:y-=(x-2),‎ 即:x-2y+2=0.‎ ‎16.质点的运动方程为s=,求质点在第几秒的速度为-.‎ ‎[解析] ∵s=,‎ ‎∴Δs=- ‎== ‎∴li ==-.∴-=-,∴t=4.‎ 即质点在第4秒的速度为-.‎ ‎17.已知曲线y=.‎ ‎(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;‎ ‎(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程;‎ ‎(3)求满足斜率为-的曲线的切线方程.‎ ‎[解析] ∵y=,∴y′=-.‎ ‎(1)显然P(1,1)是曲线上的点.所以P为切点,所求切线斜率为函数y=在P(1,1)点导数.‎ 即k=f′(1)=-1.‎ 所以曲线在P(1,1)处的切线方程为 y-1=-(x-1),即为y=-x+2.‎ ‎(2)显然Q(1,0)不在曲线y=上.‎ 则可设过该点的切线的切点为A,‎ 那么该切线斜率为k=f′(a)=.‎ 则切线方程为y-=-(x-a).①‎ 将Q(1,0)坐标代入方程:0-=(1-a).‎ 解得a=,代回方程①整理可得:‎ 切线方程为y=-4x+4.‎ ‎(3)设切点坐标为A,则切线斜率为k=-=-,解得a=±,那么A,A′.代入点斜式方程得y-=-(x-)或y+=-(x+).整理得切线方程为y=-x+或y=-x-.‎ ‎18.求曲线y=与y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.‎ ‎[解析] 两曲线方程联立得解得.‎ ‎∴y′=-,∴k1=-1,k2=2x|x=1=2,‎ ‎∴两切线方程为x+y-2=0,2x-y-1=0,所围成的图形如上图所示.‎ ‎∴S=×1×=.‎ ‎ ‎
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