汉中市2020届高三年级教学质量第二次检测考试理科数学

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汉中市2020届高三年级教学质量第二次检测考试理科数学 本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．‎ ‎2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．‎ ‎4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．‎ ‎5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若集合，，全集，则集合中的元素共有（ ）‎ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 ‎2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．若，则下列不等式中不成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．总体由编号为01，02，…19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．07 C．02 D．01‎ ‎5．已知函数，则下列判断错误的是（ ）‎ A．的最小正周期为 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 ‎6．已知平面内一条直线及平面，则“”是“”的（ ）‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．设则的值为（ ）‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ ‎8．在直角中，，，，若，则（ ）‎ A． B． C．18 D．‎ ‎9．如图是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由该圆的四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．函数的图像大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若线段的长分别为，则的最小值是（ ）‎ A．9 B．10 C．7 D．8‎ ‎12．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．展开式中的系数为_____．‎ ‎14．在中，内角的对边分别是，若，，则____．‎ ‎15．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门 ‎．该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块．某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有_____种．‎ ‎16．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，，，分别为的中点，，则球的体积为_____．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．设等差数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求的前项和及使得最小的的值．‎ ‎18．如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，，，‎ 求二面角的正弦值．‎ ‎19．眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5．0以上的人数；‎ ‎（Ⅱ）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0．005的前提下认为视力与眼保健操有关系？‎ 是否做操 是否近视 不做操 做操 近视 ‎44‎ ‎32‎ 不近视 ‎6‎ ‎18‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为，求的分布列和数学期望．‎ 附：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎20．如图，椭圆的长轴长为4，点为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，过中心，且，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设是椭圆上位于直线同侧的两个动点（异于），且满足，试讨论直线与直线斜率之间的关系，并求证直线的斜率为定值．‎ ‎21．已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数，使得，证明：．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在22、23题任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，直线与曲线交于两点，求．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数．当时，，求的取值范围．‎ 汉中市2020届高三年级教学质量第二次检测考试 理科数学参考答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C D D B B C C D A A 二、填空题 ‎13．30 14． 15．432 16．‎ 三、解答题 ‎17解：（1）设等差数列的公差为，由及，得 解得 数列的通项公式为 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 因为 所以时，取得最小值．‎ ‎18解：（Ⅰ）证明 因为平面，平面，‎ 所以．‎ 因为，，所以．‎ 又，所以平面．‎ ‎（Ⅱ）解由（1）可知．‎ 在中，，‎ ‎．‎ 所以．‎ 又因为，，所以四边形为矩形．‎ 如图建立坐标系，‎ 则：，，，，‎ 所以：，‎ 设平面的法向量为，‎ 即，‎ 令，则，‎ 由题平面，即平面的法向量为 由二面角的平面角为锐角，设二面角的平面角为 即 所以 所以二面角的正弦值为 ‎19．解：（Ⅰ）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后三组的频数成等差数列，共有（人）‎ 所以后三组频数依次为24，21，18，‎ 所以视力在5．0以上的频率为0．18，‎ 故全年级视力在5．0以上的人数约为人 ‎（Ⅱ），‎ 因此能在犯错误的概率不超过0．005的前提下认为视力与眼保健操有关系．‎ ‎（Ⅲ）调查的100名学生中不近视的共有24人，从中抽取8人，抽样比为，这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，‎ 可取0，1，2‎ ‎，，，‎ 的分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的数学期望．‎ ‎21解：（Ⅰ）的定义域为，‎ 因为，‎ 所以，‎ 当时，令，得，令，得；‎ 当时，则，令，得，或，‎ 令，得；‎ 当时，，‎ 当时，则，令，得；‎ 综上所述，当时，在上递增，在上递减；‎ 当时，在上递增，在上递减，在上递增；‎ 当时，在上递增；‎ 当时，在上递增，在上递减，在上递增；‎ ‎（Ⅱ）在定义域内是是增函数，由（1）可知，此时，设，‎ 又因为，则，‎ 设，，则 对于任意成立所以在上是增函数，所以对于，有，‎ 即，有，‎ 因为，所以，‎ 即，又在递增，‎ 所以，即．‎ ‎22．解：（Ⅰ）对于曲线的极坐标方程为，可得，‎ 又由，可得，即，‎ 所以曲线的直角坐标方程为．‎ 由直线的参数方程为（为参数），消去参数可得，‎ 直线的普通方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程（为参数）代入曲线中，可得．‎ 化简得，则，．‎ 所以．‎ ‎23．解：（1）当时，．解不等式得．‎ 因此的解集为．‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 所以当时，等价于．①‎ 当时，①等价于，无解．‎ 当时，①等价于，解得．‎ 所以的取值范围是．‎