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文档介绍
数学卷·2018届山东省济宁市曲阜师大附中高二上学期第一次质检数学试卷 (解析版)
2016-2017学年山东省济宁市曲阜师大附中高二(上)第一次质检数学试卷 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值是( ) A.0 B. C. D.﹣ 2.已知等比数列{an}满足:a2=2,a5=,则公比q为( ) A.﹣ B. C.﹣2 D.2 3.在△ABC中,已知a=,b=,A=30°,则c等于( ) A. B. C.或 D.以上都不对 4.在△ABC中,A=120°,b=1,△ABC的面积为,则=( ) A. B. C. D. 5.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a1,a7=﹣2,则a9=( ) A.﹣6 B.﹣4 C.﹣2 D.2 6.在等比数列{an}中,若a4a6a8a10a12=32,则的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 7.在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n项和Sn取得最大值时的自然数n的值为( ) A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.不存在 8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2﹣b2)tanB=ac,则角B的值为( ) A. B. C.或 D.或 9.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=( ) A.16(1﹣4﹣n) B.16(1﹣2﹣n) C.(1﹣4﹣n) D.(1﹣2﹣n) 10.已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+2n,那么a2017的值是( ) A.20162 B.2014×2015 C.2015×2016 D.2016×2017 11.若,α是第三象限的角,则=( ) A. B. C.2 D.﹣2 12.已知D、C、B三点在地面同一直线上,DC=a,从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β(α>β),则A点离地面的高AB等于( ) A. B. C. D. 二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置上.) 13.在△ABC中,若sinAcosA=sinBcosB,则△ABC形状为 . 14.数列{an}的前n项和Sn=3n2﹣2n,则它的通项公式是 . 15.﹣的值是 . 16.设{an}为等比数列,下列命题正确的有 (写出所有正确命题的序号) ①设,则 {bn}为等比数列; ②若an>0,设cn=lnan,则 {cn}为等差数列; ③设{an}前n项和为Sn,则Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n成等比数列; ④设{an}前n项积为Tn,则. 三、解答题:(本大题共6小题,共74分.) 17.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列. (Ⅰ)求cosB的值; (Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值. 18.已知f(x)=4cosxsin(x+)﹣1. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求f(x)在区间[﹣,]上的最大值和最小值. 19.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求{bn}的前n项和. 20.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b. (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积. 21.已知等差数列{an}中,公差d>0,又a2•a3=15,a1+a4=8. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记数列bn=an•2n,数列{bn}的前n项和记为Sn,求Sn. 22.Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3 (I)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和. 2016-2017学年山东省济宁市曲阜师大附中高二(上)第一次质检数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值是( ) A.0 B. C. D.﹣ 【考点】两角和与差的余弦函数. 【分析】由两角和的余弦公式的逆用,再由特殊角的三角函数值,即可得到. 【解答】解:cos75°•cos15°﹣sin75°sin15° =cos(75°+15°) =cos90°=0. 故选A. 2.已知等比数列{an}满足:a2=2,a5=,则公比q为( ) A.﹣ B. C.﹣2 D.2 【考点】等比数列的通项公式. 【分析】利用等比数列通项公式求解. 【解答】解:∵等比数列{an}满足:a2=2,a5=, ∴2q3=, 解得q=. 故选:B. 3.在△ABC中,已知a=,b=,A=30°,则c等于( ) A. B. C.或 D.以上都不对 【考点】正弦定理. 【分析】由a,b及cosA的值,利用余弦定理即可列出关于c的一元二次方程,求出方程的解即可得到c的值. 【解答】解:由,利用余弦定理得: =+c2﹣2c×,即c2﹣3c+10=0, 因式分解得:(c﹣2)(c﹣)=0,解得:c=2或. 故选C 4.在△ABC中,A=120°,b=1,△ABC的面积为,则=( ) A. B. C. D. 【考点】正弦定理的应用. 【分析】根据三角形的面积公式,由A的度数,b的值和面积的值即可求出c的值,然后利用余弦定理,由A的度数,a与c的值即可求出a的值,利用正弦定理得到所求的式子等于a比sinA,把a的值和sinA的值代入即可求出值. 【解答】解:由A=120°,b=1,面积为, 得到S=bcsinA=c•=,解得c=4, 根据余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16+4=21,解得a=, 根据正弦定理得: ==, 则===2. 故选D. 5.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a1,a7=﹣2,则a9=( ) A.﹣6 B.﹣4 C.﹣2 D.2 【考点】等差数列的性质. 【分析】设出等差数列的公差,由题意列式求得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,由S8=4a1,a7=﹣2,得 ,解得:, ∴a9=a1+8d=﹣14+8×2=2. 故选:D. 6.在等比数列{an}中,若a4a6a8a10a12=32,则的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【考点】等比数列的性质. 【分析】根据等比数列的性质可得a4a12=a6a10=a82,化简已知的等式,求出a8的值,再根据等比数列的性质得a8•a12=a102,变形可得所求式子的值. 【解答】解:∵a4a6a8a10a12=a85=32, ∴a8=2,又a8•a12=a102, 则=a8=2. 故选:C. 7.在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n项和Sn取得最大值时的自然数n的值为( ) A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.不存在 【考点】等差数列的前n项和;数列的函数特性. 【分析】根据|a3|=|a9|,可两端平方,得到首项a1与公差d的关系,从而可求得通项公式an,利用即可求得前n项和Sn取得最大值时的自然数n 的值. 【解答】解:根据题意可得a32=a92即(a1+2d)2=(a1+8d)2,∴a1=﹣5d,∴an=(n﹣6)d(d<0), 由解得5≤n≤6. 故选B. 8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2﹣b2)tanB=ac,则角B的值为( ) A. B. C.或 D.或 【考点】余弦定理的应用. 【分析】通过余弦定理及,求的sinB的值,又因在三角形内,进而求出B. 【解答】解:由 ∴,即 ∴,又在△中所以B为或 故选D 9.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=( ) A.16(1﹣4﹣n) B.16(1﹣2﹣n) C.(1﹣4﹣n) D.(1﹣2﹣n) 【考点】等比数列的前n项和. 【分析】首先根据a2和a5求出公比q,根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列,且首项是a1a2=8,公比为.进而根据等比数列求和公式可得出答案. 【解答】解:由,解得. 数列{anan+1}仍是等比数列:其首项是a1a2=8,公比为, 所以, 故选:C. 10.已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+2n,那么a2017的值是( ) A.20162 B.2014×2015 C.2015×2016 D.2016×2017 【考点】数列递推式. 【分析】由已知条件,利用累加法以及等差数列求和能求出a2017. 【解答】解:∵数列{an}满足a1=0,an+1=an+2n, ∴an+1﹣an=2n, ∴a2017=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a2017﹣a2016 =0+2+4+…+2016×2 = =2016×2017. 故选:D. 11.若,α是第三象限的角,则=( ) A. B. C.2 D.﹣2 【考点】半角的三角函数;弦切互化. 【分析】将欲求式中的正切化成正余弦,还要注意条件中的角α与待求式中角的差别,注意消除它们之间的不同. 【解答】解:由,α是第三象限的角, ∴可得, 则, 应选A. 12.已知D、C、B三点在地面同一直线上,DC=a,从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β(α>β),则A点离地面的高AB等于( ) A. B. C. D. 【考点】解三角形的实际应用. 【分析】先分别在直角三角形中表示出DB,BC,根据DC=DB﹣BC列等式求得AB. 【解答】解:依题意知,BC=,BD=, ∴DC=DB﹣BC=AB(﹣)=a, ∴AB=, 故选:A. 二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置上.) 13.在△ABC中,若sinAcosA=sinBcosB,则△ABC形状为 等腰或直角三角形 . 【考点】三角形的形状判断. 【分析】已知等式两边利用二倍角的正弦函数公式化简得到sin2A=sin2B,确定出A与B的关系,即可做出判断. 【解答】解:∵在△ABC中,A,B,C为内角,且sinAcosA=sinBcosB, ∴sin2A=sin2B,即sin2A=sin2B, ∴2A+2B=180°或2A=2B, 整理得:A+B=90°或A=B, 则△ABC为等腰或直角三角形. 故答案为:等腰或直角三角形. 14.数列{an}的前n项和Sn=3n2﹣2n,则它的通项公式是 an=6n﹣5 . 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】由给出的数列的前n项和公式,分n=1和n≥2分类求解,然后验证n≥时的通项公式是否满足a1即可. 【解答】解:由数列{an}的前n项和Sn=3n2﹣2n, 当n=1时,; 当n≥2时, =6n﹣5. 当n=1时an=6n﹣5成立. ∴数列{an}的通项公式是an=6n﹣5. 故答案为:an=6n﹣5. 15.﹣的值是 4 . 【考点】三角函数的化简求值. 【分析】通分后,根据特殊角的三角函数值及三角函数恒等变换的应用化简即可. 【解答】解:﹣====4. 故答案为:4. 16.设{an}为等比数列,下列命题正确的有 ①②④ (写出所有正确命题的序号) ①设,则 {bn}为等比数列; ②若an>0,设cn=lnan,则 {cn}为等差数列; ③设{an}前n项和为Sn,则Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n成等比数列; ④设{an}前n项积为Tn,则. 【考点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和. 【分析】由等比数列的通项公式和求和公式,逐个选项验证即可. 【解答】解:①设等比数列{an}的公比为q,, 则==()2=q2,为常数 ∴{bn}是公比为q2的等比数列,正确; ②当an>0,cn=lnan时,cn+1﹣cn =lnan+1﹣lnan=ln=lnq,为常数 ∴{an}是公差为lnq的等差数列,正确; ③举反例an=(﹣1)n,则S2=0,显然不能成等比数列,错误; ④设{an}前n项积为Tn,则Tn=a1a2a3…an, ∴Tn2=(a1a2a3…an)2=[]2=(a1an)n,正确. 故答案为:①②④ 三、解答题:(本大题共6小题,共74分.) 17.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列. (Ⅰ)求cosB的值; (Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值. 【考点】数列与三角函数的综合. 【分析】(Ⅰ)在△ABC中,由角A,B,C成等差数列可知B=60°,从而可得cosB的值; (Ⅱ)(解法一),由b2=ac,cosB=,结合正弦定理可求得sinAsinC的值; (解法二),由b2=ac,cosB=,根据余弦定理cosB=可求得a=c,从而可得△ABC为等边三角形,从而可求得sinAsinC的值. 【解答】解:(Ⅰ)由2B=A+C,A+B+C=180°,解得B=60°, ∴cosB=;…6分 (Ⅱ)(解法一) 由已知b2=ac,根据正弦定理得sin2B=sinAsinC, 又cosB=, ∴sinAsinC=1﹣cos2B=…12分 (解法二) 由已知b2=ac及cosB=, 根据余弦定理cosB=解得a=c, ∴B=A=C=60°, ∴sinAsinC=…12分 18.已知f(x)=4cosxsin(x+)﹣1. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求f(x)在区间[﹣,]上的最大值和最小值. 【考点】三角函数的周期性及其求法;两角和与差的余弦函数;三角函数的最值. 【分析】(Ⅰ)利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后,利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期. (Ⅱ)利用x的范围确定2x+的范围,进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值. 【解答】解:(Ⅰ)∵, =4cosx()﹣1 =sin2x+2cos2x﹣1 =sin2x+cos2x =2sin(2x+), 所以函数的最小正周期为π; (Ⅱ)∵﹣≤x≤, ∴﹣≤2x+≤, ∴当2x+=,即x=时,f(x)取最大值2, 当2x+=﹣时,即x=﹣时,f(x)取得最小值﹣1. 19.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求{bn}的前n项和. 【考点】数列递推式. 【分析】(Ⅰ)令n=1,可得a1=2,结合{an}是公差为3的等差数列,可得{an}的通项公式; (Ⅱ)由(1)可得:数列{bn}是以1为首项,以为公比的等比数列,进而可得:{bn}的前n项和. 【解答】解:(Ⅰ)∵anbn+1+bn+1=nbn. 当n=1时,a1b2+b2=b1. ∵b1=1,b2=, ∴a1=2, 又∵{an}是公差为3的等差数列, ∴an=3n﹣1, (Ⅱ)由(I)知:(3n﹣1)bn+1+bn+1=nbn. 即3bn+1=bn. 即数列{bn}是以1为首项,以为公比的等比数列, ∴{bn}的前n项和Sn==(1﹣3﹣n)=﹣. 20.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b. (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】(Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式,求出sinA的值,由A为锐角,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数; (Ⅱ)由余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将a,b+c及cosA的值代入求出bc的值,再由sinA的值,利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积. 【解答】解:(Ⅰ)由2asinB=b,利用正弦定理得:2sinAsinB=sinB, ∵sinB≠0,∴sinA=, 又A为锐角, 则A=; (Ⅱ)由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bc•cosA,即36=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc=64﹣3bc, ∴bc=,又sinA=, 则S△ABC=bcsinA=. 21.已知等差数列{an}中,公差d>0,又a2•a3=15,a1+a4=8. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记数列bn=an•2n,数列{bn}的前n项和记为Sn,求Sn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】(I)利用等差数列的通项公式即可得出. (II)bn=an•2n=(2n﹣1)•2n.利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出. 【解答】解:(Ⅰ)由题意得,解方程组得:或,又d>0,∴, ∴d=2,∴an=2n﹣1. (Ⅱ)bn=an•2n=(2n﹣1)•2n. , 则, 两式错位相减得: ==﹣6+(3﹣2n)•2n+1, ∴. 22.Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3 (I)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】(I)通过an2+2an=4Sn+3与an+12+2an+1=4Sn+1+3作差可知an+1﹣an=2,进而可知数列{an}是以3为首项、2为公差的等差数列,计算即得结论; (Ⅱ)通过(I)可知an=2n+1,裂项可知bn=(﹣),并项相加即得结论. 【解答】解:(I)∵an2+2an=4Sn+3, ∴an+12+2an+1=4Sn+1+3, 两式相减得:an+12﹣an2+2an+1﹣2an=4an+1, 整理得:an+12﹣an2=2(an+1+an), 又∵an>0, ∴an+1﹣an=2, 又∵a12+2a1=4a1+3, ∴a1=3或a1=﹣1(舍), ∴数列{an}是以3为首项、2为公差的等差数列, ∴an=3+2(n﹣1)=2n+1; (Ⅱ)由(I)可知an=2n+1, ∴bn===(﹣), ∴数列{bn}的前n项和为:(﹣+﹣+…+﹣) =(﹣) =•. 查看更多