2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第四章　4 第4讲　简单的三角恒等变换

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第四章　4 第4讲　简单的三角恒等变换

‎[基础题组练]‎ ‎1．计算sin 15°sin 30°sin 75°的值等于(　　)‎ A.　　　 　B. C.　　　 　D. 解析：选C.原式＝sin 15°cos 15°‎ ‎＝×2sin 15°cos 15°‎ ‎＝sin 30°＝.‎ ‎2．已知f(x)＝2tan x－，则f的值为(　　)‎ A．4 B. C．4 D．8‎ 解析：选D.因为f(x)＝2＝2×＝2×＝，所以f＝＝8.‎ ‎3．若sin＝，则cos等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选D.因为sin＝，‎ cos＝sin 2α＝－cos ‎＝－cos 2 ‎＝－ ‎＝2sin2－1＝－.‎ ‎4．已知α，β均为锐角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则α＋β为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得 tan α＋tan β＝1－tan αtan β，‎ 所以tan(α＋β)＝＝＝1.‎ 因为0<α，β<，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝.‎ ‎5．(2020·台州质检)4sin 80°－等于(　　)‎ A. B．－ C. D．2－3‎ 解析：选B.依题意，因为sin 80°＝cos 10°，‎ 所以4sin 80°－ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝－，选B.‎ ‎6．已知cos＋sin θ＝，则sin的值是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ 解析：选C.因为cos＋sin θ＝，所以cos θ＋sin θ＝，即＝，‎ 即sin＝，所以sin＝，‎ 所以sin＝－sin＝－.故选C.‎ ‎7.－＝________．‎ 解析：原式＝ ‎＝＝tan 30°＝.‎ 答案： ‎8．(2020·温州中学高三模考)已知向量a＝(sin α＋cos α，1)，b＝(1，－2cos α)，a·b＝，α∈，则sin α＝________，cos α＝________．‎ 解析：由题设可得sin α＋cos α－2cos α＝，即sin α－cos α＝，联立sin2α＋cos2α＝1，由此可得sin α＝，cos α＝.‎ 答案：　 ‎9．已知＝，tan(α－β)＝，则tan β＝________．‎ 解析：因为＝，所以＝，＝1，所以tan α＝1，又因为tan(α－β)＝，‎ 所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝.‎ 答案： ‎10．(2020·浙江省重点中学高三月考)请利用图1、图2中大矩形内部阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：________________________．‎ 解析：两个图的阴影部分面积相等，题图1中大矩形面积为S＝(cos α＋cos β)(sin α＋sin β)＝sin(α＋β)＋sin αcos α＋sin βcos β，减去四个小直角三角形的面积得S1＝S－sin ‎ αcos α－sin βcos β＝sin(α＋β)，题图2中阴影部分面积为S2＝sin αcos β＋cos αsin β.‎ 答案：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ‎11．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．‎ 解：由cos β＝，β∈，‎ 得sin β＝，tan β＝2.‎ 所以tan(α＋β)＝ ‎＝＝1.‎ 因为α∈，β∈，‎ 所以<α＋β<，‎ 所以α＋β＝.‎ ‎12．已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，求的值．‎ 解：原式＝＝，‎ 又＋＝，‎ 所以原式＝＝tan＝.‎ 因为tan 2θ＝＝－2，‎ 解得tan θ＝－或tan θ＝，‎ 又π<2θ<2π，所以<θ<π，所以tan θ＝－，‎ 所以原式＝＝3＋2.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知sin α＝且α为第二象限角，则tan＝(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选D.由题意得cos α＝－，则sin 2α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝，所以tan 2α＝－，所以tan＝＝＝－.‎ ‎2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)‎ A．8 B．4‎ C．2 D．1‎ 解析：选C.因为m＝2sin 18°，‎ 若m2＋n＝4，‎ 则n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，‎ 所以＝＝＝＝2.‎ ‎3．(2020·台州市书生中学检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知a－b＝2，c＝4，sin A＝2sin B，则△ABC的面积为________，sin(2A－B)＝________．‎ 解析：由sin A＝2sin B得，a＝2b，结合已知可知，a＝c＝4，b＝2，则cos A＝，sin A＝，‎ S＝bcsin A＝，‎ cos B＝＝，‎ sin B＝，‎ sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B ‎＝2sin Acos Acos B－(cos2A－sin2A)sin B ‎＝2×××－× ‎＝.‎ 答案：　 ‎4．设α∈，β∈，且5sin α＋5cos α＝8，sin β＋cos β＝2，则cos(α＋β)的值为________．　‎ 解析：由5sin α＋5cos α＝8，得sin＝，‎ 因为α∈，α＋∈，‎ 所以cos＝.‎ 又β∈，β＋∈，由已知得 sin＝.‎ 所以cos＝－.‎ 所以cos(α＋β)＝sin ‎＝sin ‎＝sincos＋cossin ‎＝－.‎ 答案：－ ‎5．已知sin β＝msin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝·tan α.‎ 证明：因为sin β＝msin(2α＋β)，‎ 所以sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]，‎ 所以sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ‎＝m[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，‎ 所以(1－m)sin(α＋β)cos α＝(1＋m)cos(α＋β)sin α，‎ 所以tan(α＋β)＝·tan α，所以原式成立．‎ ‎6．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2 m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB＝，记该设施平面图的面积为S(x)m2，∠AOB＝x rad，其中

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