2017-2018学年湖南省长郡中学高二上学期第一次模块检测数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年湖南省长郡中学高二上学期第一次模块检测数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年湖南省长郡中学高二上学期第一次模块检测数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∴，‎ ‎=，‎ 故 ‎ 故选C.‎ ‎2．把颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球．事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”是(　　)‎ A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥事件 D．必然事件 ‎【答案】C ‎【解析】由于甲、乙、丙3人都可以持有白球，故事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”不可能是对立事件．又事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”不可能同时发生，故两事件的关系是互斥事件．‎ ‎3．某程序框如图所示，则该程序运行后输出的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】不符合；‎ ‎ 不符合；‎ ‎ 不符合；‎ ‎ 符合；‎ 所以输出 故选：C ‎4．若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎.‎ 本题选择D选项.‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图知几何体为倒放的半个圆锥，圆锥的底面圆半径为1，高为2，‎ ‎∴圆锥的母线长为，‎ ‎∴几何体的表面积S=×π×12+×π×1×+×2×2= .‎ 故选：A.‎ ‎6．以下关于命题的说法正确的有（选择所有正确命题的序号）.‎ ‎（1）“若，则函数在其定义域内是减函数”是真命题；‎ ‎（2）命题“若，则”的否命题是“若，则”；‎ ‎（3）命题“若都是偶函数，则也是偶数”的逆命题为真命题；‎ ‎（4）命题“若，则”与命题“若，则”等价.‎ A. （1）（3） B. （2）（3） C. （2）（4） D. （3）（4）‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①，当时，a＞1，‎ ‎∴函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内是增函数，①错误；‎ 对于②，命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”，∴②正确；‎ 对于③，命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆命题为 ‎“若x+y是偶数，则x、y都是偶数”，它是假命题，如1+1=2，但1是奇数， ‎ ‎∴③错误；‎ 对于④，命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是“若b∈M，则a∉M”， 则两个命题是等价命题，∴④正确．‎ 综上，正确的命题是（2）（4）．‎ 故答案为：C ．‎ ‎7．若直线被圆截得弦长为，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2 =4，‎ 它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；‎ 设弦心距为d，由题意可得 22+d2=4，求得d=0，‎ 可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，‎ 即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得 ‎=（ ）（a+b）=5+≥5+2‎ 当且仅当=时取等号，∴的最小值是9．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎8．在区间上随机地一个数，则事件“”发生的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，‎ ‎∴由解得0≤x≤或≤x≤π，‎ 则事件“”发生的概率P==，‎ 故选：D．‎ 点睛：利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎9．已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，画出椭圆与直线的图形；‎ 设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（， ），B（， ），斜率为k；‎ 则①，②；‎ ‎∴①﹣②，得 ‎，‎ ‎∵由中点坐标公式： =4， =2，‎ ‎∴；‎ ‎∴k=．‎ 故选B．‎ ‎10．为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高 ‎（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，该某班学生的脚长为，据此估计其身高为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，∴线性回归方程为，‎ 则==22.5， ==160，‎ 则数据的样本中心点（22.5，160），‎ 由回归直线方程样本中心点，则=﹣4x=160﹣4×22.5=70，‎ ‎∴回归直线方程为=4x+70，‎ 当x=24时， =4×24+70=166，‎ 则估计其身高为166，‎ 故选C．‎ ‎11．若，则目标函数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域，‎ ‎∵=1+2•，‎ ‎∴设k=．‎ 则k的几何意义为过原点的直线的斜率，‎ 由图象可知，直线OA的斜率最大，直线OB的斜率最小，‎ 此时A（1，2），k=2；此时B（2，1），k=，‎ ‎∴，则2≤1+2k≤5，‎ 即2≤z≤5，‎ 故选：A 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎12．在等比数列中，若有，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：令，，令，，解得，.‎ ‎【考点】等比数列的基本性质.‎ ‎13．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点设左焦点为 则连接 所以四边形为长方形．‎ 根据椭圆的定义： ，由题则．所以 利用 即椭圆离心率e的取值范围为故选A ‎【考点】椭圆的简单性质，三角函数的图和性质 ‎【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质，三角函数的图和性质，属中档题.解题时首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以，再根据椭圆的定义，再由离心率公式，最后由的范围，进一步求出结论．‎ ‎14．已知实数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设，作出函数的图象，如图所示，则时，有两个根，当时，有一个根，若关于的方程有三个不同的实根，则等价为由两个不同的实数根，且或，当时，，此时由，解得或，满足有两个根，有一个根，满足条件；当时，设，则即可，即，解得，综上实数的取值范围为，故选A.‎ ‎【考点】根的存在性及个数的判断.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了根的存在性及个数的判断问题，其中解答中涉及到到指数函数与对数函数的图象与性质，一元二次函数根的分布等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中利用函数的零点和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点是解答的根据，利用数形结合以及换元法是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎15．如图，在正方体中，点是的中点，则与所成角的余弦值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，‎ D1（0，0，2），B（2，2，0），‎ A（2，0，0），M（1，2，0），‎ ‎=（2，2，﹣2），，‎ 设D1B与AM所成角为θ，‎ 则cosθ=|cos＜， ＞||=．‎ 故答案为： ．‎ ‎16．是两个向量， 且，则与的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵是两个向量， 且，设，的夹角为θ，‎ 则有（）•=+=1+1×2×cosθ=0，∴cosθ=，∴θ=120°，‎ 故答案为：120°．‎ ‎17．已知函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ 故答案为： ‎ ‎18．椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，则的周长的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，‎ 设椭圆的右焦点为M，椭圆的长轴为2×2a=4a，‎ ‎△FAB的周长AF+FB+AB≤FA+AM+FB+BM=2×2a+2×2a=8a，‎ 故答案为：8a 点睛：本题充分体现了解析几何的思想方法：数形结合，利用椭圆的定义结合三角形的基本性质得到周长的最值.‎ ‎19．设数列的前项和为，且为等差数列，则的通项公式__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设cn= ，‎ ‎∵数列的前n项和为，且=1，∴c1=4，c2=8，‎ ‎∴cn=c1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，‎ 即cn= =4n 当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1+（1+）an﹣（1+）an﹣1=0‎ ‎∴，即2•，‎ ‎∴{}是以为公比，1为首项的等比数列，∴=，‎ ‎∴．‎ 三、解答题 ‎20．已知向量，若.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）已知的三内角的对边分别为，且（为锐角），，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）‎ 由得.‎ 的单调递增区间为得.‎ ‎（2）又.‎ ‎.由正弦定理得，(1)‎ ‎，由余弦定理，得，(2) ‎ 解(1) (2)组成的方程组，得.‎ 综上.‎ 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.‎ ‎21．在三棱柱中， 平面，其垂足落在直线上.‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）若为的中点，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先根据直三棱柱可得，再由条件平面易得，从而根据线面垂直的判定可证平面，即有；（2）根据条件中给出的数据可得，因此可得，再由为的中点，因此可将转化为求，从而可得．‎ 试题解析：（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，‎ 又∵平面，∴，∵平面，且平面，∴，‎ 又∵平面， 平面, , ∴平面，又∵平面，∴； 5分（2）在直三棱柱中， ，‎ ‎∵平面，其垂足落在直线上，∴，‎ 在中， , , ， ，‎ 在中， ， 8分 由（1）知平面， 平面，从而， ，‎ ‎∵为的中点， ， 10分 ‎∴． 12分 ‎【考点】1．线面垂直的性质与判定；2．空间几何体的体积．‎ ‎22．从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；‎ ‎（2）若用分层抽样的方法从分数在和的学生中共抽取人，该人中成绩在的有几人？‎ ‎（3）在（2）中抽取的人中，随机抽取人，求分数在和各人的概率．‎ ‎【答案】(1) ;(2) ;(3) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图的实际意义求平均数即可；（2）利用分层抽样的特点（等比例抽样）进行求解；（3）列举基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解.‎ 试题解析：（1）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为 ‎0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100‎ ‎+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92．‎ ‎（2）样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数分别为6人和3人 所以抽取的6人中分数在[130，150]的人有（人）‎ ‎（3）由（2）知：抽取的6人中分数在[30，50）的有4人，记为A1,A2,A3,A4‎ 分数在[130，150]的人有2人，记B1，B2，‎ 从中随机抽取2人总的情形有(A1,A2)、（A1, A3）、（A1, A4）、（A1, B1）、（A1, B2）、‎ ‎（A2, A3）、（A2, A4）、（A2, B1）、（A2, B2）、（A3,A4）、（A3, B1）、（A3, B2）、‎ ‎（A4, B1）、（A4, B2）、（B1, B2）15种；而分数在[30，50）和[130，150]各1人的情形有 ‎（A1, B1）、（A1, B2）、（A2, B1）、（A2, B2）、（A3, B1）、（A3, B2）、（A4, B1）、‎ ‎（A4, B2）8种 故所求概率 ‎ ‎23．已知命题方程的图象是焦点在轴上的椭圆；命题 “‎ ‎”；命题 “”.‎ ‎（1）若命题为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为真， 为真，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 或；(2) ‎ ‎【解析】（1）命题为真，‎ 当时，不合题意，‎ 当时，‎ 或；‎ ‎（2）若为真且且，解得，‎ 若为真，‎ 若为真， 为真，‎ ‎ 真假，‎ 解得.‎ ‎24．已知椭圆，的离心率,且过点.‎ ‎(Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)设与圆相切的直线交椭圆与，两点，求面积的最大值及取得最大值时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）面积的最大值为，此时直线方程．‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用由条件求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程；（2）①当不存在时，直接求解三角形的面积；②当存在时，设直线为，联立直线与椭圆的方程组，通过韦达定理与距离公式表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最大值．然后求解直线方程.‎ 试题解析：（1）由题意可得：‎ ‎（2）①当不存在时，，‎ ‎②当不存在时，设直线为，‎ ‎,,‎ ‎,‎ 当且仅当，即时等号成立 ‎，‎ 面积的最大值为，此时直线方程.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；‎ 视频