2017-2018学年天津市静海县第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

2017-2018学年天津市静海县第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

2017-2018 学年天津市静海县第一中学高二下学期期中考试 数学(文科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分 钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 6 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条 形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试 卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： •回归直线方程 =a+bx 的系数公式为 b= 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合 ，若 ，则 a 的取值范围是（　　） A． B． C． D． （2）已知复数 ，则（　　） A． B． 的实部为 C． 的虚部为 D． 的共轭复数为 （3）下列命题中的真命题是（　　） A．对于实数 、b、c，若 ，则 B．x2＞4 是 x＞2 的充分而不必要条件 C．若“ ”为真命题，则 均为真命题 yˆ xbya xnx yxnyx n i i n i ii −= − − ∑ ∑ = = ， 1 22 1 { } { }3 4 ，A x x B x x a= < < = ≤ A B⊆ 3a ≥ 3a > 4a ≥ 4a > 7+i 1+iz = | | 5z = z 4− z 3i− z 4 3i− a a b> 2 2ac bc> p q∧ ，p q 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + +独立性检验 5log 2b = 2 5 log 3c =2log 5a = D．命题 ： ，则 ： ，使得 （4）若 ， ， ，则 a、b、c 的大小关系是（　　） A． B． C． D． （5）某“三段论”的推理描述：对于函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点．因为函数 满足 ，所以 是函数 的 极值点.以上推理中（　　） A．小前提错误 B．大前提错误 C．推理形式错误 D．结论错误 （6）已知函数 ，且 ，则 （　　） A．254 B． C． D．14 （7）某公司的产品产量情况如下表 日期（第 月） 2 3 4 5 6 产量（ 万件） 1.15 1.25 1.35 a 1.6 根据上表得到的回归直线方程为 ，据此参数 a 的数值为（　　） A．1.45 B．1.53 C．1.55 D．1.65 （8）已知函数 若函数 有三个不同的零点， 则实数 a 的取值范围为（　　） A． B． C． D． p cos 1，x x∀ ∈ ≤R pØ 0x R$ Î 0cos 1x ≤ a b c< < b c a< < c b a< < c a b< < ( )g x 0( ) 0g x′ = 0x x= ( )g x ( ) exg x x= − ( )0 0g′ = 0x = ( ) exg x x= − 1 2 4 2, 1( ) log ( 3), 1 x xf x x x − − ≤= − + > ( +1) 1f a = − (5+ )f a = 3− 2log 6− x y 0.13 0.88y x= + ( ) 1 2 1 2 12 5log ( 1) 12 ， ， x x f x x x    − ≤   =   + + > ( ) ( )g x f x a= − ( ),0−∞ 30, 2      3 ,22      ( )2,+∞ 2 e( ) x f x x = ( )( )1 1，A f 第Ⅱ卷 注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2．用钢笔或签字笔直接答在试卷答题卡上。 3．本卷共 12 小题，共 110 分。 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上．） （9）曲线 C： 上点 处的切线方程为________. （10）用反证法证明命题“三角形的内角中最小角小于等于 60°”时，假设命题的结论不成 立的正确叙述是______（填序号）． ①假设最小角不大于 60°； ②假设最小角大于 60°； ③假设最大角大于 60°； ④假设最大角小于等于 60°． （11）若函数 在 内有极值，则实数 的取值范围的集合是________. （12）观察下面一组等式： ， ， ， ， 根据上面等式猜测 ，则 __________. （ 13 ） 已 知 函 数 ， 为 的 导 函 数 ， 则 的值为________. （14）设函数 ，若不等式 有负实数解，则实数 的最小值 为__________. 三、解答题（本题共 6 道大题，满分 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） ( )0,1 a3( ) 3f x x ax= − + 2 1 1 1 1= 1 22 1+1 6 3a = × × =× 2 2 2 1 +2 1= 2 3 12 2+1 6a = × × =× 2 2 2 3 1 +2 +3 1= 3 4 22 3+1 6a = × × =× 2 2 2 2 4 1 +2 +3 +4 1 10= 4 52 4+1 6 3a = × × =× ...... ( )2 1 1 3na n an b− = + a b+ = ( ) sin 1( )，af x b x a bx = + + ∈ ∈R R )(xf ′ )(xf (2018) ( 2018) (2019) ( 2019)f f f f′ ′+ − + − − axxxf x −++= − )33(e)( 2 ( ) 0f x ≤ a （15）（本小题满分 13 分） 设复数 z＝ln(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i(m∈R)，试求 m 取何值时？ （Ⅰ）z 是实数； （Ⅱ）z 是纯虚数； （Ⅲ）z 对应的点位于复平面的第一象限． （16）（本小题满分 13 分） 已知命题 ，命题 ． （Ⅰ）分别写出 真、 真时不等式的解集； （Ⅱ）若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围． : 4 2 6p x− ≤ + ≤ 2 2 2:log ( 4 +2 5) 1( 1)q x x a a a+ − + ≥ > p q p¬ q a （17）（本小题满分 13 分） 为了调查人们出行交通方式与 的浓度是否相关，现随机抽查某市 2018 年 3 月 份某一周的人们出行方式及车流量与 的数据如表： 　 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 公共交通（单位十万辆） 0.9 0.75 0.75 0.75 0.84 0.5 0.35 私家车（单位十万辆） 0.1 0.35 0.45 0.55 0.56 1 1.25 交通方式 x 合计 （单位十万辆） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 空气质量检测 PM2.5 的 浓度 y（微克/立方米） 20 30 40 50 60 70 80 ， ， 回 归 直 线 方 程 的 系 数 公 式 为 （Ⅰ）由散点图知 与 具有线性相关关系，求 关于 的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）所求的回归方程，预测该市车流量为 20 万辆时 的浓度； （Ⅲ）规定：当 的浓度值在 内，空气质量等级为优；当 的浓度值在 内，空气质量等级为良．为使该市某日空气质量为优或者为良，根据（Ⅰ） 所求的回归方程，则应控制当天车流量在多少万辆以内？ （Ⅳ）若随机抽取其中若干人次的出行方式与空气质量的关系，请根据出行方式与空气为优 的统计列表， 空气优 空气良 合计 公共交通 15 45 60 私家车 45 55 100 合计 60 100 160 试问能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为人们“出行方式与空气为优有关 PM2.5 PM2.5 7 1 483i i i x y = =∑ 7 2 1 12.11i i x = =∑ ˆy a bx= + 1 2 2 1 ， n i i i n i i x y nxy b a y bx x nx = = − = = − − ∑ ∑ y x y x PM2.5 PM2.5 ( ]0 50， PM2.5 ( ]50 100， 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 系”？ 附： （18）（本小题满分 13 分） （Ⅰ）利用分析法证明： ； （Ⅱ）设 且 ，用反证法证明 与 至少有一个不小于 3． （19）（本小题满分 14 分） 已知函数 ， （Ⅰ）若曲线 在 处的导数等于 ，求实数 ； （Ⅱ）若 ，求 的极值； （Ⅲ）当 时， 在 上的最大值为 10，求 在该区间上的最小值． 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 5 2 3 2− < − (0 1)， ，a b∈ 1a b+ = 2 1( 1)a − 2 1( 1)b − 3 2( )f x x x ax= + + ( )y f x= 1x = 16− a 1a = − ( )f x 8 03 a− < < ( )f x [ ]0 2， ( )f x 2 0( )P K k≥ 0k （20）（本小题满分 14 分） 已知函数 ，其中 ，e 为自然对数底数． （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）当 ， 时，若函数 对任意 都成立，求 的最大 值． ( ) ( )1 lng x a x x= − − a∈R ( )g x 21 ,eea  ∈   b∈R ( )g x b≥ ( )0,x∈ +∞ b a 4a >4a ≥3a >3a ≥ ( )( ) ( )( ) 7+i 1-i7+i 8-6i= = =4-3i1+i 1+i 1-i 2z = 2 24 +3 =5z∴ = 2017～2018 学年度第二学期期中七 高二数学(文科）参考答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分 钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 6 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条 形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试 卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： •回归直线方程 =a+bx 的系数公式为 b= 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设集合 ，若 ，则 a 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解：由右图可知 ，故选 C （2）已知复数 ，则（　　） A． B．z 的实部为-4 C．z 的虚部为-3i D．z 的共轭复数为 4-3i 解：由题可知 z 的实部为 4，虚部为-3，共轭复数为 4+3i ，故 A 正确。 yˆ xbya xnx yxnyx n i i n i ii −= − − ∑ ∑ = = ， 1 22 1 { } { }3 4 ,A x x B x x a= < < = ≤ A B⊆ 4a ≥ 7+i 1+iz = | | 5z = 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + +独立性检验 2log 5a = 5log 2b = 2 5 log 3c = 03log )1,0(2log 15log 5 2 5 2 <= ∈= >= c b a （3）下列命题中的真命题是（　　） A．对于实数 、b、c，若 ，则 B．x2＞4 是 x＞2 的充分而不必要条件 C．若“ ”为真命题，则 均为真命题 D．命题 ： ： ，使得 解：对于选项 A：当 c=0 时不成立，故为假命题 对于选项 B：x2＞4 的解为 x>2 或 x<-2，故 x2＞4 是 x＞2 的必要而不充分条件， 为选项为假命题 对于选项 C：当 均为真命题时“ ”为真命题，故为真命题 对于选项 D：命题 ： ： ，使得 ，故 为假命题 （4）若 ， ， ，则 a、b、c 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 解：由三个对数函数的图像如有所示 所以答案为 C （5）某“三段论”的推理描述：对于函数 g(x),如果 ,那么 是函数 的极 值点。因为函数 满足 ，所以 是函数 的极值 点。以上推理中（　　） A．小前提错误 B．大前提错误 C．推理形式错误 D．结论错误 解：三段论的形式正确， 对于函数 g(x),如果 ,并且在 处两端导数需要异号， ,cos 1,x R x∀ ∈ ≤ 则 ,cos 1,x R x∀ ∈ ≤ 则 a b c< < b c a< < c b a< < c a b< < a a b> 2 2ac bc> p q∧ ,p q p pØ 0 Rx$ Î 0cos 1x £ ,p q p q∧ p pØ 0 Rx$ Î 0cos 1x > ( )' 0g 0x = 0x x= ( )g x ( )g xx e x= − ( )'g 0 0= 0x = ( )g xx e x= − ( )' 0g 0x = 0x x= 那么 是函数 的极值点。故选 B （6）已知函数 ，且 ，则 （　　） A．254 B．-3 C． D．14 解：由题目可知：当 a+1≤1 即 a≤0 时 当 a+1>1 即 a>0 时 （7）某公司的产品产量情况如下表 日期（第 月） 2 3 4 5 6 产量（ 万件） 1.15 1.25 1.35 a 1.6 根据上表得到的回归直线方程为 ，据此参数 a 的数值为（　　） A．1.45 B．1.53 C．1.55 D．1.65 解：由题目可知回归直线 y=0.13x+0.88 必过样本中心点 又由表格知 ，知 故 （8）已知函数 若函数 有三个不同的零点， 则实数 a 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 解：由分段函数的解析式知 0x x= ( )g x 1 2 4 2, 1( ) log ( 3), 1 x xf x x x − − ≤= − + > ( +1) 1f a = − (5+ )f a = 6log2− 1 14 2 4 2 1 0a a a+ − − = − = − ⇒ = ( )2 2log ( 1 3) log ( 4) 1 2 0a a a− + + = − + = − ⇒ = − < 舍 2(5+ ) (5) log (5 3)=-3f a f∴ = = − + x y 0.13 0.88y x= + ( )x y， =4x =0.13 4+0.88=1.4y × 1.15+1.25+1.35+a+1.6=1.4 5× a=1.65∴ ( ) 1 2 1 2 12 5log ( 1) 12 ， ， x x f x x x    − ≤   =   + + > ( ) ( )g x f x a= − ( ),0−∞ 30, 2      3 ,22      ( )2,+∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' '2 2 2 ' 2 4 32 ' 2 2 1 1 1 2 x x x x xe x e x e x e x xf x ex xx f e f e y e e x y ex e − − −= = = ∴ = − = ∴ − = − − ⇒ = − + 解：由题目可 又 切 知 线方程为 ，故答案为 B 第Ⅱ卷 注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷答题卡上 3．本卷共 12 小题，共 100 分。 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上.） （9）求曲线 C： 上点 处的切线方程为_____________。 （10）用反证法证明命题“三角形的内角中最小角小于等于 ”时，假设命题的结论不成立 的正确叙述是________________（填序号）． ①假设最小角不大于 ； ②假设最小角大于 ； ③假设最大角大于 ； ④假设最大角小于等于 ． 答案② 解：用反证法证明命题： “三角形的内角中最小角小于等于 ”时， 应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中最小角小于等于 ”的否定是： 三角形的内角中最小角大于 ，故答案为②. （11）若函数 在 内有极值，则实数 的取值范围的集合是 （0,1） 解：由题可知 又因为函数 在 内有极值 ( )0,1 a ( )0,1 ( )y f x y a= =与函数 图像如右所示 ( ) 2 xef x x = ( )( )1, 1A f 060 060 060 060 060 060 060 60 3( ) 3f x x ax= − + ( )' 2 2( ) 3 3 3f x x a x a= − + = − − 3( ) 3f x x ax= − + ( ) ( ) ' '(0) (1) 3 3 1 0 0,1 f f a a∴ • = × − < ∈解之得a )(xf 注意答案的形式 （12）观察下面一组等式： ， ， ， ， 根据上面等式猜测 ，则 1 ． （ 13 ） 已 知 函 数 为 的 导 函 数 , 则 的值为 2 解：由题目可知 所以 { }0 1a a< <或 2 1 1 1 1= 1 22 1+1 6 3a = × × =× 2 2 2 1 +2 1= 2 3 12 2+1 6a = × × =× 2 2 2 3 1 +2 +3 1= 3 4 22 3+1 6a = × × =× 2 2 2 2 4 1 +2 +3 +4 1 10= 4 52 4+1 6 3a = × × =× ...... ( )2 1 1 3na n an b− = + a b+ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 n 22 2 2n-1 1 +2 +....+ 1= 12 +1 6 1 +2 +....+ 2n-1 2 2n-1 +1 1 = 2n-1 2n-1 16 1 12n-13 3 2 11 na n nn a n n an b a a bb = × × + ∴ = × × + = × × = + = ⇒ + = = − 解： ( ) sin 1( , ),af x b x a R b Rx = + + ∈ ∈ )(xf ′ (2018) ( 2018) (2019) ( 2019)f f f f′ ′+ − + − − ' 2( ) cosaf x b xx = − + 为偶函数 ' ' ' '( ) ( ) ( 2019) (2019) 0f x f x f f− = ⇒ − − = ( ) ( )( ) (2018) ( 2018) (2019) ( 2019) sin 2018 1 sin 2018 1 02018 2018 sin 2018 sin 2018 22018 2018 2 f f f f a ab b a a b b ′ ′+ − + − −    = + + + + − + +   −     = + + + − + −  = （14）设函数 ，若不等式 有负实数解， 则实数 的最小值为 解：原问题等价于 ，令 ，则 ， 而 ，由 可得： ， 由 可得： ， 据此可知，函数 在区间 上的最小值为 ， 综上可得：实数 a 的最小值为 e． 三、解答题（本题共 6 道大题，满分 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分 13 分） 设复数 z＝ln(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i(m∈R)，试求 m 取何值时？ （Ⅰ）z 是实数. （Ⅱ）z 是纯虚数． （Ⅲ）z 对应的点位于复平面的第一象限． 解：（Ⅰ）由 解得 m＝－3 或 m＝－2，复数表示实数---------3 分 （Ⅱ）当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． ---------4 分 由 求得 m＝4， 故当 m＝4 时，复数 z 为纯虚数． ---------8 分 （Ⅲ）由 解得 m＜－3 或 m＞4， 故当 m＜－3 或 m＞4 时， 复数 z 对应的点位于复平面的第一象限． ---------13 分 （16）（本小题满分 13 分） 已知命题 ， ． （Ⅰ）分别写出 真、 真时不等式的解集． （Ⅱ）若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围． 解：（Ⅰ）由 ， ---------1 分 ( ) ( )2 3 3xf x e x x a−= + + − ( ) 0f x ≤ ( )2 3 3xa e x x−≥ + + ( ) ( )2g 3 3xx e x x−= + + ( ) mina g x≥    ( ) ( )' 2g xx e x x−= − − ( )'g 0x > ( )1,0x∈ − ( )'g 0x < ( ) ( ), 1 0,x∈ −∞ − +∞ ( )g x ( ),0x∈ −∞ ( )g 1 e− = 2 2 5 6 0 2 7 0 ＋ ＋ ＝ ， － － ＞ m m m m   2 2 ln 2 7( 5 6 0 ) 0－ － ＝ ， ＋ ＋ m m m m  ≠ 2 2 ln 2 7( 5 6 0 ) 0－ － ＞ ， ＋ ＋ ＞ m m m m   : 4 2 6p x− ≤ + ≤ 2 2 2:log ( 4 +2 5) 1( 1)q x x a a a+ − + ≥ > p q p¬ q a : 4 2 6p x− ≤ + ≤ ． ∴当 真时对应的集合为 . ---------3 分 由题可知 ， ---------4 分 得 ， 解得 或 ． ∴ 当 真时对应的集合为 . ---------6 分 （Ⅱ）由题知当 对应的集合为 ， ---------8 分 ∵ 是 的充分不必要条件, ∴ ⫋ --------10 分 ∴ ，且等号不能同时成立。 ---------11 分 解得 ，又 ∴实数 的取值范围为 。 ---------13 分 （17）（本小题满分 13 分） 为了调查人们出行交通方式与 的浓度是否相关，现随机抽查某市 2018 年 3 月份 某一周的人们出行方式及车流量与 的数据如表： 　 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 公共交通（单位十万辆） 0.9 0.75 0.75 0.75 0.84 0.5 0.35 私家车（单位十万辆） 0.1 0.35 0.45 0.55 0.56 1 1.25 交通方式 x 合计 （单位十万辆） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 空气质量检测 PM2.5 的 浓度 y（微克/立方米） 20 30 40 50 60 70 80 ， ， 回 归 直 线 方 程 =a+bx 的 系 数 公 式 为 b= 6 4x− ≤ ≤解得 p {x| 6 4}x− ≤ ≤ 2 24 2 5 2x x a a+ − + + ≥ ( )( )2 4 1 3 0x x a a+ + + − ≥即 ( ) ( )1 3 0x a x a   + + + − ≥    1x a≤ − − 3 ( 1)x a a≥ − > q { }1 3x x a x a≤ − − ≥ −或 p¬ {x| 6 4}x x<− >或 p¬ q {x| 6 4}x x< − >或 { }1 3x x a x a≤ − − ≥ −或 1 6 3 4 a a − − ≥− −    ≤ 5a ≤ 1a > a ](1, 5 2.5PM 2.5PM 7 1 483i i i x y = =∑ 7 2 1 12.11i i x = =∑ yˆ （Ⅰ）由散点图知 与 具有线性相关关系，求 关于 的线性回归方程 （Ⅱ）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为 20 万辆时 的浓度； （Ⅲ）规定：当 的浓度值在 内，空气质量等级为优；当 的浓度值在 内，空气质量等级为良．为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当 天车流量在多少万辆以内？ （Ⅳ）若随机抽取其中若干人次的出行方式与空气质量的关系，请根据出行方式与空气为优 的统计列表， 试问能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为人们“出行方式与空气为优有关 系” ？ 附： 解：由数据可得： ， ---------1 分 ， ---------2 分 ， ， ------3 分 ∴ 关于 的线性回归方程为 ． ---------5 分 空气优 空气良 合计 公共交通 15 45 60 私家车 45 55 100 合计 60 100 160 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 xbya xnx yxnyx n i i n i ii −= − − ∑ ∑ = = , 1 22 1 y x y x 2.5PM 2.5P M ( ]0,50 2.5PM ( ]50,100 ( )1 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.37x = + + + + + + = ( )1 20 30 40 50 60 70 80 507y = + + + + + + = 7 1 483i i i x y = =∑ 7 2 1 12.11i i x = =∑ 22 1 2 1 483 7 1.3 50 10012.11 7 1.3 n i ii n ii x y nxy b x nx = = − − × ×= = =− ×− ∑ ∑ 50 100 1.3 80a y bx= − = − × = − y x 100 80ˆy x= − 2 0( )P K k≥ 0k 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + （Ⅱ）当车流量为 20 万辆时，即 时， ． 故车流量为 20 万辆时，PM2.5 的浓度为 120 微克/立方米． ---------7 分 （Ⅲ）根据题意信息得： ，即 ， 故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在 18 万辆以内---------9 分 （Ⅳ）由题可知 ， ---------11 分 所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为人们“出行方式与空气为优有关系”。 -------13 分 （18）（本小题满分 13 分） （Ⅰ）利用分析法证明： （Ⅱ）设 且 ，用反证法证明 与 至少有一个不 小于 3. 解：（Ⅰ）证明：要证明 成立， 只需证明 ， ---------2 分 即 ， 即 ---------4 分 从而只需证明 即只需证 ,显然成立. 所以 成立 。 ---------6 分 （Ⅱ）证明：假设 与 都小于 3， 即 ， ， ---------8 分 所以 ， ---------10 分 因为 且 ， 所以 2x = 100 2 80 1ˆ 20y = × − = 100 80 100x − ≤ 1.8x ≤ 2 2 160(15 55 45 45) =6.4 3.84160 100 60 100K × − ×= >× × × 5 2 3 2− < − (0 1)， ，a b∈ 1a b+ = 2 1( 1)a − 2 1( 1)b − 5 2 3 2− < − 5+ 2 3+2< ( ) ( )2 2 5+ 2 3+2< 5 2 10 2 3 4 3 4+ + < + + 10 2 3< 10 12< 5 2 3 2− < − 2 1( 1)a − 2 1( 1)b − 2 1( 1) 3a − < 2 1( 1) 3b − < 2 2 1 1( 1)( 1) 9a b − − < 0，a b > 1a b+ = 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 )( 1)( 1) a a b b a b b a a b a b a b + − + − + +− − = ⋅ = ⋅ 所以 ，不成立 所以当 且 时， 与 至少有一个不小 于 3 ---------13 分 （19）（本小题满分 14 分） 已知函数 ， （Ⅰ）若曲线 在 处的导数等于-16，求实数 ； （Ⅱ）若 ，求 的极值； （Ⅲ）当 时， 在 上的最大值为 10，求 在该区间上的最小值 解：（Ⅰ）因为 ， 曲线 在 ， ------------2 分 依题意： . -------------3 分 （Ⅱ）当 时， ， ----5 分 + - + 单调增 单调减 单调增 所以， 的极大值为 ， 的极小值为 . --------------------8 分 （Ⅲ）令 ，得 ， ----------------9 分 在 上单调递增，在 上单调递减， 当 时，有 ， ----------------11 分 所以 在 上的最小值为 ， 又 ， -------------12 分 所以 在 上的最大值为 ，解得： .--13 分 故 在 上的最小值为 ------14 分 1 1 1 2 91 a b a a a b a a + + + −= ⋅ = ⋅ <− 2(2 1) 0a − < (0 1)， ，a b∈ 1a b+ = 2 1( 1)a − 2 1( 1)b − 3 2( )f x x x ax= + + ( )y f x= 1x = a 1a = − ( )f x 8 03 a− < < ( )f x [ ]0,2 ( )f x 2( ) 3 2f x x x a′ = + + ( )y f x= 1x = (1) 5+f a′ =的导数 5+ 16, 21a a= − = − 1a = − 3 2( )f x x x x= + − 2( ) 3 2 1 ( 1)(3 1)f x x x x x′ = + − = + − x ( , 1)−∞ − 1− 1( 1, )3 − 1 3 1( , )3 +∞ ( )f x′ 0 0 ( )f x 1 5 27 − ( )f x 1 ( )f x 5 27 − ( ) 0f x′ = 1 1 1 3 3 ax − − −= 2 1 1 3 3 ax − + −= ( )f x 1 2( , ),( , )x x−∞ +∞ 1 2( , )x x 8 03 a− < < 1 20 2x x< < < ( )f x [ ]0,2 2( )f x (0) 0, (2) 12 2 , (0) (2)f f a f f= = + < ( )f x [ ]0,2 (2) 12 2 10f a= + = 2 11, 3a x= − = ( )f x [ ]0,2 1 5( )3 27f = − （20）（本小题满分 14 分） 已知函数 ，其中 ，e 为自然对数底数． （Ⅰ）求函数 的单调区间；（2）已知当 时，若函数 对任意 都成立，求 的最大值 解（Ⅰ）因为 的定义域为 ，又 ， 。1 分 （1）当 时， ， 所以函数 的单调减区间为 ----------------3 分 （2）当 ，由 得 ， 所以当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增． ---------5 分 综上可得，当 时函数 的单调减区间为 当 时，函数 的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 ． ---------6 分 （Ⅱ）因为 ，由函数 对任意 都成立，得 ， 因为由（Ⅰ）知 ，所以 ． ----8 分 所以 ， ---------10 分 设 所以 ， ---------12 分 ( ) ( )g = 1 lnx a x x− − a R∈ ( )g x 21 ,a ee  ∈   ,b R∈ ( )g x b≥ ( )0,x∈ +∞ b a ( )g x ( )0,+∞ ( )' 1 1g = axx a x x −− = Ra∈ 0a ≤ ( ) ( )' 1g = 0 0 +axx x − ≤ ∞在 ， 恒成立 ( )g x ( )0,+∞ 0a > ( )'g 0x = 1=x a 10,x a  ∈   ( )'g 0x < ( )g x 1 ,x a  ∈ +∞   ( )'g 0x > ( )g x 0a ≤ ( )g x ( )0,+∞ 0a > ( )g x 1 ,a  +∞   10, a      21 ,a ee  ∈   ( )g x b≥ ( )0,x∈ +∞ ( )mingb x≤ ( )min 11 g =g 1 lnx a aa   = − +  由（ ）知 1 lnb a a≤ − + 21 ln 1, ,b a a a ea a e − +  ≤ ∈  其中 21 ln 1( ) ( , )a ah a a ea e − +  = ∈   ' 2 ln( ) ah a a −= 由 ，令 ，得 ， 1 + 0 - 单调增 极大值 单调减 所以 ， 即 的最大值为 ，此时 ． ---------14 分 21 ,a ee  ∈   ' 2 ln( ) 0ah a a −= = 1a = a 1 e 1( ,1)e 2(1, )e 2e ' ( )h a ( )h a 1− 2 3 1e − ( )min 1=h 1h a e   = −   b a 1− 1 1,a be e = = −