福建省福州市鼓楼区2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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www.ks5u.com ‎2019-2020学年福建省福州市鼓楼区高一（上）期中数学试卷 一、选择题 ‎1.已知集合{-1，0，1，2}，，则( )‎ A. 0， B. 1， C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由交集的概念直接运算即可．‎ ‎【详解】解：,,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了列举法,描述法的定义,交集的运算,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎2.下列幂函数中过点，的偶函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 对于A，定义域为，不关于原点对称，所以A不具有奇偶性，不对；‎ 对于B，是过点，的偶函数，B对；‎ 对于C，定义域为 不过点，不对；‎ 对于D，过点，但它为奇函数，不对；‎ 故选B ‎3. 下列给出的同组函数中，表示同一函数的是（ ）‎ A. （1）、 （2） B. （2） C. （1）、（3） D. （3）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：（1），，所以不是同一函数，（2），函数的三个要素一样，所以是同一函数，（3）的定义域是,的定义域是，定义域不同，所以不是同一函数．‎ 考点：函数的表示方法 ‎4.函数的定义域为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据被开方式与分母的限制建立不等式组即可得到结果.‎ ‎【详解】由函数解析式可知：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴函数的定义域为 故选D ‎【点睛】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于常考题型.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎5.函数 的值域是．‎ A. (0，1) B. (0，1] C. [0，1) D. [0，1]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，根据单调性可以完成本题.‎ ‎【详解】令，则又在单调递减所以值域为，所以选择B ‎【点睛】考查函数值域问题，可以将函数合理转化变成我们熟悉的函数，根据单调性来求值域.‎ ‎6.函数的图象可能是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论和,结合函数的单调性和定点范围利用排除法进行排除即可.‎ ‎【详解】解：若,则函数为增函数,此时,C，D不成立,,则A,B不成立;‎ 若,则函数为减函数,此时A,B不成立,,则D不成立,故C有可能.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数单调性和 是否对应,结合排除法是解决本题的关键,属于基础题.‎ ‎7.已知函数的图象恒过点A，下列函数图象不经过点A( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令求得图象恒过点A的坐标,再验证选项中的函数是否过点A.‎ ‎【详解】解：函数中,令,解得,,‎ 所以图象恒过点A(1,2);‎ 对于A,时,,则函数图象过点A;‎ 对于B,时,,则函数图象过点A;‎ 对于C,时,,则函数图象过点A;‎ 对于D,时,, 则函数图象不过点A.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数恒过定点的问题,属于基础题.‎ ‎8.“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质,结合充分条件和必要条件的概念判断即可得出答案.‎ ‎【详解】解：由,得,,则是的充分条件;‎ 反之,由,得,则是的不必要条件;‎ ‎“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的基本性质,考查充分条件和必要条件的判定,属于基础题.‎ ‎9.若,则不等式的解集是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由幂函数的定义域和单调性得出不等式组,解不等式组即可得出答案.‎ ‎【详解】解：由得是定义在上的增函数,‎ 则由不等式得,解得:.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义域和单调性的应用,属于基础题,本题易错点是不考虑定义域.‎ ‎10.已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数的定义域是一切实数，所以当时，函数对定义域上的一切实数恒成立；当时，则，解得，综上所述，可知实数的取值范围是，故选D.‎ 考点：函数的定义域.‎ ‎11.已知函数为R上的减函数，则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数单调性的性质进行求解即可.‎ ‎【详解】解：若函数在R上为减函数,‎ 则,‎ 即,解得,‎ 即实数的取值范围是,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数单调性的应用,深刻理解分段函数单调性的性质是解决本题的关键,是常考题型,属于基础题.‎ ‎12.已知函数，若任意且都有，则实数的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 不妨设，，任意可得，可得在上递增，‎ 的对称轴，得，故选A.‎ 二、填空题 ‎13.已知函数，则______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出函数,,由此能求出结果.‎ ‎【详解】解：函数,‎ ‎.‎ 故答案为:3.‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法,考查函数性质的应用,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎14.已知函数，且，则______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得,从而可求,然后代入即可求解.‎ ‎【详解】解：,‎ ‎,‎ ‎,由,‎ 则.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值,解题的关键是整体思想的应用.‎ ‎15.设，若，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知分段函数表达式可看出在分段定义域上均为单调增函数,则可得或,分别讨论的值,利用求出的值即可.‎ ‎【详解】解：由可得在分段定义域上函数均为单调增函数,‎ 当,时,得,‎ 由,,可得,解得;‎ 当,解得无解.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的应用,考查分类讨论思想以及计算能力,属于基础题.‎ ‎16.给出以下四个命题：‎ 若集合，，，则，；‎ 若函数的定义域为，则函数的定义域为；‎ 若函数的单调递减区间是；‎ 命题“，”的否定是“，”‎ 其中正确的命题有______只填序号 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用集合的元素的性质,函数的定义域的求法,函数的图象,命题的否定的应用求出结果.‎ ‎【详解】解：若集合,,当,所以:与集合的元素的互异性相矛盾，故舍去，‎ 则解得,;故正确.‎ 若函数的定义域为,则,解得,‎ 所以函数的定义域为;故正确.‎ 利用函数的图象,单调递减区间是和;故错误.‎ 命题“,”的否定是“，”,故错误.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点:集合的元素的性质的应用,函数的定义域的求法和应用,函数的图象单调性的应用,命题的否定的应用,主要考查学生的转换能力及思维能力,属于基础题型.‎ 三、解答题 ‎17.计算：‎ ‎；‎ 已知，求．‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数幂的运算性质即可得出;‎ 利用指数幂的运算性质结合完全平方公式即可得出.‎ ‎【详解】解：原式 ‎;‎ ‎,‎ 又,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了指数幂的运算性质,属于基础题.‎ ‎18.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．‎ 现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；‎ 写出函数的解析式和值域．‎ ‎【答案】（1）递增区间是，，图像见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数为偶函数,图象关于y轴对称,故直接补出完整函数的图象即可,再由图象直接可写出的增区间;‎ 直接利用偶函数的性质求解析式,值域可从图形直接观察得到.‎ ‎【详解】解：因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如图所示:‎ 由图可得函数的递增区间是,.‎ 设,则,所以,因为是定义在R上的偶函数,所以,所以时,,‎ 故的解析式为,‎ 由图像可得值域为.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数求解析式、作图,同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质;求此类题型函数解析式时可由图象利用待定系数法求解析式,也可利用函数单调性求解解析式,属于基础题.‎ ‎19.已知全集，集合，，．‎ 求，；‎ 若“”为“”的充分不必要条件，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合运算定义直接进行计算即可;‎ 由“”为“”的充分不必要条件,得集合,再结合集合的包含关系,求出的取值范围即可.‎ ‎【详解】解:集合,,或,;‎ ‎“”为“”的充分不必要条件,得,,解得,‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的运算,集合与充分必要条件的转化关系,属于基础题.‎ ‎20.已知函数. ‎ ‎(1)判断在区间上的单调性并证明；‎ ‎(2)求的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）函数在上为增函数，证明见解析；‎ ‎（2）的最大值为，最小值为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数的单调性的定义, 设，判断的正负，证明出函数在上的单调性为增函数; ‎ ‎（2）由（1）得出的函数的单调性为单调递增,从而得出函数在区间上的最大值为与最小值为，求出其函数值得最值.‎ ‎【详解】（1）函数在上增函数，证明如下： ‎ 设是上的任意两个实数，且，则 ‎．‎ ‎∵　，‎ ‎∴　，‎ ‎∴　，即，‎ ‎∴　函数在上为增函数． ‎ ‎(2)由（1）知函数在单调递增，所以 函数的最小值为，‎ 函数的最大值为．‎ 故得解.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性的定义,单调性的证明以及运用函数单调性求函数的最值，属于基础题..‎ ‎21.设函数f（x）＝x2﹣3x ‎（1）若不等式f（x）≥m对任意x∈[0，1]恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当m取最大值时，设x＞0，y＞0且2x+4y+m＝0，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) m≤﹣2;(2) 3+2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分析函数f（x）＝x2﹣3x在[0，1]上的单调性，进而求出函数的最小值，可得实数m的取值范围；‎ ‎（2）由（1）得：m＝﹣2，即x+2y＝1，利用基本不等式，可得的最小值．‎ ‎【详解】解：（1）函数f（x）＝x2﹣3x的图象是开口朝上，且以直线x为对称轴的抛物线，‎ 故函数f（x）＝x2﹣3x在[0，1]上单调递减，‎ 当x＝1时，函数取最小值﹣2，‎ 若不等式f（x）≥m对任意x∈[0，1]恒成立，‎ 则m≤﹣2；‎ ‎（2）由（1）得：m＝﹣2，‎ 即2x+4y＝2，即x+2y＝1‎ 由x＞0，y＞0‎ 故（）（x+2y）＝33+23+2‎ 即的最小值为3+2．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．‎ ‎22.设函数，是定义域为的奇函数．‎ ‎（1）确定的值；‎ ‎（2）若，函数，，求的最小值；‎ ‎（3）若，是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1） ；（2）；（3）存在，．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可知，，代入函数解析式即可求出的值；‎ ‎（2）根据已知条件得，运用换元法令，得函数,结合二次函数的图象与性质即可求出最小值；‎ ‎（3）由题意，将问题转化为在恒成立，‎ ‎【详解】解：（1）是定义域为R上奇函数，‎ ‎ ，得，，经验证符合题意，‎ ‎．‎ ‎（2）由（1）可知，，又 ‎，即 或（舍去），, ‎ ‎，‎ 令，在是增函数，得 ，‎ 则,函数对称轴 可知时，有最小值.‎ ‎（3）存在 理由如下：，， ，‎ 则对恒成立， ‎ 所以，‎ 设 易证在上是减函数，当 时最小值，‎ 即时，的最小值为，‎ 所以，，‎ ‎∵是正整数，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的性质，考查运用构造函数法和换元法求解函数的最值和不等式恒成立问题的方法，考查转化思想和计算能力.‎ ‎ ‎