上海市杨浦高级中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

上海市杨浦高级中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

www.ks5u.com 杨浦高级中学2018-2019高一下期末考试卷 一、填空题（本大题10题，每题4分，共40分）‎ ‎1.已知角的终边经过点，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，则.‎ ‎2.在等比数列中，若，则等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质可得, ,代入式子中运算即可.‎ ‎【详解】解：在等比数列中,‎ 若 故答案为 ‎【点睛】本题考查等比数列的下标和性质的应用.‎ ‎3.函数的最小正周期为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将转化为余弦的二倍角公式,再用最小正周期公式求解.‎ ‎【详解】解：‎ 最小正周期为.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查二倍角的余弦公式,和最小正周期公式.‎ ‎4.已知，，则________（用反三角函数表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵，，‎ ‎∴.‎ 故答案为 ‎5.设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出数列的首项和公差,根据等差数列通项公式和前项和公式,代入条件化简得和的关系,再代入所求的式子进行化简求值.‎ ‎【详解】解：设等差数列的首项为,公差为,‎ 由,得,得,‎ ‎.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了等差数列通项公式和前n项和公式的简单应用,属于基础.‎ ‎6.方程，的解集是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用正弦的二倍角公式展开,得到,分两种情况讨论得出结果.‎ ‎【详解】解：‎ 即,‎ 即：或.‎ ‎①由,,得.‎ ‎②由,,得或.‎ 综上可得方程,的解集是：‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查正弦函数的二倍角公式,以及特殊角的正余弦值.‎ ‎7.设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -9.‎ ‎8.已知函数的图象如下，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的图象的顶点坐标求出,由半个周期求出,最后将特殊点的坐标求代入解析式,即可求得的值.‎ ‎【详解】解：由图象可得,,‎ 得.‎ ‎,‎ 将点代入函数解析式,‎ 得,‎ ‎,,‎ 又因为,所以 故答案为 ‎【点睛】本题考查由的部分图象确定其解析式.‎ ‎（1）根据函数的最高点的坐标确定 ‎（2）根据函数零点的坐标确定函数的周期求 ‎（3）利用最值点的坐标同时求的取值,即可得到函数的解析式.‎ ‎9.已知数列从第项起每项都是它前面各项的和，且，则的通项公式是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列举,可找到是从第项起的等比数列,由首项和公比即可得出通项公式.‎ ‎【详解】解：‎ ‎,即,‎ 所以是从第项起首项,公比的等比数列.‎ 通项公式为：‎ 故答案 ‎【点睛】本题考查数列通项公式,可根据递推公式求出.‎ ‎10.数列中，如果存在使得“，且”成立（其中，），则称为的一个“谷值”．若且存在“谷值”则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出,,,当,递减,递增,分别讨论,,是否存在“谷值”,注意运用单调性即可.‎ ‎【详解】解：当时,有,,‎ 当,递减,递增,且.‎ 若时,有,则不存在“谷值”；‎ 若时,,则不存在“谷值”；‎ 若时,①,则不存在"谷值"；‎ ‎②,则不存在"谷值"；‎ ‎③,存在"谷值"且为.‎ 综上所述,的取值范围是 故答案为 ‎【点睛】本题考查新定义及运用,考查数列的单调性和运用,正确理解新定义是迅速解题的关键,是一道中档题.‎ 二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）‎ ‎11.数列的通项公式，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 不存在 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为趋于无穷大,故,分离常数即可得出极限.‎ ‎【详解】解：因为的通项公式,‎ 要求,即求 故选B ‎【点睛】本题考查数列的极限,解答的关键是消去趋于无穷大的式子.‎ ‎12.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将转化为,再判断的符号即可得出结论.‎ ‎【详解】解：因为,‎ 所以只需把向右平移个单位.‎ 故选A ‎【点睛】函数左右平移变换时,一是要注意平移方向：按“左加右减",如由的图象变为的图象,是由变为,所以是向左平移个单位；二是要注意前面的系数是不是,如果不是,左右平移时,要先提系数,再来计算.‎ ‎13.函数的图像（ ）‎ A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据关于点对称,关于直线对称来解题.‎ ‎【详解】解：令,得,‎ 所以对称点为.‎ 当,为,故B正确；‎ 令,则对称轴为,‎ 因此直线和均不是函数的对称轴.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查正弦函数对称性问题.正弦函数根据关于点对称,关于直线对称.‎ ‎14.若数列对任意满足，下面给出关于数列的四个命题：①可以是等差数列，②可以是等比数列；③可以既是等差又是等比数列；④可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得an﹣an﹣1＝2，或an＝2an﹣1，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案．‎ ‎【详解】∵数列{an}对任意n≥2（n∈N）满足（an﹣an﹣1﹣2）（an﹣2an﹣1）＝0，∴an﹣an﹣1＝2，或an＝2an﹣1，‎ ‎∴①{an}可以是公差为2的等差数列，正确；‎ ‎②{an}可以是公比为2的等比数列，正确；‎ ‎③若{an}既是等差又是等比数列，即此时公差为0，公比为1，由①②得，③错误；‎ ‎④由 （an﹣an﹣1﹣2）（an﹣2an﹣1）＝0， an﹣an﹣1＝2或an＝2an﹣1，‎ 当数列为：1，3，6，8，16……‎ 得{an}既不是等差也不是等比数列，故④正确； ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差，等比数列的相关内容，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共5题，共44分，解答时写出必要的步骤）‎ ‎15.在中，已知，是边上一点，,,.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）在中，由余弦定理得，最后根据的值及，即可得到的值；（2）在中，由正弦定理得到，从而代入数据进行运算即可得到的长.‎ 试题解析：（1）在中，，由余弦定理可得 又因为，所以 ‎（2）在中，‎ 由正弦定理可得 所以.‎ 考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.解斜三角形.‎ ‎16.已知是等差数列，为其前项和，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等差数列的通项公式和前n项和公式,利用已知条件求出首项和公差,由此能求出an=2n+3‎ ‎（2）由得,由此能求出数列的前项和.‎ ‎【详解】解：（1）是等差数列,为其前项和 解得：.‎ ‎（2）,‎ ‎,‎ ‎,又.‎ 是以3为首项2为公比的等比数列.‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前项和的求法解题时要认真审题注意等差数列和等比数列的性质的灵活运用.‎ ‎17.数列满足，.‎ ‎（1）试求出，，；‎ ‎（2）猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.‎ ‎【答案】（1）,,‎ ‎（2），证明见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得,在中分别令可求结果；‎ ‎（2）由数列前四项可猜想,运用数学归纳法可证明.‎ ‎【详解】解：（1）,‎ 当时,,,‎ 当时,,,‎ 当时,,,‎ 所以,,‎ ‎（2）猜想下面用数学归纳法证明：‎ 假设时,有成立,‎ 则当时,有,‎ 故对成立.‎ ‎【点睛】该题考查由数列递推式求数列的项、通项公式,考查数学归纳法,考查学生的运算求解能力.‎ ‎18.已知函数 ‎（1）求函数的定义域：‎ ‎（2）求函数的单调递减区间：‎ ‎（3）求函数了在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）.‎ ‎（2）,.‎ ‎（3）,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分母不等于求出函数的定义域.‎ ‎（2）化简函数的表达式,利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间即可.‎ ‎（3）通过满足求出相位的范围,利用正弦函数的值域,求解函数的最大值和最小值.‎ ‎【详解】解：（1）函数的定义域为：‎ ‎,即,‎ ‎（2）‎ ‎,‎ 令且,‎ 解得：,‎ 即 所以的单调递减区间：,.‎ ‎（3）由,可得：,‎ 当,即：时,‎ 当,即：时,‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的最值以及三角函数的化简与应用,两角和与差的三角函数的应用考查计算能力.‎ ‎19.数列中，，.前项和满足.‎ ‎（1）求（用表示）； ‎ ‎（2）求证：数列是等比数列； ‎ ‎（3）若，现按如下方法构造项数为的有穷数列，当时，；当时，.记数列的前项和，试问：是否能取整数？若能，请求出的取值集合：若不能，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）证明见详解.‎ ‎（3）能取整数,此时取值集合为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用递推关系式,令,通过,求出即可.‎ ‎（2）递推关系式转化为：,化简推出数列是等比数列.‎ ‎（3）由,求出,求出,得到通项公式,然后求解的分母与分子,讨论要使取整数,需为整数,推出的取值集合为时,取整数 ‎【详解】解：（1）令,则,‎ 将,代入,有.‎ 解得：.‎ ‎（2）由 得,‎ 化简得,又,‎ 是等比数列.‎ ‎（3）由,,‎ 又是等比数列,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎①当时,‎ 依次为,‎ ‎.‎ ‎②当时,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 要使取整数,需为整数,‎ 令,,‎ ‎,要么都为整数,要么都不是整数,‎ 又 所以当且仅当为奇数时,为整数,‎ 即的取值集合为时,取整数.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用递推公式结合,为判断等比数列,考查数列前项和的比的问题的转化与化归思想的综合性解题能力.‎ ‎ ‎