THUSSAT11月诊断性测试理科数学试卷

THUSSAT11月诊断性测试理科数学试卷

中学生标准学术能力诊断性测试 2019 年 11 月测试 理科数学试卷（一卷） 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知集合  1,1,3 ,5 ,7,9U =− , {1,5}A = ,  7,5,1−=B ，则 ()UC A B = A．  3 ,9 B．  1 ,5 ,7 C．  1,1,3 ,9− D．  1,1,3 ,7,9− 2．已知空间三条直线 nml ,, ，若 l 与 m 垂直， l 与 n 垂直，则 A． m 与 n 异面 B． m 与 n 相交 C． m 与 n 平行 D． m 与 n 平行、相交、异面均有可能 3．复数 z 满足 31 +=− zz ，则 z A．恒等于 1 B．最大值为 1，无最小值 C．最小值为 1，无最大值 D．无最大值，也无最小值 4．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的表面积（单位： 2cm ）是 A．16 B．32 C．44 D．64 5．已知 0+ yx ，则“ 2||2|| 22 yx yx ++ ”是“ 0x ”的 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 6．函数 ln cos( 2 )2y x x=  − 的图像可能是 A B C D 7．已知两个不相等的非零向量 b,a ，满足 1=a ，且 a 与 ab − 的夹角为 60 ，则 b 的取值范围是 A．       2 30， B．       1,2 3 C．       +,2 3 D． ( )+，1 8．已知随机变量  的分布列为：  x y P y x 则下列说法正确的是 A．存在 x，y ( )1,0 ， 1() 2E   B．对任意 x，y ( )1,0 ， 1() 4E   C．对任意 x，y ( )1,0 ， ( ) ( )DE D．存在 x，y ( )1,0 ， 1() 4D   9．设函数 ( ) dcxbxaxxf +++= 23 ( ), , , 0a b c d aR 且 ，若 ( ) ( ) ( ) 14433220 == fff ，则 ( ) ( )51 ff + 的取值范围是 A． ( )10， B． ( )21， C． ( )3,2 D． ( )4,3 10．已知 21 , FF 分别为双曲线 ( )0012 2 2 2 =− ,bab y a x 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 P，使得点 2F 到直线 1PF 的距离为 a ，则该双曲线的离心率的取值范围是 A．       2 51， B．       +， 2 5 C． ( )51， D． ( )+，5 11．如图，在菱形 ABCD 中， 60ABC=，E，F 分别是边 AB，CD 的中点，现将 ΔABC 沿着对角线 AC 翻折，则直线 EF 与平面 ACD 所成角的正切值最大值为 A． 2 B． 3 21 C． 3 3 D． 2 2 （第 11 题图） 12．已知数列  na 满足 11 =a ， 11ln1 ++=+ n nn aaa ，记      nn aaaS +++= 21 ，  t 表示不超过 t 的 最大整数，则 2019S 的值为 A．2019 B．2018 C．4038 D．4037 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．在  2,2− 上随机地取一个实数 k ，则事件“直线 kxy = 与圆 ( ) 95 22 =+− yx 相交”发生的概率 为 ． 14．如图，在 ABC 中， ACAB  ， 32=BC ， = 60A ， ABC 的面积 等于 32 ，则角平分线 AD 的长等于 ． 15．已知数列  na 满足 naa nn 2151 −=+ + ，其前 n 项和为 nS ，若 nS 8S 恒 成立，则 1a 的取值范围为 ． 16．已知 P 为椭圆 C： 22 +143 xy= 上一个动点， 1F 、 2F 是椭圆 C 的左、右焦点，O 为坐标原点，O 到椭圆 C 在 P 点处的切线距离为 d，若 12 24 7PF PF=，则 d = ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作 答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分． 17．（12 分）已知函数 xxxf cos3sin)( −= （1）求函数 ()fx的单调递增区间； （2）在 ABC 中，角 ,,A B C 所对的边分别是 a , b , c ，若 ( ) 3fB= ， 3b = ，求 ABC 面积的最大值． （第 14 题图） 18．（12 分）如图，已知四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AD//BC，BC=2AD， AD⊥CD，PD⊥平面 ABCD，E 为 PB 的中点． （1）求证：AE//平面 PDC； （2）若 BC=CD=PD，求直线 AC 与平面 PBC 所成角的余弦值． 19．(12 分) 已知甲盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球，现从甲，乙 两个盒内各任取 2 个球． （1）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率； （2）设 为取出的 4 个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望． 20．(12 分)如图，斜率为 k 的直线 l 与抛物线 2 4yx= 交于 A 、 B 两点，直线 PM 垂 直平分弦 AB ，且分别交 AB 、 x 轴于 M 、 P ，已知 ( )4 ,0P ． （1）求 M 点的横坐标； （2）求 PAB△ 面积的最大值． l 21．（12 分）已知函数 x axxxf −= ln)( ， Ra  ． （1）若函数 )( xf 有且只有两个零点，求实数 a 的取值范围； （2）设函数 )(xf 的两个零点为 21 , xx ，且 21 xx  ，求证 exx 221 + ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清 题号． 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 x O y 中，曲线 C 的参数方程为 4cos 2sin x y   =  = （  为参数），在以坐标原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴的极坐标系中，点 P 的极坐标为 4, 3   ，直线 l 的极坐标方程为 2 sin 96−= ． （1）求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程； （2）若 Q 是曲线 C 上的动点，M 为线段 PQ 的中点，直线 l 上有两点 A,B，始终满足 AB 4= ，求 MAB△ 面积 的最大值与最小值． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知 cba ,, 为正实数，且满足 3=++ cba ．证明： （1） 3++ acbcab ； （2） 3 222 ++ a c c b b a ．