2019-2020学年海南省海南中学高一上学期期中考试 数学试题

2019-2020学年海南省海南中学高一上学期期中考试 数学试题

‎2019-2020学年海南省海南中学高一上学期期中考试 数学试题 ‎（考试时间：2019年11月；总分：150分；总时量：120分钟）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上;‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效;‎ ‎3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效;‎ ‎4．考试结束后，请将答题卡上交。‎ 第一卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将所选答案填涂在答题卡相应位置．）‎ ‎1. 下列关系中正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．函数的定义域是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3. 函数与的图象( )‎ A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线轴对称 ‎4. 已知命题：，则该命题的否定是( )‎ ‎ A. ‎ ‎ B. ‎ ‎ C. ‎ ‎ D. ‎ ‎5．下列各对函数中，表示同一函数的是( )‎ A．与 B．与 C．与 D．与 ‎6. 设函数，则( )‎ A. 37 B. 26 ‎ C. 19 D. 13‎ ‎7.下列命题中，不正确的是( ) ‎ A. 若，则 B. 若，则 ‎ C. 若，则 D. 若，则 ‎8. 下列函数中，在区间上单调递减的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9. 若，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10.已知，若定义在上的函数满足对，都有，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 若直角三角形的周长为定值2，则的面积的最大值为( )‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎12. 正实数满足，若不等式对任意正实数以及任意实数恒成立，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ 第二卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 若幂函数的图象过点，则　　　　　. ‎ ‎14. 计算：　　　　　. ‎ ‎15. 某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆300个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加50个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量与记忆天数的函数关系式为　 　　　　；并写出该函数的一个性质(比如：单调性、奇偶性、最值等)：　 　　　　.‎ ‎16.已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本题10分）设全集，集合， .‎ ‎(1)求()； ‎ ‎(2)，求.‎ ‎18.（本题12分）已知函数是定义在上的偶函数，且时，‎ ‎.‎ ‎(1)求时的解析式；‎ ‎(2)在如图坐标系中作出函数的大致图象；写出函数的单调区间并指出函数在这些区间上的单调性(不需要证明).‎ ‎19.（本题12分）已知集合.‎ ‎(1)若集合，求此时实数的值；‎ ‎(2)已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎20．（本题12分）‎ 定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增．‎ ‎(1)求，值；‎ ‎(2)证明：函数是偶函数；‎ ‎(3)解不等式.‎ ‎21.（本题12分）如图所示，是一个矩形花坛，其中米，米. 现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求：在上，在上，对角线过点，且矩形的面积小于150平方米． (1) 设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并写出该函数的定义域； (2) 当的长度是多少时，矩形的面积最小？最小面积是多少？‎ ‎ ‎ ‎22．(本题12分)已知函数是定义在上的奇函数，且.‎ ‎(1)判断函数在上的单调性，并用定义证明；‎ ‎(2)设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数的取值范围.‎ 海南中学2019—2020学年第一学期期中考试 高一数学 参考答案与评分标准 一、选择题（共12小题，每小题5分，总分60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B A D B A C B A D D C 二、填空题（共4小题，每小题5分，总分20分）‎ ‎13．； ‎ ‎14． ； ‎ ‎15. ；(3分，其中解析式2分，定义域1分)‎ 该函数的性质可以从以下角度回答(只需要答对一个即可)： (2分)‎ ①该函数为增函数；‎ ②该函数不是奇函数，也不是偶函数；‎ ③当时，的最小值为300；当时，的最大值为750；‎ ④该函数的值域为.‎ ‎16. .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （共6小题，总分70分）‎ ‎17．（本题10分）设全集，集合， .‎ ‎(1)求()； (2)，求.‎ 解：(1)‎ 全集，∴，又 ‎∴()． ……5分 ‎ ‎(2)，又 ‎ . ……10分 ‎ ‎18.（本题12分）已知函数是定义在上的偶函数，且时，‎ ‎.‎ ‎(1)求时的解析式；‎ ‎(2)在如图坐标系中作出函数的大致图象；写出函数 的单调区间并指出函数在这些区间上的单调性(不需要证明).‎ 解：(1)设，，则，‎ 函数是定义在上的偶函数，，‎ 即时，. ……5分 ‎ ‎(2)，故图象如下图所示：‎ ‎(提示：图象过点) ……8分 ‎ 由图可知：函数的单调递增区间为：； ……10分 ‎ 函数的单调递减区间为：. ……12分 ‎ ‎19.（本题12分）已知集合.‎ ‎(1)若集合，求此时实数的值；‎ ‎(2)已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围．‎ 解：(1)‎ 由韦达定理知 此时满足 ‎ ‎ ……4分 ‎ ‎(2)由是的充分条件，知， ……5分 又， ……6分 ‎① 时，，，由 ‎ 有，满足， ……8分 ‎ ②时，，，由 ‎ 有，满足， ……10分 ‎③时，，不满足. ……11分 ‎ 综上所述，实数的取值范围是． ……12分 ‎20．（本题12分）‎ 定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增．‎ ‎(1)求，值；‎ ‎(2)证明：函数是偶函数；‎ ‎(3)解不等式.‎ 解：(1)令，则 ……2分 ‎ 令，则 ……4分 ‎ ‎(2)函数的定义域为，，.‎ 令，则 ‎，‎ ‎∴为定义域上的偶函数． ……8分 ‎ ‎(3)据题意，函数在区间上单调递增，且 故函数图象大致如下：‎ 由，‎ 或，‎ 或. ……12分 ‎ ‎21.（本题12分）如图所示，是一个矩形花坛，其中米，米. 现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求：在上，在上，对角线过点，且矩形的面积小于150平方米． (1) 设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成 的函数，并写出该函数的定义域； (2) 当的长度是多少时，矩形的面积最小？最小面积是多少？‎ 解：(1)设AN的长为米 由题意可知：，，， ， 由，得, , ，函数定义域为． ……6分 （2）, 令, ‎ 当且仅当, 即, 时, 等号成立. 即当AN的长为8米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为96平方米． ‎ ‎ ……12分 ‎ ‎22．(本题12分)已知函数是定义在上的奇函数，且.‎ ‎(1)判断函数在上的单调性，并用定义证明；‎ ‎(2)设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数的取值范围.‎ 解：(1)由题可知，函数是定义在上的奇函数，且，‎ 则，解得. ……3分 ‎ 函数在上单调递增，证明如下： ……4分 任取，且，‎ ‎，且，，‎ 于是，，‎ 所以在上单调递增. ……7分 ‎(2)由题意，任意的，总存在，使得成立．‎ 转化为存在，使得，即.……8分 由(1)知函数在上单调递增，……9分 ‎，在上单调递增，.…10分 ‎ 故有 . 即正实数的取值范围为.‎