数学卷·2018届山东省济宁市曲阜师大附中高二上学期第一次质检数学试卷 (解析版)

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数学卷·2018届山东省济宁市曲阜师大附中高二上学期第一次质检数学试卷 (解析版)

‎2016-2017学年山东省济宁市曲阜师大附中高二(上)第一次质检数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值是(  )‎ A.0 B. C. D.﹣‎ ‎2.已知等比数列{an}满足:a2=2,a5=,则公比q为(  )‎ A.﹣ B. C.﹣2 D.2‎ ‎3.在△ABC中,已知a=,b=,A=30°,则c等于(  )‎ A. B. C.或 D.以上都不对 ‎4.在△ABC中,A=120°,b=1,△ABC的面积为,则=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a1,a7=﹣2,则a9=(  )‎ A.﹣6 B.﹣4 C.﹣2 D.2‎ ‎6.在等比数列{an}中,若a4a6a8a10a12=32,则的值为(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎7.在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n项和Sn取得最大值时的自然数n的值为(  )‎ A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.不存在 ‎8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2﹣b2)tanB=ac,则角B的值为(  )‎ A. B. C.或 D.或 ‎9.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=(  )‎ A.16(1﹣4﹣n) B.16(1﹣2﹣n) C.(1﹣4﹣n) D.(1﹣2﹣n)‎ ‎10.已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+2n,那么a2017的值是(  )‎ A.20162 B.2014×2015 C.2015×2016 D.2016×2017‎ ‎11.若,α是第三象限的角,则=(  )‎ A. B. C.2 D.﹣2‎ ‎12.已知D、C、B三点在地面同一直线上,DC=a,从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β(α>β),则A点离地面的高AB等于(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置上.)‎ ‎13.在△ABC中,若sinAcosA=sinBcosB,则△ABC形状为  .‎ ‎14.数列{an}的前n项和Sn=3n2﹣2n,则它的通项公式是  .‎ ‎15.﹣的值是  .‎ ‎16.设{an}为等比数列,下列命题正确的有  (写出所有正确命题的序号)‎ ‎①设,则 {bn}为等比数列;‎ ‎②若an>0,设cn=lnan,则 {cn}为等差数列;‎ ‎③设{an}前n项和为Sn,则Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n成等比数列;‎ ‎④设{an}前n项积为Tn,则.‎ ‎ ‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共74分.)‎ ‎17.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求cosB的值;‎ ‎(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值.‎ ‎18.已知f(x)=4cosxsin(x+)﹣1.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)在区间[﹣,]上的最大值和最小值.‎ ‎19.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求{bn}的前n项和.‎ ‎20.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.‎ ‎(Ⅰ)求角A的大小;‎ ‎(Ⅱ)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.‎ ‎21.已知等差数列{an}中,公差d>0,又a2•a3=15,a1+a4=8.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记数列bn=an•2n,数列{bn}的前n项和记为Sn,求Sn.‎ ‎22.Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3‎ ‎(I)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年山东省济宁市曲阜师大附中高二(上)第一次质检数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值是(  )‎ A.0 B. C. D.﹣‎ ‎【考点】两角和与差的余弦函数.‎ ‎【分析】由两角和的余弦公式的逆用,再由特殊角的三角函数值,即可得到.‎ ‎【解答】解:cos75°•cos15°﹣sin75°sin15°‎ ‎=cos(75°+15°)‎ ‎=cos90°=0.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎2.已知等比数列{an}满足:a2=2,a5=,则公比q为(  )‎ A.﹣ B. C.﹣2 D.2‎ ‎【考点】等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】利用等比数列通项公式求解.‎ ‎【解答】解:∵等比数列{an}满足:a2=2,a5=,‎ ‎∴2q3=,‎ 解得q=.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.在△ABC中,已知a=,b=,A=30°,则c等于(  )‎ A. B. C.或 D.以上都不对 ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】由a,b及cosA的值,利用余弦定理即可列出关于c的一元二次方程,求出方程的解即可得到c的值.‎ ‎【解答】解:由,利用余弦定理得:‎ ‎=+c2﹣2c×,即c2﹣3c+10=0,‎ 因式分解得:(c﹣2)(c﹣)=0,解得:c=2或.‎ 故选C ‎ ‎ ‎4.在△ABC中,A=120°,b=1,△ABC的面积为,则=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】正弦定理的应用.‎ ‎【分析】根据三角形的面积公式,由A的度数,b的值和面积的值即可求出c的值,然后利用余弦定理,由A的度数,a与c的值即可求出a的值,利用正弦定理得到所求的式子等于a比sinA,把a的值和sinA的值代入即可求出值.‎ ‎【解答】解:由A=120°,b=1,面积为,‎ 得到S=bcsinA=c•=,解得c=4,‎ 根据余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16+4=21,解得a=,‎ 根据正弦定理得: ==,‎ 则===2.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎5.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a1,a7=﹣2,则a9=(  )‎ A.﹣6 B.﹣4 C.﹣2 D.2‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】设出等差数列的公差,由题意列式求得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案.‎ ‎【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,由S8=4a1,a7=﹣2,得 ‎,解得:,‎ ‎∴a9=a1+8d=﹣14+8×2=2.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.在等比数列{an}中,若a4a6a8a10a12=32,则的值为(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【考点】等比数列的性质.‎ ‎【分析】根据等比数列的性质可得a4a12=a6a10=a82,化简已知的等式,求出a8的值,再根据等比数列的性质得a8•a12=a102,变形可得所求式子的值.‎ ‎【解答】解:∵a4a6a8a10a12=a85=32,‎ ‎∴a8=2,又a8•a12=a102,‎ 则=a8=2.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n项和Sn取得最大值时的自然数n的值为(  )‎ A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.不存在 ‎【考点】等差数列的前n项和;数列的函数特性.‎ ‎【分析】根据|a3|=|a9|,可两端平方,得到首项a1与公差d的关系,从而可求得通项公式an,利用即可求得前n项和Sn取得最大值时的自然数n 的值.‎ ‎【解答】解:根据题意可得a32=a92即(a1+2d)2=(a1+8d)2,∴a1=﹣5d,∴an=(n﹣6)d(d<0),‎ 由解得5≤n≤6.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2﹣b2)tanB=ac,则角B的值为(  )‎ A. B. C.或 D.或 ‎【考点】余弦定理的应用.‎ ‎【分析】通过余弦定理及,求的sinB的值,又因在三角形内,进而求出B.‎ ‎【解答】解:由 ‎∴,即 ‎∴,又在△中所以B为或 故选D ‎ ‎ ‎9.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=(  )‎ A.16(1﹣4﹣n) B.16(1﹣2﹣n) C.(1﹣4﹣n) D.(1﹣2﹣n)‎ ‎【考点】等比数列的前n项和.‎ ‎【分析】首先根据a2和a5求出公比q,根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列,且首项是a1a2=8,公比为.进而根据等比数列求和公式可得出答案.‎ ‎【解答】解:由,解得.‎ 数列{anan+1}仍是等比数列:其首项是a1a2=8,公比为,‎ 所以,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+2n,那么a2017的值是(  )‎ A.20162 B.2014×2015 C.2015×2016 D.2016×2017‎ ‎【考点】数列递推式.‎ ‎【分析】由已知条件,利用累加法以及等差数列求和能求出a2017.‎ ‎【解答】解:∵数列{an}满足a1=0,an+1=an+2n,‎ ‎∴an+1﹣an=2n,‎ ‎∴a2017=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a2017﹣a2016‎ ‎=0+2+4+…+2016×2‎ ‎=‎ ‎=2016×2017.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎11.若,α是第三象限的角,则=(  )‎ A. B. C.2 D.﹣2‎ ‎【考点】半角的三角函数;弦切互化.‎ ‎【分析】将欲求式中的正切化成正余弦,还要注意条件中的角α与待求式中角的差别,注意消除它们之间的不同.‎ ‎【解答】解:由,α是第三象限的角,‎ ‎∴可得,‎ 则,‎ 应选A.‎ ‎ ‎ ‎12.已知D、C、B三点在地面同一直线上,DC=a,从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β(α>β),则A点离地面的高AB等于(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【考点】解三角形的实际应用.‎ ‎【分析】先分别在直角三角形中表示出DB,BC,根据DC=DB﹣BC列等式求得AB.‎ ‎【解答】解:依题意知,BC=,BD=,‎ ‎∴DC=DB﹣BC=AB(﹣)=a,‎ ‎∴AB=,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置上.)‎ ‎13.在△ABC中,若sinAcosA=sinBcosB,则△ABC形状为 等腰或直角三角形 .‎ ‎【考点】三角形的形状判断.‎ ‎【分析】已知等式两边利用二倍角的正弦函数公式化简得到sin2A=sin2B,确定出A与B的关系,即可做出判断.‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,A,B,C为内角,且sinAcosA=sinBcosB,‎ ‎∴sin2A=sin2B,即sin2A=sin2B,‎ ‎∴2A+2B=180°或2A=2B,‎ 整理得:A+B=90°或A=B,‎ 则△ABC为等腰或直角三角形.‎ 故答案为:等腰或直角三角形.‎ ‎ ‎ ‎14.数列{an}的前n项和Sn=3n2﹣2n,则它的通项公式是 an=6n﹣5 .‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】由给出的数列的前n项和公式,分n=1和n≥2分类求解,然后验证n≥时的通项公式是否满足a1即可.‎ ‎【解答】解:由数列{an}的前n项和Sn=3n2﹣2n,‎ 当n=1时,;‎ 当n≥2时, =6n﹣5.‎ 当n=1时an=6n﹣5成立.‎ ‎∴数列{an}的通项公式是an=6n﹣5.‎ 故答案为:an=6n﹣5.‎ ‎ ‎ ‎15.﹣的值是 4 .‎ ‎【考点】三角函数的化简求值.‎ ‎【分析】通分后,根据特殊角的三角函数值及三角函数恒等变换的应用化简即可.‎ ‎【解答】解:﹣====4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎16.设{an}为等比数列,下列命题正确的有 ①②④ (写出所有正确命题的序号)‎ ‎①设,则 {bn}为等比数列;‎ ‎②若an>0,设cn=lnan,则 {cn}为等差数列;‎ ‎③设{an}前n项和为Sn,则Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n成等比数列;‎ ‎④设{an}前n项积为Tn,则.‎ ‎【考点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和.‎ ‎【分析】由等比数列的通项公式和求和公式,逐个选项验证即可.‎ ‎【解答】解:①设等比数列{an}的公比为q,,‎ 则==()2=q2,为常数 ‎∴{bn}是公比为q2的等比数列,正确;‎ ‎②当an>0,cn=lnan时,cn+1﹣cn ‎=lnan+1﹣lnan=ln=lnq,为常数 ‎∴{an}是公差为lnq的等差数列,正确;‎ ‎③举反例an=(﹣1)n,则S2=0,显然不能成等比数列,错误;‎ ‎④设{an}前n项积为Tn,则Tn=a1a2a3…an,‎ ‎∴Tn2=(a1a2a3…an)2=[]2=(a1an)n,正确.‎ 故答案为:①②④‎ ‎ ‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共74分.)‎ ‎17.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求cosB的值;‎ ‎(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值.‎ ‎【考点】数列与三角函数的综合.‎ ‎【分析】(Ⅰ)在△ABC中,由角A,B,C成等差数列可知B=60°,从而可得cosB的值;‎ ‎(Ⅱ)(解法一),由b2=ac,cosB=,结合正弦定理可求得sinAsinC的值;‎ ‎(解法二),由b2=ac,cosB=,根据余弦定理cosB=可求得a=c,从而可得△ABC为等边三角形,从而可求得sinAsinC的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由2B=A+C,A+B+C=180°,解得B=60°,‎ ‎∴cosB=;…6分 ‎(Ⅱ)(解法一)‎ 由已知b2=ac,根据正弦定理得sin2B=sinAsinC,‎ 又cosB=,‎ ‎∴sinAsinC=1﹣cos2B=…12分 ‎(解法二)‎ 由已知b2=ac及cosB=,‎ 根据余弦定理cosB=解得a=c,‎ ‎∴B=A=C=60°,‎ ‎∴sinAsinC=…12分 ‎ ‎ ‎18.已知f(x)=4cosxsin(x+)﹣1.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)在区间[﹣,]上的最大值和最小值.‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法;两角和与差的余弦函数;三角函数的最值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后,利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期.‎ ‎(Ⅱ)利用x的范围确定2x+的范围,进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵,‎ ‎=4cosx()﹣1‎ ‎=sin2x+2cos2x﹣1‎ ‎=sin2x+cos2x ‎=2sin(2x+),‎ 所以函数的最小正周期为π;‎ ‎(Ⅱ)∵﹣≤x≤,‎ ‎∴﹣≤2x+≤,‎ ‎∴当2x+=,即x=时,f(x)取最大值2,‎ 当2x+=﹣时,即x=﹣时,f(x)取得最小值﹣1.‎ ‎ ‎ ‎19.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求{bn}的前n项和.‎ ‎【考点】数列递推式.‎ ‎【分析】(Ⅰ)令n=1,可得a1=2,结合{an}是公差为3的等差数列,可得{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)由(1)可得:数列{bn}是以1为首项,以为公比的等比数列,进而可得:{bn}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵anbn+1+bn+1=nbn.‎ 当n=1时,a1b2+b2=b1.‎ ‎∵b1=1,b2=,‎ ‎∴a1=2,‎ 又∵{an}是公差为3的等差数列,‎ ‎∴an=3n﹣1,‎ ‎(Ⅱ)由(I)知:(3n﹣1)bn+1+bn+1=nbn.‎ 即3bn+1=bn.‎ 即数列{bn}是以1为首项,以为公比的等比数列,‎ ‎∴{bn}的前n项和Sn==(1﹣3﹣n)=﹣.‎ ‎ ‎ ‎20.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.‎ ‎(Ⅰ)求角A的大小;‎ ‎(Ⅱ)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.‎ ‎【考点】正弦定理;余弦定理.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式,求出sinA的值,由A为锐角,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数;‎ ‎(Ⅱ)由余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将a,b+c及cosA的值代入求出bc的值,再由sinA的值,利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由2asinB=b,利用正弦定理得:2sinAsinB=sinB,‎ ‎∵sinB≠0,∴sinA=,‎ 又A为锐角,‎ 则A=;‎ ‎(Ⅱ)由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bc•cosA,即36=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc=64﹣3bc,‎ ‎∴bc=,又sinA=,‎ 则S△ABC=bcsinA=.‎ ‎ ‎ ‎21.已知等差数列{an}中,公差d>0,又a2•a3=15,a1+a4=8.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记数列bn=an•2n,数列{bn}的前n项和记为Sn,求Sn.‎ ‎【考点】数列的求和;数列递推式.‎ ‎【分析】(I)利用等差数列的通项公式即可得出.‎ ‎(II)bn=an•2n=(2n﹣1)•2n.利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意得,解方程组得:或,又d>0,∴,‎ ‎∴d=2,∴an=2n﹣1.‎ ‎(Ⅱ)bn=an•2n=(2n﹣1)•2n.‎ ‎,‎ 则,‎ 两式错位相减得:‎ ‎==﹣6+(3﹣2n)•2n+1,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎22.Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3‎ ‎(I)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和.‎ ‎【考点】数列的求和;数列递推式.‎ ‎【分析】(I)通过an2+2an=4Sn+3与an+12+2an+1=4Sn+1+3作差可知an+1﹣an=2,进而可知数列{an}是以3为首项、2为公差的等差数列,计算即得结论;‎ ‎(Ⅱ)通过(I)可知an=2n+1,裂项可知bn=(﹣),并项相加即得结论.‎ ‎【解答】解:(I)∵an2+2an=4Sn+3,‎ ‎∴an+12+2an+1=4Sn+1+3,‎ 两式相减得:an+12﹣an2+2an+1﹣2an=4an+1,‎ 整理得:an+12﹣an2=2(an+1+an),‎ 又∵an>0,‎ ‎∴an+1﹣an=2,‎ 又∵a12+2a1=4a1+3,‎ ‎∴a1=3或a1=﹣1(舍),‎ ‎∴数列{an}是以3为首项、2为公差的等差数列,‎ ‎∴an=3+2(n﹣1)=2n+1;‎ ‎(Ⅱ)由(I)可知an=2n+1,‎ ‎∴bn===(﹣),‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为:(﹣+﹣+…+﹣)‎ ‎=(﹣)‎ ‎=•.‎ ‎ ‎
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