数学卷·2018届天津市红桥区高二上学期期中考试数学文试卷 （解析版）

数学卷·2018届天津市红桥区高二上学期期中考试数学文试卷 （解析版）

‎2016-2017学年天津市红桥区高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（4分）命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（　　）‎ ‎2．（4分）经过两点A（0，﹣1），B（2，4）的直线的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（4分）若直线a，平面α满足a⊄α，则下列结论正确的是（　　）‎ A．直线a一定与平面α平行 B．直线a一定与平面α相交 C．直线a一定与平面α平行或相交 D．直线a一定与平面α内所有直线异面 ‎4．（4分）“a，b不相交”是“a，b异面”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 ‎5．（4分）直线ax﹣5y﹣9=0与直线2x﹣3y﹣10=0平行，则实数a的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（4分）若直线a平行于平面α，则下列结论正确的是（　　）‎ A．直线a一定与平面α内所有直线平行 B．直线a一定与平面α内所有直线异面 C．直线a一定与平面α内唯一一条直线平行 D．直线a一定与平面α内一组平行直线平行 ‎7．（4分）过两条直线l1：x﹣y+3=0与l2：2x+y=0的交点，倾斜角为的直线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（4分）设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（　　）‎ A．当a∩b=O且aα，bα时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α B．当a∩b=O且aα，bα时，若a∥β，b∥β，则α∥β C．当bα时，若b⊥β，则α⊥β D．当bα时，且cα时，若c∥α，则b∥c ‎　‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9．（4分）写出命题：“若一个四边形两组对边相等，则这个四边形为平行四边形”的逆否命题是　　．‎ ‎10．（4分）点P（1，﹣2）在直线4x﹣my+12=0上，则实数m=　　．‎ ‎11．（4分）已知直线l，m和平面β，若l⊥m，l⊥β，则m与β的位置关系是　　．‎ ‎12．（4分）经过点（﹣1，3）且平行于y轴的直线方程为　　．‎ ‎13．（4分）已知点A（﹣1，3），B（2，6），若在x轴上存在一点P满足|PA|=|PB|，则点P的坐标为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎14．（12分）完成下面问题：‎ ‎（1）求直线2x+5y﹣20=0分别在x轴、y轴上的截距；‎ ‎（2）求平行于直线x﹣y+2=0，且与它的距离为的直线的方程；‎ ‎（3）已知两点M（7，﹣1），N（﹣5，4），求线段MN的垂直平分线的方程．‎ ‎15．（12分）如图，棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N，E分别是棱A1B1，A1D1，C1D1的中点．‎ ‎（1）求证：AM∥平面NED；‎ ‎（2）求直线AM与平面BCC1B1所成角的正切值．‎ ‎16．（12分）点A（5，1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），关于原点的对称点为C（x2，y2）．‎ ‎（1）求△ABC中过BA，BC边上的中点所在的直线方程；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎17．（12分）三棱锥P﹣ABC中，已知PA=PB=PC=AC=4，BC=AB=2，O为AC中点．‎ ‎（1）求证：PO⊥平面ABC；‎ ‎（2）求异面直线AB与PC所成角的余弦值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年天津市红桥区高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（4分）（2014•河西区三模）命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（　　）‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题“∀x∈R，都有有x2+1≥1”，易得到答案．‎ ‎【解答】解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥1”‎ ‎∴命题“∀x∈R，有x2+1≥1”的否定是：‎ x∈R，使x2+1＜1．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“x∈A，非P（x）”，是解答此类问题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2016秋•红桥区期中）经过两点A（0，﹣1），B（2，4）的直线的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．‎ ‎【分析】直接利用直线的斜率公式求出结果．‎ ‎【解答】解：经过A（0，﹣1），B（2，4）两点的直线的斜率是=，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查直线的斜率公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2016秋•红桥区期中）若直线a，平面α满足a⊄α，则下列结论正确的是（　　）‎ A．直线a一定与平面α平行 B．直线a一定与平面α相交 C．直线a一定与平面α平行或相交 D．直线a一定与平面α内所有直线异面 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】探究型；定义法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】根据线面关系的分类，可知，线不含于面，则线面平行或线面相交．‎ ‎【解答】解：∵直线a，平面α满足a⊄α，‎ 故直线a一定与平面α平行或相交，‎ 故选：C ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间线面关系的分类，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2016秋•红桥区期中）“a，b不相交”是“a，b异面”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】对应思想；转化法；简易逻辑．‎ ‎【分析】根据直线的位置关系结合充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：若“a，b不相交”，则a，b平行或a，b异面，不是充分条件，‎ 若a，b异面，则a，b不相交，是必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线的位置关系，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2016秋•红桥区期中）直线ax﹣5y﹣9=0与直线2x﹣3y﹣10=0平行，则实数a的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；演绎法；直线与圆．‎ ‎【分析】根据它们的斜率相等，可得=，解方程求a的值．‎ ‎【解答】解：∵直线ax﹣5y﹣9=0与直线2x﹣3y﹣10=0平行，‎ ‎∴它们的斜率相等，‎ ‎∴=，‎ ‎∴a=．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2016秋•红桥区期中）若直线a平行于平面α，则下列结论正确的是（　　）‎ A．直线a一定与平面α内所有直线平行 B．直线a一定与平面α内所有直线异面 C．直线a一定与平面α内唯一一条直线平行 D．直线a一定与平面α内一组平行直线平行 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；定义法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】直线a与平面α内的直线平行或异面，由此能求除A和B；由线面平行的性质定理得：直线a一定与平面α内一组平行直线平行，由此能排除C．‎ ‎【解答】解：由直线a平行于平面α，知：‎ 在A中，直线a与平面α内的直线平行或异面，故A错误；‎ 在B中，直线a与平面α内的直线平行或异面，故B错误；‎ 在C中，直线a与平面α内的无数条直线平行，故C错误；‎ 在D中，由线面平行的性质定理得：直线a一定与平面α内一组平行直线平行，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2016秋•红桥区期中）过两条直线l1：x﹣y+3=0与l2：2x+y=0的交点，倾斜角为的直线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【专题】方程思想；转化法；直线与圆．‎ ‎【分析】求出直线的交点坐标，代入直线方程整理即可．‎ ‎【解答】解：由题意得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 故直线方程是：y﹣2=（x+1），‎ 整理得：x﹣y+2+=0，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了直线的交点问题，考查求直线方程问题，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2013•汕头一模）设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（　　）‎ A．当a∩b=O且aα，bα时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α B．当a∩b=O且aα，bα时，若a∥β，b∥β，则α∥β C．当bα时，若b⊥β，则α⊥β D．当bα时，且cα时，若c∥α，则b∥c ‎【考点】平面与平面垂直的判定；四种命题间的逆否关系；命题的真假判断与应用；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用直线与平面垂直的判定定理判断A的逆命题正误；‎ 通过平面与平面平行的性质定理判断B的逆命题的正误；‎ 利用平面与平面垂直的性质定理判断C的逆命题的正误；‎ 利用直线与平面平行的判定定理判断命题D的逆命题的正误；‎ ‎【解答】解：对于A，当a∩b=O且aα，bα时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α的逆命题为：当a∩b=O且aα，bα时，若c⊥α，则c⊥a，c⊥b，由直线与平面垂直的性质定理可知逆命题正确；‎ 对于B，当a∩b=O且aα，bα时，若a∥β，b∥β，则α∥β的逆命题为：当a∩b=O且aα，bα时，若α∥β，则a∥β，b∥β，有直线与平面平行的性质定理可知逆命题正确；‎ 对于C，当bα时，若b⊥β，则α⊥β的逆命题为：当bα时，若α⊥β，则b⊥β，显然不正确，可能b与β不垂直，所以逆命题不正确；‎ 对于D，当bα时，且cα时，若c∥α，则b∥c的逆命题为：当bα时，且cα时，若b∥c，则c∥α；满足直线与平面平行的判定定理，正确；‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面的位置关系，直线与平面直线与垂直的判定定理与性质定理的应用，考查逻辑推理能力．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9．（4分）（2016秋•红桥区期中）写出命题：“若一个四边形两组对边相等，则这个四边形为平行四边形”的逆否命题是　若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的两组对边不都相等　．‎ ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；演绎法；简易逻辑．‎ ‎【分析】根据逆否命题的写法，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：命题：“若一个四边形两组对边相等，则这个四边形为平行四边形”的逆否命题是“若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的两组对边不都相等”．‎ 故答案为：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的两组对边不都相等．‎ ‎【点评】本题考查逆否命题的写法，比较基础．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2016秋•红桥区期中）点P（1，﹣2）在直线4x﹣my+12=0上，则实数m=　﹣8　．‎ ‎【考点】确定直线位置的几何要素．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．‎ ‎【分析】根据点P（1，﹣2）在直线4x﹣my+12=0上，代入即可求出m的值．‎ ‎【解答】解：∵点P（1，﹣2）在直线4x﹣my+12=0上，‎ ‎∴4+2m+12=0，‎ ‎∴m=﹣8．‎ 故答案为﹣8．‎ ‎【点评】本题考查点与直线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2016秋•红桥区期中）已知直线l，m和平面β，若l⊥m，l⊥β，则m与β的位置关系是　mβ或m∥β　．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】以正方体ABCD﹣A1B1C1D1为载体，列举现所有的可能情况，由此能判断m与β的位置关系．‎ ‎【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，‎ 取AA1为l，平面ABCD为β，则l⊥β，‎ 当m为AB时，l⊥m，l⊥β，mβ，‎ 当m为A1B1时，l⊥m，l⊥β，m∥．‎ ‎∴m与β的位置关系是mβ或m∥β．‎ 故答案为：mβ或m∥β．‎ ‎【点评】本题考查线面关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2016秋•红桥区期中）经过点（﹣1，3）且平行于y轴的直线方程为　x=﹣1　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；演绎法；直线与圆．‎ ‎【分析】经过点M（﹣1，3）且平行于y轴的直线上所有点的横坐标为﹣1，于是得到此直线为x=﹣1．‎ ‎【解答】解：经过点M（﹣1，3）且平行于y轴的直线为x=﹣1．‎ 故答案为x=﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了坐标与图形性质，考查平行直线方程的求法，比较基础．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2016秋•红桥区期中）已知点A（﹣1，3），B（2，6），若在x轴上存在一点P满足|PA|=|PB|，则点P的坐标为　（5，0）　．‎ ‎【考点】两点间的距离公式．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；演绎法；直线与圆．‎ ‎【分析】设P（x，0），求出|PA|，|PB|，列出方程求解得到x的值，即可求出点P的坐标．‎ ‎【解答】解：设P（x，0），则，‎ ‎∴x=5，‎ ‎∴点P的坐标为（5，0），‎ 故答案为（5，0）．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查两点间距离公式的应用，考查计算能力，方程的思想．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎14．（12分）（2016秋•红桥区期中）完成下面问题：‎ ‎（1）求直线2x+5y﹣20=0分别在x轴、y轴上的截距；‎ ‎（2）求平行于直线x﹣y+2=0，且与它的距离为的直线的方程；‎ ‎（3）已知两点M（7，﹣1），N（﹣5，4），求线段MN的垂直平分线的方程．‎ ‎【考点】直线的一般式方程．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；直线与圆．‎ ‎【分析】（1）直接利用直线的一般式方程转化为求截距式方程，然后求解在x轴、y轴上的截距；‎ ‎（2）设出平行于直线x﹣y+2=0的直线方程，利用与它的距离为，求解直线的方程；‎ ‎（3）求出直线的斜率，中点坐标，利用点斜式求解即可．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）将2x+5y﹣20=0化为截距式+=1‎ 由此可知此直线在x轴、y轴上的截距分别为10与4‎ ‎（或直接令x=0，y=0得截距）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ ‎（2）因为所求直线平行于直线x﹣y+2=0‎ 所以可设所求直线方程为x﹣y+c=0‎ 这两条直线间的距离 d==‎ 解c=0或c=4‎ 直线方程为x﹣y=0或x﹣y+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ ‎（3）直线MN的斜率kMN==﹣‎ MN的垂直平分线的斜率k=﹣=‎ MN的中点坐标（1，）‎ 所以线段MN的垂直平分线的方程为y﹣=（x﹣1）‎ 整理得24x﹣10y﹣9=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎【点评】本题考查直线方程的求法与应用，是基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎15．（12分）（2016秋•红桥区期中）如图，棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N，E分别是棱A1B1，A1D1，C1D1的中点．‎ ‎（1）求证：AM∥平面NED；‎ ‎（2）求直线AM与平面BCC1B1所成角的正切值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离；空间角．‎ ‎【分析】（1）连结ME，证明ADEM为平行四边形，从而得到AM∥DE，即可证明AM∥平面NED；‎ ‎（2）取AB中点F，连结B1F，则B1F∥AM，AM与平面BCC1B1所成角即为B1F平面BCC1B1所成角，即可求出直线AM与平面BCC1B1所成角的正切值．‎ ‎【解答】（1）证明：连结ME﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）‎ ‎∵M、E分别是A1B1、D1C1中点 ‎∴A1D1∥ME，A1D1=ME 又∵A1D1∥AD，A1D1=AD ‎∴ME∥AD，ME=AD 故得平行四边形ADEM﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ ‎∴AM∥DE 又∵DE⊂平面NED AM⊄平面NED ‎∴AM∥平面NED﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）‎ ‎（2）解：取AB中点F，连结B1F，则B1F∥AM ‎∴AM与平面BCC1B1所成角即为B1F平面BCC1B1所成角．‎ ‎∵AB⊥平面BCC1B1‎ ‎∴∠FB1B是直线AM与平面BCC1B1所成角﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故直线AM与平面BCC1B1所成角的正切值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎【点评】本题考查证明线面平行的方法，求直线AM与平面BCC1B1所成角的正切值，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（12分）（2016秋•红桥区期中）点A（5，1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），关于原点的对称点为C（x2，y2）．‎ ‎（1）求△ABC中过BA，BC边上的中点所在的直线方程；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎【考点】直线的斜截式方程．‎ ‎【专题】方程思想；转化法；直线与圆．‎ ‎【分析】（1）求出B、C的坐标，从而求出直线方程即可；‎ ‎（2）求出AB、BC的值，求出三角形的面积即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（5，1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），‎ 故B（5，﹣1），‎ 关于原点的对称点为C（x2，y2），‎ 故C（﹣5，﹣1），‎ 故AB的中点是（，0），BC中点是（0，﹣1），‎ 过（，0），（0，﹣1）的直线方程是：‎ ‎=，‎ 整理得：2x﹣5y﹣5=0；‎ ‎（2）AB=|﹣1﹣1|=2，BC=|﹣5﹣5|=10，‎ ‎∵AB⊥BC，‎ ‎∴△ABC的面积S△ABC=AB•BC=×2×10=10．‎ ‎【点评】本题考查了对称点问题，考查求直线方程问题，考查三角形的面积，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2016秋•红桥区期中）三棱锥P﹣ABC中，已知PA=PB=PC=AC=4，BC=AB=2，O为AC中点．‎ ‎（1）求证：PO⊥平面ABC；‎ ‎（2）求异面直线AB与PC所成角的余弦值．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【专题】证明题；空间位置关系与距离；空间角．‎ ‎【分析】（1）直线垂直平面，只需要证明直线垂直平面内的两条相交直线即可．由题意，因为PA=PB=PC=AC=4，AC的中点O，连接OP，OB，易得：OP⊥AC，同理可证△ABC为Rt△，OP⊥OB，AC∩BO=O且AC、OB⊂面ABC可得OP⊥平面ABC．‎ ‎（2）利用O为AC中点，分别取PB，BC中点EF，连接OE，OF，EF，则AB∥OF，PC∥EF，故，∠EFO为异面直线AB与PC所成角．放在等腰三角形EOF即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）证明：由题意，∵PA=PB=PC=AC=4，AC的中点O，‎ 连接OP，OB，易得：OP⊥AC；‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴AC2=AB2+BC2，‎ 故得△ABC为Rt△，‎ ‎∴OB=OC=2，PB2=OB2+OP2，‎ ‎∴OP⊥OB．‎ 又∵AC∩BO=O且AC、OB⊂面ABC，‎ ‎∴OP⊥平面ABC；‎ ‎（2）分别取PB，BC中点EF，连接OE，OF，EF，‎ 则AB∥OF，PC∥EF，故，∠EFO为异面直线AB与PC所成角（或补角）‎ 由（Ⅰ）知在直角三角形POB中，，‎ 又，；‎ 在等腰三角形EOF中，．‎ 所以，异面直线AB与PC所成角的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧，此题是中低档题．‎