江苏省海安高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省海安高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

海安高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={x|1≤x≤4，x∈N}，B={x|5＜2x＜33，x∈N}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A. 5, B. C. D. ‎ 2. 已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（2+）∥（-2），则λ=（　　）‎ A. B. ‎0 ‎C. 1 D. 2‎ 3. 若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线-=1的渐近线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 函数的图象可能是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 已知，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 若正数a，b满足，的最小值为（　　）‎ A. 1 B. ‎6 ‎C. 9 D. 16‎ 7. ‎“a＜‎-2”‎是“∃x0∈R，asinx0+2＜‎0”‎的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 设椭圆与双曲线在第一象限的交点为T,,为其共同的左右的焦点,且,若椭圆和双曲线的离心率分别为,,则的取值范围为(    )‎ A. B. C. D. ‎ 10. 设集合A={（x，y）|（x-4）2+y2=1}，B={（x，y）|（x-t）2+（y-at+2）2=1}，如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ,‎ 11. 给出下列四个说法： ①命题“∀x＞0，都有”的否定是“∃x0≤0，使得”； ②已知a、b＞0，命题“若，则a＞b”的逆命题是真命题； ③x＞1是x2＞1的必要不充分条件； ④若x=x0为函数f（x）=x2+x+2lnx-e-x的零点，则x0+2lnx0=0 其中正确的个数为（　　）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ 1. 设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，且an=，若Sm＞999，则正整数m的最小值为（　　）‎ A. 15 B. ‎16 ‎C. 17 D. 14‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 2. 设x＞0，y＞0，x+2y=7，则的最小值为______．‎ 3. 已知等差数列{an}中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且a1-am=18，则数列{an}的通项公式为an= ______ ．‎ 4. 若抛物线x2=4y的顶点是抛物线上到点A（0，a）的距离最近的点，则实数a的取值范围是______．‎ 5. 不等式x6-（x+2）3+2x2-2x-4≤0的解集为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 6. 如图，在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点． 求证：（1）AB∥平面A1B‎1C； （2）平面C‎1CM⊥平面A1B‎1C． ‎ ‎ ‎ 7. 在△ABC中，角C为钝角，b=5，，． （1）求sinB的值； （2）求边c的长 ‎ 8. 习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，第一年每台设备的维修保养费用为1100元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益8100元． （1）每台充电桩第几年开始获利？ （2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．‎ ‎ ‎ 1. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点B（m，2）在抛物线C上，A（0，），且|BF|=2|AF|． （1）求抛物线C的标准方程； （2）过点P（1，2）作直线PM，PN分别交抛物线C于M，N两点，若直线PM，PN的倾斜角互补，求直线MN的斜率． ‎ 2. 已知正项数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=an2+an-2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn． （3）是否存在实数λ使得Tn+2＞λ•Sn对n∈N+恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在说明理由． ‎ 3. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x=2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q． （1）求椭圆C的方程； （2）若点P的坐标为（0，b），求过点P，Q，F2三点的圆的方程； （3）若=，且λ∈[]，求的最大值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5}， ∴∁UA={0，5}，（∁UA）∩B={5}． 故选：D． 可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可． 本题考查了列举法、描述法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】解：， ∵， ∴-3（3λ+4）+4（λ+3）=0，解得λ=0． 故选：B． 可以求出，根据即可得出-3（3λ+4）+4（λ+3）=0，解出λ即可． 考查向量坐标的加法、减法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为， 则=， 即有=， 则双曲线-=1的渐近线方程为y=x， 即有y=±x． 故选：A． 运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到． 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：函数是奇函数，所以排除选项B， 当x=2时，y=＞1，排除选项D． 当x=1时，y=＜1，排除A． 故选：C． 判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值对应点的坐标的位置判断选项即可． 本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性以及特殊函数值，是解题的关键，是中档题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵， ∴a=log52＜==0.5＜c=‎0.50.3‎＜0.50=1， b=log0.50.3=log＞log=log23＞log22=1， ∴a＜c＜b． 故选：B ‎． 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 本题考查三个数的大小的求法，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵正数a，b满足，∴a＞1，且b＞1； 变形为=1，∴ab=a+b，∴ab-a-b=0，∴（a-1）（b-1）=1，∴a-1=； ∴a-1＞0，∴=+9（a-1）≥2=6， 当且仅当=9（a-1），即a=1±时取“=”（由于a＞1，故取a=）， ∴的最小值为6； 故选：B． 正数a，b满足，可得a＞1，且b＞1；即a-1＞0，且b-1＞0；由变形为a-1=；化为+9（a-1）应用基本不等式可求最小值． 本题考查了基本不等式的灵活应用问题，应用基本不等式a+b≥2时，要注意条件a＞0，且b＞0，在a=b时取“=”． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】解：必要性：设f（x）=asinx+2，当a＞0时，f（x）∈[2-a，2+a]，∴2-a＜0，即a＞2； 当a＜0时，f（x）∈[2+a，2-a]，∴2+a＜0，即a＜-2． 故a＞2或a＜-2； 充分性：，当a＜-2时，asinx0+2＜0成立． ∴“a＜‎-2”‎是“∃x0∈R，asinx0+2＜‎0”‎的充分不必要条件． 故选：A． 设f（x）=asinx+2，分类求得函数的值域，由∃x0∈R，asinx0+2＜0求得a的范围，可知“a＜‎-2”‎是“∃x0∈R，asinx0+2＜‎0”‎的不必要条件；取，当a＜-2时，asinx0+2＜0成立，说明“a＜‎-2”‎是“∃x0∈R，asinx0+2＜‎0”‎的充分条件． 本题考查充分必要条件的判定，考查三角函数的有界性，体现了数学转化思想方法，是中档题． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和． 则：Fn+2=Fn+Fn+1=Fn+Fn-1+Fn =Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-1 =Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-3+Fn-2 =… =Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-3+…+F2+F1+1， ∴S2019=F2021-1 故选：B． 利用迭代法可得Fn+2=Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-3+…+F2+F1+1，可得S2019=F2021-1，代值计算可得结果． 本题考查的知识要点：迭代法在数列中的应用． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查圆锥曲线几何性质、运算能力与逻辑思维能力，考查数学运算的核心素养，属于中档题． 依题意有m2-4=a2+4，即m2=a2+8，写出=2+，再根据|TF1|＜4，求出a 的范围，即可求出． 【解答】 解：依题意有m2-4=a2+4，即m2=a2+8， ∴， ， 解得a2＜1， ∴0＜a4+‎8a2＜9， ∴＞， ∴2+＞， ∴， 故选：D． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵A={（x，y）|（x-4）2+y2=1}，表示平面坐标系中以M（4，0）为圆心，半径为1的圆， B={（x，y）|（x-t）2+（y-at+2）2=1}，表示以N（t，at-2）为圆心，半径为1的圆，且其圆心N在直线ax-y-2=0上，如图． 如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M到直线ax-y-2=0的距离不大于2， 即≤2，解得0≤a≤． ∴实数a的取值范围是[0，]； 故选：B． 首先要将条件进行转化，即命题P：A∩B≠∅为假命题，再结合集合A、B的特征利用数形结合即可获得必要的条件，解不等式组即可获得问题的解答． 本题考查的是集合运算和命题的真假判断与应用的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了圆的知识、集合运算的知识以及命题的知识．同时问题转化的思想也在此题中得到了很好的体现．值得同学们体会和反思． 11.【答案】B ‎ ‎【解析】解：对于①：命题“∀x＞0，都有”的否定是“∃x0＞0，使得”；不满足命题的否定形式，所以不正确； 对于②：已知a、b＞0，命题“若，则a＞b”的逆命题是真命题；满足不等式的基本性质，正确； 对于③：x＞1可得x2＞1，反之不成立，所以x＞1是x2＞1的充分不必要条件；所以③不正确； 对于④：若x=x0为函数f（x）=x2+x+2lnx-e-x的零点，则x02+x0+2lnx0-e-x0=0，不是x0+2lnx0=0，所以不正确； 故选：B ‎． 利用命题的否定，四中命题的逆否关系，充要条件，函数的零点判断选项的正误即可． 本题考查命题的真假的判断，涉及命题的否定，四种命题的逆否关系，充要条件函数的零点，是基本知识的考查． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：依题意，对于数列{an}， ①当n=2k+1时（k∈N*），a2k+1=‎2a2k+1=2（a2k-1+1）+1=‎2a2k-1+3， ∴a2k+1+3=2（a2k-1+3），即=2， ∴数列{a2k-1+3}成以4为首项，2为公比的等比数列， a2k-1=2k+1-3，令n=2k-1，的k=， 所以an=-3， 即当n为奇数时，an=-3； ②当n=2k（k∈N*）时，a2k=a2k-1+1=-2， 所以当m为偶数时， Sm=（a1+a3+……+am-1）+（a2+a4+……+am） =（22-3+23-3+……+-3）+（22-2+23-2+……+-2） =2×- =--8， 当m为奇数时， Sm=Sm-1+am=--8+-3=3--11， ∴S15=3×29--11=1536-35-11=1500＞999， S14=210-25-8=992＜999， 故选：A． 分成奇数项和偶数项分别考虑，奇数项构造等比数列可以求解析式，偶数项利用奇数项可以得到解析式，从而得到前m项和，结合选项即可得到结果． 本题考查了数列的递推公式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题． 13.【答案】8 ‎ ‎【解析】解：===≥8，当且仅当xy=4时等号成立． 故答案为：8． 把展开，将x+2y=7整体带入，利用基本不等式即可解得最小值． 本题主要考查基本不等式及其应用，属于中档题． 14.【答案】-3n+23 ‎ ‎【解析】解：∵等差数列{an}中，前m（m为奇数）项的和为77， ∴ma1+=77，① ∵其中偶数项之和为33， ∴设公差等于d，由题意可得偶数项共有项． （a1+d）+×2d=33，② ∵a1-am=18， ∴a1-am=18=-（m-1）d，③ 由①②③，解得m=7，d=-3，a1=20， 故an=a1+（n-1）d=20+（n-1）×（-3）=-3n+23． 数列{an}的通项公式为an=-3n+23． 故答案为：-3n+23． 设公差等于d，由题意可得偶数项共有项，从而列出方程组求出m，d，a1，由此能求出数列{an}‎ 的通项公式． 本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用． 15.【答案】a≤2 ‎ ‎【解析】解：设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，则点P离点A（0，a）的距离的平方为 |AP|2=x2+（y-a）2 =x2+y2-2ay+a2 ∵x2=4y ∴|AP|2=4y+y2-2ay+a2（y≥0） =y2+2（2-a）y+a2（y≥0） ∴对称轴为y=a-2， ∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点， ∴a-2≤0解得a≤2， 故答案为：a≤2． 将抛物线上的点离点A的距离用两点距离的平方表示出来，再研究二次函数的最值． 本题考查二次函数在给定区间的最值的求法：弄清对称轴与区间的关系，在y=0时取到最小值，函数在定义域内递增，对称轴在区间左边． 16.【答案】[-1，2] ‎ ‎【解析】解：不等式x6-（x+2）3+2x2-2x-4≤0变形为 x6-x3≤4x2+14x+12，即x3（x3-1）≤（2x+4）（2x+3） 考查函数f（x）=x（x-1），图象关于x=对称，在（-∞，）上单调递减；在（，+∞）上单调递增 知f（x3）≤f（2x+4） 所以或或或； 分别解得：≤x≤2或∅或-1≤x或∅ 即-1≤x≤2，所以不等式的解集为[-1，2]． 故答案为：[-1，2]． 根据题意，把不等式变形，利用函数的性质把不等式转化，从而求出解集． 本题考查类比推理，找规律，对应已知形式，即可求解，中档题． 17.【答案】证明：（1）∵AA1∥BB1，AA1=BB1， ∴四边形AA1B1B是平行四边形， ∴AB∥A1B1， 又AB⊄平面A1B‎1C，A1B1⊂平面A1B‎1C， ∴AB∥平面A1B‎1C． （2）由（1）证明同理可知AC=A‎1C1，BC=B‎1C1， ∵AB=BC，∴A1B1=B‎1C1， ∵M是A1B1的中点， ∴C‎1M⊥A1B1， ∵CC1⊥平面A1B‎1C1，B‎1A1⊂平面A1B‎1C1， ∴CC1⊥B‎1A1， 又CC1∩C‎1M=C1， ∴B‎1A1⊥平面C‎1CM， 又B‎1A1⊂平面A1B‎1C1， ∴平面C‎1CM⊥平面A1B‎1C． ‎ ‎【解析】（1）证明四边形AA1B1B是平行四边形，得出AB∥A1B1，故而AB∥平面A1B‎1C； （2）由C‎1M⊥A1B1，CC1⊥B‎1A1，得出B‎1A1⊥平面C‎1CM，从而平面C‎1CM⊥平面A1B‎1C． 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，直棱柱的结构特征，属于中档题． 18.【答案】解：（1）在△ABC中，角C为钝角， 所以，， 所以，， 又，所以， 所以sinB=sin[A-（A-B）]=sinAcos（A-B）-cosAsin（A-B）=． （2）因为，且，所以， 又，， 所以，在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==， 由正弦定理得，，又b=5， 所以． ‎ ‎【解析】（1）利用同角三角函数间的关系得到cosA、sin（A-B）、cos（A-B），从而利用两角和差公式得到sinB的值； （2）利用正弦定理解三角形，从而求得边长． 本题是常考题型，考查解三角形，需对三角函数的各类公式熟练掌握． 19.【答案】解：（1）每年的维修保养费用是以1100为首项，400为公差的等差数列， 设第n年时累计利润为f（n）， f（n）=8100n-[1100+1500+…+（400n+700）]-16200 =8100n-n（200n+900）-16200 =-200n2+7200n-16200 =-200（n2-36n+81）， 开始获利即f（n）＞0， ∴-200（n2-36n+81）＞0，即n2-36n+81＜0， 解得， 所以公司从第3年开始获利； （2）每台充电桩年平均利润为 当且仅当，即n=9时，等号成立． 即在第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元． ‎ ‎【解析】（1）判断已知条件是等差数列，然后求解利润的表达式，推出表达式求解n即可． （2）利用基本不等式求解最大值即可． 本题考查数列与函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 20.【答案】解：（1）由题意得F（）， 则|BF|=m+，|AF|=， 因为|BF|=2|AF|， 所以m+=，① 因为点B在抛物线C上， 所以12=2pm，即pm=6，② 联立①②得p4+8p2-48=0， 解得p=2或p=-2（舍去）， 所以抛物线C的标准方程为y2=4x． （2）由题知直线PM，PN 的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数． 设M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM：y=k（x-1）+2（k≠0）． 由，得 k2x2-（2k2-4k+4）x+k2-4k+4=0， 则△=（2k2-4k+4）2-4k2（k-2）2=16（k-1）2＞0， 又点P在抛物线C上， 所以， 同理得， 则，， y1-y2=[k（x1-1）+2]-[-k（x2-1）+2]=k（x1+x2）-2k==， 所以， 即直线MN的斜率为-1． ‎ ‎【解析】（1）分别根据|BF|=2|AF|和点B在抛物线上列出方程，联立求解即可得出方程； （2）设出点M，N的坐标和直线PM的方程，和抛物线方程联立求解，结合韦达定理和△的范围可以求解． 本题考查直线与抛物线的关系，涉及解方程组和韦达定理等内容，属于综合题． 21.【答案】解：（1）当n=1时，a1=2． 当n≥2时，， 整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0， 可得an-an-1=1， ∴{an}是以a1=2为首项，d=1为公差的等差数列． ∴． （2）由（Ⅰ）得an=n+1， ∴． ∴． （3）假设存在实数λ，使得对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立，只需满足即可， 令， 由数列的单调性可得，所以f（1）=1，f（2）=，f（3）=，＞f（5）＞f（6）＞… 当n=3时有最小值． 所以． ‎ ‎【解析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式． （2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式． （3）利用恒成立问题的应用和函数的单调性的应用求出参数的取值范围． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，恒成立问题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 22.【答案】解：（1）由题意得，解得c=1，a2=2，所以b2=a2-c2=1． 所以椭圆的方程为． （2）因为P（0，1），F1（-1，0），所以PF1的方程为x-y+1=0． 由解得或所以Q点的坐标为． 设过P，Q，F2三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则 解得 所以圆的方程为． （3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则． 因为，所以 ‎ 所以，解得． 所以 = =． 因为，所以，当且仅当，即λ=1时取等号， 所以．即最大值为． ‎ ‎【解析】（1）通过焦距以及准线方程，求出a，c，然后求解b，得到椭圆方程． （2）求出三点坐标，设出圆的一般方程，然后求解即可． （3）求出P的坐标，代入椭圆方程，通过向量的数量积结合基本不等式求解即可． 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，圆的方程的求法，向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题． ‎