数学理卷·2018届河南省信阳市高二上学期期末教学质量监测（2017-01）

数学理卷·2018届河南省信阳市高二上学期期末教学质量监测（2017-01）

信阳市2016—2017学年普通高中高二上期期末教学质量监测 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎2.抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ）‎ A． B． C.或 D．或 ‎5.已知正数，,满足，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知各项均不为零的数列满足，且，记是数列的前项和，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知命题，命题，若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.如图，已知四边形是圆内接四边形，且，，.现有以下结论：‎ ‎①，两点间的距离为；‎ ‎②是该圆的一条直径；‎ ‎③；‎ ‎④四边形的面积.‎ 其中正确结论的个数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的一条渐近线上，且，若的面积为，且双曲线与双曲线的离心率相同，则双曲线的实轴长为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知梯形如图所示，其中，，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图所示的几何体.已知当点满足时，平面平面，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，则 ．‎ ‎14.当时，一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎15.在中，若，则的最小值为 ．‎ ‎16.已知实数，满足若有最大值，则实数的值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点.‎ ‎（Ⅰ）求与所成角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的余弦值.‎ ‎18. 已知数列满足，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式以及数列的前项和的表达式；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎19. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的面积.‎ ‎20. 已知直棱柱中，，是线段的中点，连接，，，，，得到的图形如图所示.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小.‎ ‎21. 已知椭圆过点，且离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若点，是椭圆上的两点，且，点，证明：不可能为等边三角形.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 在直角坐标系上，圆的方程为.‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），为直线的倾斜角，与交于，两点，且，求的斜率.‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数，当时，，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:DBCDB 6-10:CADAC 11、12：BC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.‎ ‎（Ⅰ）易知，.‎ 所以.‎ 故与所成的角的大小为.‎ ‎（Ⅱ）易知，为平面的一个法向量.设与平面所成的角为，则.‎ 所以，即与平面所成角的余弦值为.‎ ‎18.（Ⅰ）因为，所以由可求得.‎ 因为，所以，‎ 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.‎ 所以，即.‎ 故.‎ ‎（Ⅱ）依题意，，即对恒成立.‎ 设，则因为数列单调递减，所以.‎ 综上，可得.‎ 故所求实数的取值范围是.‎ ‎19.（Ⅰ）因为，‎ 所以由正弦定理得.‎ 又，故.‎ ‎（Ⅱ）因为，即，又，，‎ 所以由余弦定理可得，‎ 整理得.解得（其中负值已舍）.‎ 故的面积为.‎ ‎20.（Ⅰ）因为，所以，所以.‎ 由正棱柱，得平面，所以.‎ 又因为，所以平面，所以.‎ 由直棱柱及，可得四边形为正方形，所以.‎ 又因为，故平面.‎ ‎（Ⅱ）如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.‎ 不妨设，则点，，，，，‎ 所以向量，，.‎ 由（Ⅰ）知，平面.‎ 又，‎ 所以可取平面的一个法向量.‎ 设平面的一个法向量，‎ 则由得 令，则，，所以可取.‎ 于是，.‎ 又结合图形可知，二面角为锐二面角，‎ 所以该二面角的余弦值为.‎ 故所求二面角的大小为.‎ ‎21.（Ⅰ）依题意，，，，三式联立解得，.‎ 故椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）依题意易知，直线的斜率存在且非零，所以可设直线.‎ 联立消去得：.‎ 由，化简得.‎ 设线段的中点为，则因为，，所以点.‎ 假设为等边三角形，则因为，所以，‎ 即，化简.‎ 由②得，代入①得.‎ 化简得.这显然不成立.‎ 故不可能为等边三角形.‎ ‎22.（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ 设，所对应的极径分别为，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.‎ 于是，.‎ ‎.‎ 由得，.‎ 所以的斜率为或.‎ ‎23.（Ⅰ）当时，.‎ 解不等式得.‎ 因此的解集为.‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ ‎，‎ 当在与之间时等号成立，所以当时，等价于.①‎ 当时，①等价于，无解.‎ 当时，①等价于，解得.‎ 所以的取值范围是.‎