2018版高考文科数学(北师大版)一轮文档讲义:章2-7函数的图像

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2018版高考文科数学(北师大版)一轮文档讲义:章2-7函数的图像

第7讲 函数的图像 最新考纲 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数;2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质,并运用函数的图像解简单的方程(不等式)问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.利用描点法作函数的图像 步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.‎ ‎2.利用图像变换法作函数的图像 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 y=f(x)的图像y=-f(x)的图像;‎ y=f(x)的图像y=f(-x)的图像;‎ y=f(x)的图像y=-f(-x)的图像;‎ y=ax(a>0,且a≠1)的图像y=logax(a>0,且a≠1)的图像.‎ ‎(3)伸缩变换 y=f(x)y=f(ax).‎ y=f(x)y=Af(x).‎ ‎(4)翻转变换 y=f(x)的图像y=|f(x)|的图像;‎ y=f(x)的图像y=f(|x|)的图像.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 ‎(1)函数y=f(1-x)的图像,可由y=f(-x)的图像向左平移1个单位得到.(  )‎ ‎(2)函数y=f(x)的图像关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于y轴对称.(  )‎ ‎(3)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图像与y=|f(x)|的图像相同.(  )‎ ‎(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图像关于直线x=1对称.(  ) ‎ 解析 (1)y=f(-x)的图像向左平移1个单位得到y=f(-1-x),故(1)错.‎ ‎(2)两种说法有本质不同,前者为函数自身关于y轴对称,后者是两个函数关于y轴对称,故(2)错.‎ ‎(3)令f(x)=-x,当x∈(0,+∞)时,y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=-x,两函数图像不同,故(3)错.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√                  ‎ ‎2.函数f(x)的图像向右平移1个单位长度,所得图像与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)的解析式为(  )‎ A.f(x)=ex+1 B.f(x)=ex-1‎ C.f(x)=e-x+1 D.f(x)=e-x-1‎ 解析 依题意,与曲线y=ex关于y轴对称的曲线是y=e-x,于是f(x)相当于y=e-x向左平移1个单位的结果,∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1.‎ 答案 D ‎3.(2016·浙江卷)函数y=sin x2的图像是(  )‎ 解析 ∵y=sin(-x)2=sin x2,‎ ‎∴函数为偶函数,可排除A项和C项;‎ 当x=时,sin x2=sin≠1,排除B项,只有D满足.‎ 答案 D ‎4.若函数y=f(x)在x∈[-2,2]的图像如图所示,则当x∈[-2,2]时,f(x)+f(-x)=________.‎ 解析 由于y=f(x)的图像关于原点对称∴f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0.‎ 答案 0‎ ‎5.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是________.‎ 解析 ‎ 在同一个坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图像,如图所示.由图像知当a>0时,方程|x|=a-x只有一个解.‎ 答案 (0,+∞)‎ 考点一 作函数的图像                   ‎ ‎【例1】 作出下列函数的图像:‎ ‎(1)y=|x|;(2)y=|log2(x+1)|;‎ ‎(3)y=; (4)y=x2-2|x|-1.‎ 解 (1)先作出y=x的图像,保留y=x图像中x≥0的部分,再作出y=x的图像中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=|x|的图像,如图①实线部分.‎ ‎(2)将函数y=log2x的图像向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x 轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图像,如图②.‎ ‎(3)∵y=2+,故函数图像可由y=图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位即得,如图③.‎ ‎(4)∵y=且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图像,再根据对称性作出(-∞,0)上的图像,得图像如图④.‎ 规律方法 画函数图像的一般方法 ‎(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图像的关键点直接作出.‎ ‎(2)图像变换法.若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到,可利用图像变换作出,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.‎ ‎【训练1】 分别画出下列函数的图像:‎ ‎(1)y=|lg x|;(2)y=sin |x|.‎ 解 (1)∵y=|lg x|= ‎∴函数y=|lg x|的图像,如图①.‎ ‎(2)当x≥0时,y=sin|x|与y=sin x的图像完全相同,又y=sin|x|为偶函数,图像关于y轴对称,其图像如图②.‎ 考点二 函数图像的辨识 ‎【例2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图像大致为(  )‎ ‎(2)(2015·全国Ⅱ卷)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为(  )‎ 解析 (1)f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数,‎ 又f(2)=8-e2∈(0,1),排除选项A,B.‎ 设g(x)=2x2-ex,x≥0,则g′(x)=4x-ex.‎ 又g′(0)<0,g′(2)>0,∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,∴f(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C,故选D.‎ ‎(2)当x∈时,f(x)=tan x+,图像不会是直线段,从而排除A,C.‎ 当x∈时,f=f=1+,‎ f=2.∵2<1+,‎ ‎∴f0,∴a>1.‎ 则函数g(x)=|ax-2|的图像是由函数y=ax的图像向下平移2个单位,然后将x轴下方的图像翻折到x轴上方得到的,故选D.‎ 答案 (1)B (2)D 考点三 函数图像的应用(多维探究)‎ 命题角度一 研究函数的零点 ‎【例3-1】 已知f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是________.‎ 解析 ‎ 由2f2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1‎ 作出函数y=f(x)的图像.‎ 由图像知y=与y=f(x)的图像有2个交点,y=1与y=f(x)的图像有3个交点.‎ 因此函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点有5个.‎ 答案 5‎ 命题角度二 求不等式的解集 ‎【例3-2】 函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图像如图所示,那么不等式<0的解集为________.‎ 解析 当x∈时,y=cos x>0.‎ 当x∈时,y=cos x<0.‎ 结合y=f(x),x∈[0,4]上的图像知,当1<x<时,<0.‎ 又函数y=为偶函数,‎ ‎∴在[-4,0]上,<0的解集为,‎ 所以<0的解集为∪.‎ 答案 ∪                   ‎ 命题角度三 求参数的取值或范围 ‎【例3-3】 (2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图像上;‎ ‎②P,Q关于原点对称,则称(P,Q)是函数y=f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)=有两个“伙伴点组”,则实数k 的取值范围是(  )‎ A.(-∞,0) B.(0,1)‎ C. D.(0,+∞)‎ 解析 依题意,“伙伴点组”的点满足:都在y=f(x)的图像上,且关于坐标原点对称.‎ 可作出函数y=-ln(-x)(x<0)关于原点对称的函数y=ln x(x>0)的图像,‎ 使它与直线y=kx-1(x>0)的交点个数为2即可.‎ 当直线y=kx-1与y=ln x的图像相切时,设切点为(m,ln m),‎ 又y=ln x的导数为y′=,‎ 则km-1=ln m,k=,解得m=1,k=1,‎ 可得函数y=ln x(x>0)的图像过(0,-1)点的切线的斜率为1,‎ 结合图像可知k∈(0,1)时两函数图像有两个交点.‎ 答案 B 规律方法 (1)利用函数的图像研究函数的性质,一定要注意其对应关系,如:图像的左右范围对应定义域,上下范围对应值域,上升、下降趋势对应单调性,对称性对应奇偶性.‎ ‎(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围):构造函数,转化为两函数图像的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数的图像,数形结合求解.‎ ‎(3)研究不等式的解:当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图像可作出时,常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.‎ ‎【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=(  )‎ A.-1 B.1 C.2 D.4‎ ‎(2)‎ 已知函数y=f(x)的图像是圆x2+y2=2上的两段弧,如图所示,则不等式f(x)>f(-x)-2x的解集是________.‎ 解析 (1)设(x,y)是函数y=f(x)图像上任意一点,它关于直线y=-x的对称点为(-y,-x),由y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称,可知(-y,-x)在y=2x+a的图像上,即-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,所以f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1,解得a=2,选C.‎ ‎(2)由图像可知,函数f(x)为奇函数,故原不等式可等价转化为f(x)>-x.‎ 在同一直角坐标系中分别画出y=f(x)与y=-x的图像,由图像可知不等式的解集为(-1,0)∪(1,].‎ 答案 (1)C (2)(-1,0)∪(1,]‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.识图 对于给定函数的图像,要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图像与函数解析式中参数的关系.‎ ‎2.用图 借助函数图像,可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图像,还可以判断方程f(x)=g(x)的解的个数,求不等式的解集等.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.图像变换是针对自变量x而言的,如从f(-2x)的图像到f(-2x+1)的图像是向右平移个单位,先作如下变形f(-2x+1)=f,可避免出错.‎ ‎2.明确一个函数的图像关于y轴对称与两个函数的图像关于y轴对称的不同,前者是自身对称,且为偶函数,后者是两个不同函数的对称关系.‎ ‎3.当图形不能准确地说明问题时,可借助“数”的精确,注重数形结合思想的运用.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时:40分钟)                   ‎ 一、选择题 ‎1.为了得到函数y=2x-2的图像,可以把函数y=2x图像上所有的点(  )‎ A.向右平行移动2个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度 C.向左平行移动2个单位长度 D.向左平行移动1个单位长度 解析 因为y=2x-2=2(x-1),所以只需将函数y=2x的图像上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y=2(x-1)=2x-2的图像.‎ 答案 B ‎2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图像是(  )‎ 解析 小明匀速运动时,所得图像为一条直线,且距离学校越来越近,排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,排除B.故选C.‎ 答案 C ‎3.(2015·浙江卷)函数f(x)=cos x(-π≤x≤π且x≠0)的图像可能为(  )‎ 解析 (1)因为f(-x)=cos(-x)=-cos x=-f(x),-π≤x≤π且x≠‎ ‎0,所以函数f(x)为奇函数,排除A,B.当x=π时,f(x)=cos π<0,排除C,故选D.‎ 答案 D ‎4.(2017·安庆一调)函数y=(x3-x)2|x|的图像大致是(  )‎ 解析 由于函数y=(x3-x)2|x|为奇函数,故它的图像关于原点对称.当01时,y>0.‎ 排除选项A,C,D,选B.‎ 答案 B ‎5.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是(  )‎ A.(-1,0) B.[-1,0) C.(-2,0) D.[-2,0)‎ 解析 在同一坐标系内作出y=log2(-x),y=x+1的图像,知满足条件的x∈(-1,0),故选A.‎ 答案 A 二、填空题 ‎6.已知函数f(x)的图像如图所示,则函数g(x)=logf(x)的定义域是________.‎ 解析 当f(x)>0时,‎ 函数g(x)=logf(x)有意义,由函数f(x)的图像知满足f(x)>0的x∈(2,8].‎ 答案 (2,8]‎ ‎7.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为________.‎ 解析 当-1≤x≤0时,设解析式为y=kx+b(k≠0).‎ 则得∴y=x+1.‎ 当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1(a≠0).‎ ‎∵图像过点(4,0),∴0=a(4-2)2-1,得a=.‎ 答案 f(x)= ‎8.设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是________.‎ 解析 ‎ 如图作出函数f(x)=|x+a|与g(x)=x-1的图像,观察图像可知:当且仅当-a≤1,即a≥-1时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,因此a的取值范围是[-1,+∞).‎ 答案 [-1,+∞)‎ 三、解答题 ‎9.已知函数f(x)= ‎(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图像;‎ ‎(2)写出f(x)的单调递增区间;‎ ‎(3)由图像指出当x取什么值时f(x)有最值.‎ 解 ‎ ‎(1)函数f(x)的图像如图所示.‎ ‎(2)由图像可知,‎ 函数f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5].‎ ‎(3)由图像知当x=2时,f(x)min=f(2)=-1,‎ 当x=0时,f(x)max=f(0)=3.‎ ‎10.已知f(x)=|x2-4x+3|.‎ ‎(1)作出函数f(x)的图像;‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间,并指出其单调性;‎ ‎(3)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}.‎ 解 ‎ ‎(1)当x2-4x+3≥0时,x≤1或x≥3,∴f(x)=‎ ‎∴f(x)的图像为:‎ ‎(2)由函数的图像可知f(x)的单调区间是(-∞,1],(2,3),(1,2],[3,+∞),其中(-∞,1],(2,3)是减区间;(1,2],[3,+∞)是增区间.‎ ‎(3)由f(x)的图像知,当00‎ C.f(x1)-f(x2)>0 D.f(x1)-f(x2)<0‎ 解析 ‎ 函数f(x)的图像如图所示:‎ 且f(-x)=f(x),从而函数f(x)是偶函数且在[0,+∞)上是增函数.‎ 又0<|x1|<|x2|,‎ ‎∴f(x2)>f(x1),‎ 即f(x1)-f(x2)<0.‎ 答案 D ‎12.(2015·安徽卷)函数f(x)=的图像如图所示,则下列结论成立的是(  )‎ A.a>0,b>0,c<0‎ B.a<0,b>0,c>0‎ C.a<0,b>0,c<0‎ D.a<0,b<0,c<0‎ 解析 函数定义域为{x|x≠-c},结合图像知-c>0,‎ ‎∴c<0.‎ 令x=0,得f(0)=,又由图像知f(0)>0,∴b>0.‎ 令f(x)=0,得x=-,结合图像知->0,∴a<0.‎ 答案 C ‎13.已知函数f(x)=若对任意的x∈R,都有f(x)≤|k-1|成立,则实数k的取值范围为________.‎ 解析 对任意x∈R,都有f(x)≤|k-1|成立,即f(x)max≤|k-1|.‎ 因为f(x)的草图如图所示,‎ 观察f(x)= 的图像可知,当x=时,函数f(x)max=,‎ 所以|k-1|≥,解得k≤或k≥.‎ 答案 ∪ ‎14.已知函数f(x)的图像与函数h(x)=x++2的图像关于点A(0,1)对称.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)若g(x)=f(x)+,g(x)在区间(0,2]上的值不小于6,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)设f(x)图像上任一点坐标为(x,y),‎ ‎∵点(x,y)关于点A(0,1)的对称点(-x,2-y)在h(x)的图像上,‎ ‎∴2-y=-x++2,‎ ‎∴y=x+,即f(x)=x+.‎ ‎(2)由题意g(x)=x+,‎ 且g(x)=x+≥6,x∈(0,2].‎ ‎∵x∈(0,2],∴a+1≥x(6-x),即a≥-x2+6x-1.‎ 令q(x)=-x2+6x-1,x∈(0,2],‎ q(x)=-x2+6x-1=-(x-3)2+8,‎ ‎∴当x∈(0,2]时,q(x)是增函数,q(x)max=q(2)=7.‎ 故实数a的取值范围是[7,+∞).‎ 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎
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