2019高三数学（人教A版理）一轮单元评估检测8　第8章　平面解析几何

2019高三数学（人教A版理）一轮单元评估检测8　第8章　平面解析几何

单元评估检测(八)　第8章　平面解析几何 ‎(120分钟　150分)‎ ‎(对应学生用书第327页)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于(　　)‎ A．1或－3 B．－1或3‎ C．1或3 D．－1或－3‎ ‎[答案]　A ‎2．若直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．－1 D．2‎ ‎[答案]　A ‎3．直线y＝2x为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线，则双曲线C的离心率是(　　)‎ ‎ 【导学号：97190435】‎ A． B． C． D． ‎[答案]　C ‎4．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．4 ‎[答案]　C ‎5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为(　　)‎ A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0‎ C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0‎ ‎[答案]　C ‎6．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　)‎ A． B．6‎ C．12 D．7 ‎[答案]　C ‎7．(2018·黄山模拟)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则1·2的最小值为(　　)‎ A．－2 B．－ C．1 D．0‎ ‎[答案]　A ‎8．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，则△F ‎1PF2的面积是(　　)‎ A． B． C． D． ‎[答案]　A ‎9．(2017·南昌模拟)已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝－1，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(　　)‎ A．y＝2x－3 B．y＝－2x＋5‎ C．y＝－x＋3 D．y＝x－1‎ ‎[答案]　A ‎10．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝，右焦点F(c,0)．方程ax2－bx－c＝0的两个实数根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)与圆x2＋y2＝8的位置关系是(　　)‎ A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．不确定 ‎[答案]　C ‎11．抛物线y2＝8x的焦点F与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点重合，又P为两曲线的一个公共点，且|PF|＝5，则双曲线的实轴长为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．－3 D．6‎ ‎[答案]　B ‎12．已知双曲线－＝1，a∈R，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点P为双曲线上一点，满足|OP|＝3a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则此双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎[答案]　A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．‎ ‎[答案]　2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0‎ ‎14．已知双曲线S与椭圆＋＝1的焦点相同，如果y＝x是双曲线S的一条渐近线，那么双曲线S的方程为________. 【导学号：97190436】‎ ‎[答案]　－＝1‎ ‎15．已知直线y＝－x＋a与圆C：x2＋y2－4x＋4y＋4＝0相交于A，B两点，且△ABC的面积S＝2，则实数a＝________.‎ ‎[答案]　2或－2‎ ‎16．已知P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且1·2＝0，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的值为________．‎ ‎[答案]　7‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.‎ ‎(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点．‎ ‎(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求直线l的倾斜角. ‎ ‎【导学号：97190437】‎ ‎[解]　(1)将已知直线l化为y－1＝m(x－1)，‎ 直线l恒过定点P(1,1)．‎ 因为＝1＜，‎ 所以点P(1,1)在已知圆C内，‎ 从而直线l与圆C总有两个不同的交点．‎ ‎(2)或 ‎18．(本小题满分12分)(2017·太原模拟)圆M和圆P：x2＋y2－2x－10＝0相内切，且过定点Q(－，0)．‎ ‎(1)求动圆圆心M的轨迹方程．‎ ‎(2)斜率为的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点，求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)＋y2＝1‎ ‎(2)y＝x＋ ‎19．(本小题满分12分)(2018·郑州模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)．‎ ‎(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程．‎ ‎(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．‎ ‎[解]　(1)设直线AM的方程为x＝my＋p，‎ 代入y2＝2px得y2－2mpy－2p2＝0，则y1y2＝－2p2＝－8，得p＝2.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设B(x3，y3)，N(x4，y4)．‎ 由(1)可知y1y2＝－2p2，‎ y3y4＝－2p2，y1y3＝－p2.‎ 又直线AB的斜率 kAB＝＝＝，‎ 直线MN的斜率 kMN＝＝＝，‎ 所以＝＝ ‎＝＝2.‎ 故直线AB与直线MN斜率之比为定值．‎ ‎20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程．‎ ‎(2)设F是椭圆C的左焦点，过点P(－2,0)的直线交椭圆于A，B两点，求△ABF面积的最大值. 【导学号：97190438】‎ ‎[解]　(1)＋y2＝1　(2) ‎21．(本小题满分12分)如图81，设椭圆＋y2＝1(a>1)．‎ 图81‎ ‎(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)．‎ ‎(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．‎ ‎[解]　(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，由 得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，‎ 故x1＝0，x2＝－.‎ 因此|AM|＝|x1－x2|＝·.‎ ‎(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.‎ 记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，‎ 且k1，k2＞0，k1≠k2.‎ 由(1)知，|AP|＝，‎ ‎|AQ|＝，‎ 故＝，‎ 所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)·kk]＝0.‎ 由于k1≠k2，k1，k2＞0，‎ 得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，‎ 因此＝1＋a2(a2－2)①.‎ 因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，‎ 所以a＞.‎ 因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件是1＜a≤，‎ 由e＝＝得，所求离心率的取值范围是0＜e≤.‎ ‎22．(本小题满分12分)如图82平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(‎ a>b>0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．‎ 图82‎ ‎(1)求椭圆C的方程．‎ ‎(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.‎ ‎①求证：点M在定直线上；‎ ‎②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．‎ ‎[解]　(1)由题意F点的坐标为，所以b＝，又e＝＝，‎ 所以＝，易得a2＝4b2＝1，于是椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.‎ ‎(2)①设P(2t,2t2)(t＞0)，则直线l的斜率kl＝2t，直线l的方程为：y－2t2＝2t(x－2t)，‎ 即y＝2tx－2t2，将其与x2＋4y2＝1联立得，‎ ‎(16t2＋1)x2－32t3x＋16t4－1＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，‎ y1＋y2＝2t(x1＋x2)－4t2＝.‎ 所以D，所以kOD＝－，可得直线OD的方程为：y＝－，‎ 由题意，xM＝2t，所以yM＝－＝－，所以点M在定直线y＝－上．‎ ‎②由图可知，|OG|＝2t2，|FG|＝2t2＋，‎ 所以S1＝··2t，‎ S△DOG＝·2t2·.‎ 显然，△DPM与△DGO相似，所以 S2＝·2t2·· ‎＝·2t·.‎ 所以＝· ‎＝ ‎≤·＝.‎ 当且仅当8t2＋2＝16t2＋1，即t＝时，取等号．所以的最大值为，取得最大值时点P的坐标为.‎