数学理卷·2018届福建省福州文博中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届福建省福州文博中学高二下学期期中考试（2017-04）

福州文博中学2016-2017学年 ‎ 高二年级下学期期中考试数学科（理）题目卷 命题人：池哲进 审核人：余光亮 ‎（完卷时间：120分钟，总分：150分）‎ 一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）‎ ‎1、复数（为虚数单位）的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、根据定积分的定义知=（ ）‎ ‎ A． B． C. D、 ‎ ‎3、设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的（ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．充要条件 C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4、下列等于1的积分是（ ）‎ ‎ A． B． C. D、‎ ‎5、函数的单调递减区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6、设曲线在点处的切线与直线垂直，则等于 (　 　)‎ A．2 B．－2 C. D．－ ‎7、等差数列中，是一个与无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎8、在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离 （ ）‎ ‎ A． B． C ． D．‎ ‎9、用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10、在中，角所对边分别为, 且，, ，则的面积为( )‎ A. B． C. D.‎ ‎11、设点P是双曲线（a＞0，b＞0）与圆＝在第一象限的交点， F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且｜PF1｜＝3｜PF2｜，则双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12、定义表示实数中的较大的数．已知数列满足 ，若，记数列的前项和为，则的值为（ ） ‎ ‎ A．7254 B．7255 C．7256 D．7257‎ ‎ ‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在答题卡作答）.‎ ‎13、 ． ‎ ‎14、某圆锥曲线是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点，，则圆锥曲线是 ． ‎ ‎15、已知ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为________．‎ ‎16、已知函数＝，其导函数记为，则＝ .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17、（本小题满分10分）在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且=-.‎ ‎（1）求角B的大小； （2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.‎ ‎18、（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，AB=1,BC=2,PA=2,E、F分别是AB、PC的中点． ‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAD； ‎ ‎（2）求证：CD⊥EF ‎（3）求EF与平面ABCD所成的角的大小． ‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 已知抛物线上一点M (,8) 到焦点F的距离是．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过F的直线与抛物线交于两点．是否存在一个定圆与以为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎20、（本小题满分12分）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？‎ ‎21．（本小题满分12分） ‎ 如图，直三棱柱中，，，D是AB中点．‎ ‎（Ⅰ）记平面平面，在图中作出，并说明画法；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎22、（本小题满分12分）已知函数,．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：.‎ 福州文博中学2016-2017学年 ‎ 高二年级下学期期中考试理科数学（答题卷）‎ ‎（完卷时间：120分钟，总分：150分）‎ 题号 一 二 三 总分 ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 得分 评卷教师 一、选择题：（本大题共12小题，每小题 5分，共 60分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A D C C B B D B A D D A 二、填空题：（本题共4小题，每小题5 分，共20分）‎ ‎13、 14、 双曲线 ‎ ‎ 15、 16、 2 ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分） ‎ 17. ‎（本小题满分10分） ‎ ‎1）由余弦定理知：cosB=，cosC=.‎ 将上式代入=-得:·=-‎ 整理得:a2+c2-b2=-ac∴cosB== =-‎ ‎∵B为三角形的内角，∴B=.………………6分 ‎（2）将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB ‎∴b2=16-2ac,∴ac=3.∴S△ABC=acsinB=.………………12分 ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎18、略 ‎19、考查抛物线的定义与焦半径的知识，焦点弦的性质，利用待定系数方法探究存在性问题，可以较好的考察学生的数学思维能力，数形结合能力及逻辑运算能力。‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）由抛物线定义得 又 …………………… 2分 ‎， 在抛物线上，， …………………………3分 解得（舍去）或， 所以抛物线的方程为. …………………………4分 ‎（Ⅱ）当直线的斜率存在，设直线的方程为,‎ 与抛物线交于点，‎ 联立化简得 ，……………………………………5分 显然，…………………………………………………………………6分 设的中点为,则， ………………7分 ‎，……………………………………………………………………8分 设圆的方程为，‎ ‎，………………………………………………9分 ‎，‎ ‎ …………………………………………………10分 定圆的方程为，……………………………………………………………11分 当直线的斜率不存在，以为直径的圆的方程为，‎ 该圆也与定圆内切.‎ 综上所求定圆的方程为. …………………………………………………12分 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一；‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为 ，与抛物线交于点.‎ ‎，化简得，……………………………………………6分 显然， ……………………………………………………………7分 设的中点为,则 , ……8分 ‎，…………………………………………………………9分 由抛物线的对称性可知，若定圆存在其圆心必在轴上，‎ 设圆的方程为，‎ ‎，…………………………………………10分 ‎，‎ ‎ ……………………………………………… 11分 所以定圆的方程为.……………………………………………………12分 解法三：‎ ‎（Ⅰ）同解法一；‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率存在，设直线的方程为,与抛物线交于点，‎ 化简得，………………………………5分 显然，………………………………………………………6分 设的中点为,则，…… 7分 ‎，由抛物线的对称性可知，若定圆存在其圆心必在轴上，‎ 设圆的方程为，，……9分 ‎，‎ ‎………………………………………………10分 定圆的方程为 ， …………………………………………………11分 当直线的斜率不存在，以为直径的圆的方程为，‎ 该圆也与定圆内切，‎ 综上所求定圆的方程为. ………………………………………12分 ‎20、分析：本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设的长度会比较简便。 ‎ 解：设,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）。‎ 于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：‎ ‎。‎ 帐篷的体积为（单位：m3）：‎ 求导数，得；‎ 令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。‎ 当1

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