2019高三数学（人教A版 文）一轮重点强化训练2 平面向量

2019高三数学（人教A版 文）一轮重点强化训练2 平面向量

重点强化训练(二)　平面向量 ‎ (对应学生用书第265页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2017·石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是 (　　)‎ A．a＋b＝0‎ B．a＝b C．a与b共线反向 ‎ D．存在正实数λ，使a＝λb D　[因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．]‎ ‎2．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　) 【导学号：79170149】‎ A．－1　　　　 B．1　　　　‎ C．　　　　 D．2‎ B　[因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝.‎ 展开(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，‎ 即0－(a＋b)·c＋1≤0，整理，得(a＋b)·c≥1.‎ 而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，‎ 所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.‎ 所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.]‎ ‎3．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 D　[若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．]‎ ‎4．在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，若|＋|＝，α∈(0，π)，则与的夹角为(　　)‎ A． B． ‎ C．π D．π A　[由题意，得＋＝(3＋cos α，sin α)，‎ 所以|＋|＝ ‎＝＝，‎ 即cos α＝，‎ 因为α∈(0，π)，所以α＝，C.‎ 设与的夹角为θ，‎ 则cos θ＝＝＝.‎ 因为θ∈[0，π]，所以θ＝.]‎ ‎5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝，则·的值是 (　　)‎ A．－ B． C．－ D．0‎ A　[取AB的中点C，连接OC，AB＝，‎ 则AC＝，又因为OA＝1，‎ 所以sin＝sin∠AOC＝＝，‎ 所以∠AOB＝120°，‎ 则·＝1×1×cos 120°＝－.]‎ 二、填空题 ‎6．设O是坐标原点，已知＝(k,12)，＝(10，k)，＝(4,5)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为________．‎ ‎11或－2　[由题意得＝－＝(k－4,7)，‎ ＝－＝(6，k－5)，‎ 所以(k－4)(k－5)＝6×7，‎ k－4＝7或k－4＝－6，即k＝11或k＝－2.]‎ ‎7．(2018·黄冈模拟)已知两个平面向量a，b满足|a|＝1，|a－2b|＝，且a与b的夹角为120°，则|b|＝________. 【导学号：79170150】‎ ‎2　[由|a－2b|＝得a2－4a·b＋4b2＝21.‎ 即1＋2|b|＋4|b|2＝21，解得|b|＝2或|b|＝－(舍)．]‎ ‎8．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·＝________.‎ ‎－25　[由||2＋||2＝||2得∠B＝90°，cos C＝，cos A＝，·＝0，·＝4×5×＝－16，·＝5×3×＝－9，所以·＋·＋·＝－25.]‎ 三、解答题 ‎9．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＝n＝，求||；‎ ‎(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．‎ ‎[解]　(1)∵m＝n＝，＝(1,2)，＝(2,1)，‎ ‎∴＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)， 3分 ‎∴||＝＝2. 5分 ‎ (2)∵＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，‎ ‎∴ 8分 两式相减，得m－n＝y－x.‎ 令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1. 12分 ‎10．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.‎ ‎(1)若|a|＝|b|，求x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．‎ ‎ 【导学号：79170151】‎ ‎[解]　(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，‎ ‎|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，‎ 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 3分 又x∈，从而sin x＝，所以x＝. 5分 ‎(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ‎＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 8分 当x＝∈时，sin取最大值1.‎ 所以f(x)的最大值为. 12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2018·兰州模拟)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，设＝a，＝b，＝ma－2b，若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则m＝(　　)‎ ‎ 【导学号：79170152】‎ A．－4 B．3 ‎ C．－11 D．10‎ C　[a·b＝2×3×cos 60°＝3，‎ ＝－＝b－a，＝－OA＝(m－1)a－2B．‎ ‎∵AB⊥AC，∴·＝0，‎ 即(b－a)·[(m－1)a－2b]＝0，‎ ‎∴(1－m)a2－2b2＋(m－1)a·b＋2a·b＝0，‎ 即4(1－m)－18＋3(m－1)＋6＝0，‎ 解得m＝－11.故选C．]‎ ‎2．如图2，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．‎ 图2‎ ‎9　[由平面向量的数量积的几何意义知，·等于与在方向上的投影之积，所以(·)max＝·＝·(＋)＝2＋2＋·＝9.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos， 2分 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z). 5分 ‎(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，‎ ‎∴cos＝－1. 7分 又<2A＋<，∴2A＋＝π，即A＝. 9分 ‎∵a＝，‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7. ①‎ ‎∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，‎ ‎∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c， ②‎ 由①②可得b＝3，c＝2. 12分