数学理卷·2019届北京市西城区高二第一学期期末考试试卷（2018-01）

数学理卷·2019届北京市西城区高二第一学期期末考试试卷（2018-01）

北京市西城区2017— 2018学年度第一学期期末试卷 ‎ 高二数学（理科） 2018.1‎ 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 题号 一 二 三 本卷总分 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 分数 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.‎ ‎1. 直线的倾斜角为（ ）‎ ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2. 命题“对任意，都有”的否定是（　　）‎ ‎ （A）存在,使得 ‎（B）对任意,都有 ‎ （C）存在,使得 ‎ ‎（D）对任意,都有 ‎3. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）‎ ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎4. 设是两个不同的平面，是三条不同的直线，（ ）‎ ‎ （A）若，，则 ‎（B）若，，则 ‎ （C）若，，则 ‎（D）若，，则 ‎5. “” 是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）‎ ‎ （A）充分不必要条件 ‎（B）必要不充分条件 ‎ （C）充要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎6. 设是两个不同的平面，是一条直线，若，，，则（ ）‎ ‎ （A）与平行 ‎（B）与相交 ‎ （C）与异面 ‎（D）以上三个答案均有可能 ‎7. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线 上任意一点，是线段的中点，则直线的斜率的最大值为（ ）‎ ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎8. 设为空间中的一个平面，记正方体的八个顶点中到的距离为的点的个数为，的所有可能取值构成的集合为，则有（ ）‎ ‎ （A），‎ ‎（B），‎ ‎（C），‎ ‎（D），‎ ‎ ‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.‎ ‎9. 命题“若，则”的逆否命题为_______.‎ ‎10. 经过点且与直线垂直的直线方程为_______. ‎ 侧(左)视图 正(主)视图 俯视图 ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎11. 在中，，，. 以所在的直线为轴将旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为____.‎ ‎12. 若双曲线的一个焦点在直线上，一条渐近线与平行，且双曲线的焦点在轴上，则的标准方程为_______；离心率为_______.‎ ‎13. 一个四棱锥的三视图如右图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有_______个直角三角形. ‎ ‎14. 在平面直角坐标系中，曲线是由到两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的. 对于曲线，有下列四个结论：‎ ‎ 曲线是轴对称图形；‎ ‎ 曲线是中心对称图形；‎ ‎ 曲线上所有的点都在单位圆内；‎ ‎ 曲线上所有的点的纵坐标.‎ ‎ 其中，所有正确结论的序号是__________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 如图，在正三棱柱中，为的中点.‎ B A C A1 C1‎ B1‎ D ‎ （Ⅰ） 求证：平面；‎ ‎ （Ⅱ） 求证：平面.‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ ‎ 已知圆，其中.‎ ‎ （Ⅰ）如果圆与圆相外切，求的值；‎ ‎（Ⅱ）如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值.‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 如图，在四棱柱中，平面，，， ，， 为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求四棱锥的体积；‎ ‎（Ⅱ）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度；‎ A E C C1‎ B B1‎ D D1‎ ‎ A1‎ ‎（Ⅲ）判断线段上是否存在一点，使得？（结论不要求证明） ‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 设为抛物线的焦点，是抛物线上的两个动点，为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）若直线经过焦点，且斜率为2，求；‎ ‎ （Ⅱ）当时，证明：求的最小值. ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 如图，在四面体中，平面，，，‎ 为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证: ；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎（Ⅲ）求四面体的外接球的表面积.‎ C B D ‎ A M ‎（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球. 球的表面积）‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的一个焦点为，离心率为. 点为圆上任意一点，为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程； ‎ ‎（Ⅱ）记线段与椭圆交点为，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设直线经过点且与椭圆相切，与圆相交于另一点，点关于原点的对称点为，试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论. ‎ 北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准 ‎ 2018.1‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1. D ‎2. C ‎ ‎3. A ‎4. D ‎ ‎5. A ‎6. A ‎ ‎7. B ‎ ‎8. D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9. 若，则 ‎10. ‎ ‎11. ‎ ‎12. ，‎ ‎13. ‎ ‎14. 注：第12题第一空3分，第二空2分；第14题多选、少选或错选均不得分.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ ‎(Ⅰ)证明：因为正三棱柱，为的中点，‎ 所以，底面. …………………1分 又因为底面，‎ 所以. …………………3分 又因为，平面，平面，‎ 所以平面. …………………6分 ‎(Ⅱ)证明：如图，连接，设，连接， …………………7分 B A C A1 C1‎ B1‎ D O 由正三棱柱，得，‎ 又因为在中，，‎ 所以， …………………10分 又因为平面，平面，‎ 所以平面. …………………13分 ‎16.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：将圆的方程配方，得， …………………1分 ‎ 所以圆的圆心为，半径. …………………3分 ‎ 因为圆与圆相外切，‎ ‎ 所以两圆的圆心距等于其半径和，即，………5分 ‎ 解得. …………………7分 ‎（Ⅱ）解：圆的圆心到直线的距离. ………………9分 ‎ 因为直线与圆相交所得的弦长为，‎ ‎ 所以由垂径定理，可得， …………………11分 ‎ 解得. …………………13分 ‎17.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：因为平面，平面， ‎ ‎ 所以. ‎ ‎ 又因为，， ‎ ‎ 所以平面. …………………1分 ‎ 因为，‎ ‎ 所以四棱锥的体积 …………………2分 ‎ . ……………4分 ‎ ‎（Ⅱ）解：由平面，，可得，，两两垂直，所以分别以 ‎，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，…………5分 ‎ 则，，，，. ‎ ‎ 所以，，，.‎ 设平面的一个法向量为， ‎ ‎ 由，，得 ‎ 令，得. …………………7分 A E ‎ A1‎ C C1‎ B B1‎ ‎ D D1‎ x y z 设，其中，‎ ‎ 则， ‎ 记直线与平面所成角为，‎ 则， ‎ ‎ 解得（舍），或. ………………9分 ‎ 所以，‎ ‎ 故线段的长度为. …………………10分 ‎（Ⅲ）答：对于线段上任意一点，直线与直线都不平行. ……………13分 ‎ ‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：由题意，得，则直线的方程为. …………………2分 ‎ 由 消去，得. …………………3分 ‎ 设点，，‎ ‎ 则，且，， …………………4分 ‎ 所以. …………………6分 ‎（Ⅱ）解：因为是抛物线上的两点，所以设，，‎ ‎ 由，得， …………………8分 ‎ 所以，即.‎ ‎ 则点的坐标为. …………………10分 所以， …………………12分 ‎ 当且仅当时，等号成立.‎ ‎ 所以的最小值为. …………………13分 C ‎ D y A M B x z O E ‎19.（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：因为平面，平面，‎ ‎ 所以. …………………1分 ‎ 又因为，， ‎ ‎ 所以平面. …………………3分 ‎ 又因为平面，‎ ‎ 所以. …………………4分 ‎（Ⅱ） 解：如图，设的中点为，的中点为，连接，，‎ ‎ 因为平面，‎ ‎ 所以平面，‎ ‎ 由，且，可得，，两两垂直，所以分别以，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系， …………………5分 ‎ 则，，，，. ‎ ‎ 所以，，.‎ 设平面的一个法向量为， ‎ ‎ 由，，得 ‎ 令，得. …………………7分 设平面的一个法向量为， ‎ ‎ 由，，得 ‎ 令，得. …………………8分 ‎ 所以.‎ ‎ 由图可知，二面角的余弦值为. …………………10分 ‎（Ⅲ）解：根据（Ⅱ），记的中点为，‎ ‎ 由题意，为直角三角形，斜边，‎ ‎ 所以. …………………12分 ‎ 由（Ⅰ），得平面，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 在直角中，为斜边的中点， ‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以为四面体的外接球的球心，‎ ‎ 故四面体的外接球的表面积. …………………14分 ‎20.（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）解：由题意，知，， …………………1分 ‎ 所以，， …………………2分 ‎ 所以椭圆的标准方程为. …………………3分 ‎（Ⅱ）解：由题意，得. …………………4分 设，则.‎ ‎ 所以， …………………5分 ‎ 因为，‎ ‎ 所以当时，；当时，. …………………6分 ‎ 所以. …………………7分 ‎（Ⅲ）结论：直线与椭圆相切. …………………8分 ‎ 证明：由题意，点在圆上，且线段为圆的直径，‎ ‎ 所以.‎ 当直线轴时，易得直线的方程为， ‎ 由题意，得直线的方程为，‎ 显然直线与椭圆相切. ‎ 同理当直线轴时，直线也与椭圆相切. …………………9分 当直线与轴既不平行也不垂直时，‎ 设点，直线的斜率为，则，直线的斜率，‎ 所以直线：，直线：， …………10分 由 消去，‎ 得. ‎ ‎ 因为直线与椭圆相切，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 整理，得. （1） ……………12分 ‎ ‎ 同理，由直线与椭圆的方程联立，‎ ‎ 得. （2）‎ ‎ 因为点为圆上任意一点，‎ ‎ 所以，即.‎ ‎ 代入（1）式，得，‎ ‎ 代入（2）式，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 所以此时直线与椭圆相切. ‎ ‎ 综上，直线与椭圆相切. …………………14分