- 2021-06-05 发布 |
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文档介绍
专题04 三角比、解三角形的综合应用备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破(上海地区)
专题04 三角比、解三角形的综合应用 专题点拨 1.“1”的活用;切弦互化:弦的齐次式可化为切;诱导公式的使用. 2.熟悉:整体变换、把所求角表示为已知角的关系、变换的技巧、倍角与半角的相对性.如:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=+,是的半角. 3.在三角形内求值:已知三角形各边角关系,求值时,注意利用内角和为、正余弦定理进行转化,同时注意挖掘隐含条件.根据条件判断三角形形状:主要途径是把条件中的边角关系统一成边边关系或角角关系. 真题赏析 1.已知,则 ( ). A. B. C. D. 【答案】C 2.在中,,BC边上的高等于,则( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设△中角,,的对边分别是,,,由题意可得 ,则.在△中,由余弦定理可得 ,则. 由余弦定理,可得,故选C. 3.设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为 ( ). A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 【答案】B 【解析】∵,∴由正弦定理得, ∴,∴,∴,∴△ABC是直角三角形B. 4.如图,某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长米,长米.设点在同一水平面上,从和看的仰角分别为和. (1) 设计中是铅垂方向. 若要求,问的长至多为多少(结果精确到米)? (2) 施工完成后,与铅垂方向有偏差.现在实测得,,求的长(结果精确到米). 【解析】(1)记CD=h.根据已知得tanα≥tan2β>0,tanα=,tanβ=,所以≥>0,解得h≤20≈28.28.因此,CD的长至多约为28.28米. (2) 在△ABD中,由已知,α+β=56.57°,AB=115,由正弦定理得=,解得BD≈85.064.在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosβ,解得CD≈26.93.所以CD的长约为26.93米. 例题剖析 【例1】若,,,,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】, 而,,因此,, 则. 【变式训练1】 已知为锐角,,. (1)求的值; (2)求的值. 【解析】(1)因为,,所以. 因为,所以,因此,. (2)因为为锐角,所以. 又因为,所以, 因此.因为,所以, 因此,. 【例2】化简:. 【解析】原式= ====1. 【变式训练2】已知sin(+2α)·sin(-2α)=,α∈(,),求2sin2α+tanα-cotα-1的值. 【例3】如图,某广场有一块边长为1的正方形区域,在点处装有一个可转动的摄像头,其能够捕捉到图像的角始终为45°(其中点、分别在边、上),设,记. (1)用表示的长度,并研究△的周长是否为定值? (2)问摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积至多为多少? 【解析】(1) , , 所以 故 所以△的周长是定值 (2) 当且仅当时,等号成立 所以摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积至多为 【变式训练3】(2019·徐汇区一模)我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一段圆弧,对应的圆心角. 该地区为打击洋垃圾走私,在海岸线外侧20海里内的海域 对不明船只进行识别查证(如图:其中海域与陆地近似看作在同一平面内).在圆弧的两端点分别建有监测站,与之间的直线距离为100海里. (1)求海域的面积; (2) 现海上点处有一艘不明船只,在点测得其距点40海里,在点测得其距点海里. 判断这艘不明船只是否进入了海域?请说明理由. 【解析】(1) 则 (平方海里) 所以,海域的面积为平方海里. (2) , 这艘不明船只没有进入海域. 【答案】4 5.设的内角所对的边为;则下列命题正确的是 . ①若;则 ②若;则 ③若;则 ④若;则 ⑤若;则 【答案】①②③ 【解析】 ①. ②. ③当时,与矛盾!故(2)正确. ④取满足得:. ⑤取满足得:. 二、选择题 6.在中,角,,的对边分别为,,.若为锐角三角形,且满 足,则下列等式成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由, 得, 即,所以,即,选A. 7.在中,角所对的边长分别为.若,,则( ) A. B. C. D.与的大小关系不能确定 【答案】A 【解析】 因为,, 所以, 所以. 故选A. 8.设,,且,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由条件得,即, 得,又因为,, 所以,所以. 9.如图,在△中,是边上的点,且,,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设,则,,,在中,由余弦定理得,则,在中, 由正弦定理得,解得. 三、 解答题 10.化简:. 【解析】当k=2n+1(n∈Z)时, 原式====-1;当k=2n(n∈Z)时, 原式===-1. 综上,原式=-1. 11.的内角,,的对边分别为,,,已知的面积为 (1)求;(2)若,,求的周长. 【解析】(1)由题设得,即 由正弦定理得.故. (2)由题设及(1)得 所以,故.由题设得,即. 由余弦定理得,即,得. 故的周长为. 12.如图,A,B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间? 【解析】由题意知海里, 在中,由正弦定理得 =(海里). 又海里, 在中,由余弦定理得 = 30(海里),则需要的时间(小时). 答:救援船到达D点需要1小时. 查看更多