专题4-1+任意角和弧度制及任意角的三角函数(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)

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文档介绍

专题4-1+任意角和弧度制及任意角的三角函数(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)

‎ 第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 ‎1.任意角的概念、弧度制 了解角、角度制与弧度制的概念,掌握弧度与角度的换算.‎ 无 ‎1.三角函数的定义; ‎ ‎2.扇形的面积、弧长及圆心角.‎ ‎3.备考重点:‎ ‎ (1) 理解三角函数的定义;‎ ‎(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.‎ ‎2.三角函数的定义 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.‎ 无 ‎【知识清单】‎ ‎1.象限角及终边相同的角 ‎1.任意角、角的分类:‎ ‎①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.‎ ‎②按终边位置不同分为象限角和轴线角.‎ ‎(2)终边相同的角:‎ 终边与角α相同的角可写成α+k·360°(k∈Z).‎ ‎2.弧度制:‎ ‎①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.‎ ‎②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|=,l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径.‎ ‎③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小无关,仅与角的大小有关.‎ ‎3.弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度.‎ 对点练习:‎ 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(  )‎ A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)‎ C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)‎ ‎【答案】C.‎ 确.‎ ‎2.三角函数的定义 ‎1.任意角的三角函数定义:‎ 设α是一个任意角,角α的终边与单位圆交于点P(x,y),那么角α的正弦、余弦、正切分别是:sin α=y,cos α=x,tan α=,它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.‎ 2. 三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦 ‎3.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知,点P的坐标为(cos_α,sin_α),即P(cos_α,sin_α),其中cos α=OM,sin α=MP,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T,则tan α=AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.‎ 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 对点练习:‎ ‎【河南省林州一中2017-2018上学期开学】已知角终边经过点,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于,所以由三角函数的定义可得,应选答案B.‎ ‎3. 扇形的弧长及面积公式 弧长公式:l=|α|r,扇形面积公式:S扇形=lr=|α|r2.‎ 对点练习:‎ 已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.‎ ‎(1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长l;‎ ‎(2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角;‎ ‎(3)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?‎ ‎【答案】(1) (cm).(2)圆心角为.(3)l=10,α=2.‎ ‎【解析】(1)α=60°= rad,∴l=α·R=×10=(cm). ‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 高考对任意角三角函数定义的考查要求较低,均是以小题的形式进行考查,一般难度不大,要求学生深刻认识利用坐标法定义任意角三角函数的背景和目的.纵观近几年的高考试题,主要考查以下两个方面:一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值;二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 象限角及终边相同的角 ‎【1-1】已知角α=45°,‎ ‎(1)在-720°~0°范围内找出所有与角α终边相同的角β;‎ ‎(2)设集合,判断两集合的关系.‎ ‎【答案】(1)β=-675°或β=-315°.(2).‎ ‎【解析】(1)所有与角α有相同终边的角可表示为:‎ β=45°+k×360°(k∈Z),‎ 则令-720°≤45°+k×360°<0°,‎ 得-765°≤k×360°<-45°,解得-≤k<-,‎ 从而k=-2或k=-1,代入得β=-675°或β=-315°.‎ ‎(2)因为M={x|x=(2k+1)×45°,k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;‎ 而集合N={x|x=(k+1)×45°,k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合,从而.‎ ‎【1-2】若且,则角θ的终边所在象限是(  )‎ A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限 ‎【答案】A ‎【1-3】终边在直线y=x上的角的集合为________.‎ ‎【答案】{α|α=kπ+,k∈Z}‎ ‎【解析】终边在直线y=x上的角的集合为{α|α=kπ+,k∈Z}.‎ ‎【1-4】若角是第二象限角,试确定,的终边所在位置.‎ ‎【答案】角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上,的终边在第一象限或第三象限.‎ ‎【解析】∵角是第二象限角,∴ ,‎ ‎(1),‎ ‎∴ 角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上.‎ 综上所述,的终边在第一象限或第三象限.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.对与角α终边相同的角的一般形式α+k·360°(k∈Z)的理解;(1)k∈Z;(2)α任意角;(3)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.‎ ‎2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角 ‎3.已知角α的终边位置,确定形如kα,π±α等形式的角终边的方法:先表示角α的范围,再写出kα、π±α等形式的角范围,然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置 ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,- ‎),角速度为1,那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为(  )‎ ‎【答案】C 当t=0时,d=,排除A、D;当t=时,d=0,排除B. ‎ 考点2 三角函数的定义 ‎【2-1】已知角α的终边经过点P(m,-3),且cos α=-,则m等于(  )‎ A.- B. C.-4 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知,cos α==-,‎ 又m<0,解得m=-4.‎ ‎【2-2】已知角α的终边与单位圆的交点P,则tan α=(  )‎ A. B.± C. D.± ‎【答案】B ‎ ‎【解析】由|OP|2=x2+=1,得x=±,tan α=±.‎ ‎【2-3】已知角α的终边上有一点P(t,t2+1)(t>0),则tan α的最小值为(  )‎ A.1      B.2 C. D. ‎【答案】B ‎【解析】根据已知条件得tan α==t+≥2,当且仅当t=1时,tan α取得最小值2.‎ ‎【2-4】已知角α的终边上一点P的坐标为,则角α的最小正值为(  )‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【领悟技法】‎ ‎1.已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解.‎ ‎2.已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的三角函数值.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-2,3] B.(-2,3)‎ C.[-2,3) D.[-2,3]‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ∵cos α≤0,sin α>0,∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.‎ ‎∴∴-20时,r=k,‎ ‎∴sin α==-,==,‎ ‎∴10sin α+=-3+3=0;‎ 当k<0时,r=-k,‎ ‎∴sin α==,‎ ==-,‎ ‎∴10sin α+=3-3=0.‎ 综上,10sin α+=0.‎ 考点3 扇形的弧长及面积公式 ‎【3-1】【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】若扇形的圆心角,弦长 ‎,则弧长__________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出图形,如图所示. ‎ 设扇形的半径为rcm,由sin60°=,得r=4cm,‎ ‎∴l==×4= cm.‎ ‎【3-2】已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?‎ ‎【答案】 当r=10,θ=2时,扇形面积最大 ‎【领悟技法】(1)弧度制下l=|α|·r,S=lr,此时α为弧度.在角度制下,弧长l=,扇形面积S=,此时n为角度,它们之间有着必然的联系.‎ ‎(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为(  )‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎ ‎【变式二】一扇形的圆心角为120°,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________.‎ ‎【答案】(7+4)∶9‎ ‎【解析】设扇形半径为R,内切圆半径为r.则(R-r)sin 60°=r,‎ 即R=1+r.又S扇=|α|R2=××R2=R2=πr2,‎ ‎∴=. ‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例:已知角的终边过点,,求角的的正弦值、余弦值.‎ 易错分析:学生在做题时容易遗忘的情况.‎ 正确解析:当时,;‎ 当时,‎ 温馨提醒:本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法,这也是高考考查的一个重点.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好,隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为,数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.‎ 向量的几何表示,三角形、平行四边形法则,使向量具备形的特征,而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征,因此,向量融数与形于一身,具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此,在应用向量解决问题或解答向量问题时,要注意恰当地运用数形结合思想,将复杂问题简单化、将抽象问题具体化,达到事半功倍的效果.‎ ‎【典例】满足cos α≤-的角α的集合为________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎
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