2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第3编高考题型大突破-3 10大模板规范解答题
第三讲 10大模板规范解答题
题型地位
解答题作为高考数学试卷的最后一道大题，通常有六道题，分值为70分，约占总分的一半，其得分直接决定了高考中数学的成败．如果说客观题是得分的基础，那么解答题就是提高得分的保障，而且在每年的数学试卷中解答题的题型具有延续性，因此在备考复习中要加强高考题型的针对性训练．
题型特点
首先，解答题应答时不仅要得出最后的结论，还要写出解答过程的主要步骤，给出合情合理的说明；其次，解答题的内涵丰富，考点相对较多，综合性强，区分度高，难度较大．
解题策略
(1)常见失分原因及应对办法：
①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题、快做题；
②公式记忆不牢，一定要熟记公式、定理、性质等；
③解题步骤不规范，一定要按课本要求的步骤去解答，否则会因不规范答题失分，应避免“对而不全”，如解概率题，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或只给出单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；
④计算能力差、失分多，会做的一定不能放过，不能一味求快，例如平面解析几何中的圆锥曲线问题就要求有较强的运算能力；
⑤不要轻易放弃试题，难题不会做，可分解成小问题，分步解决，如将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，也许随着这些小步骤的罗列，还能产生解题的灵感．
(2)怎样才能分段给分：
对于同一道题目，有的人理解得深，有的人理解得浅；有的人解决得多，有的人解决得少，为了区分这种情况，高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分．这种方法我们叫“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分，与之对应的“分段得分”的基本精神是会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分，分段得分的方法有以下几种：
①缺步解答；
②跳步解答；
③辅助解答；
④退步解答．
总之，解解答题的基本原则是“步步为营”．
模板一 三角函数的图象与性质
[2016·山东淄博实验中学模拟]已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少有10个零点，求b的最小值．
审题视角 (1)利用恒等变换将f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再结合正弦函数的性质求解．(2)由平移得到g(x)的解析式，再通过解方程求出[0，π]上零点个数，结合周期确定b的取值．
解 (1)f(x)＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx－
＝sin2ωx－cos2ωx
＝2sin，
由函数的最小正周期为π，得ω＝1，
所以f(x)＝2sin，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin2x＋1的图象，
所以g(x)＝2sin2x＋1.
令g(x)＝0，
得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，
所以y＝g(x)在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标，即b的最小值为4π＋＝.
构建解题程序 第一步：运用三角恒等变换，将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)
的形式.,第二步：将ωx＋φ视为一个整体，代入y＝sint的单调区间内求解x的范围.,第三步：结合函数图象的平移得出g(x)的表达式.,第四步：通过解方程得出其一个周期内的零点个数，再结合其周期性求出b的最小值.
批阅笔记 1.①本题第(1)问的关键为三角恒等变换及整体的应用意识.
②第(2)问注意平移的相关应用，结合周期性求出结论.
2.本题易错点：①公式变换与平移变换不准确而得不出正确的解析式造成错解.
②不能由一个周期内的零点个数转化到所给区间[0，b]上.
模板二 三角变换与解三角形
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.
(1)求角C的大小；
(2)求sinA－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小；
(3)若a2＋c2－b2＝ac，且c＝2.求△ABC的面积．
审题视角 (1)由边化角，完成边角转化．(2)正、逆用两角和的正、余弦公式，将sinA－cos化为正弦型函数，根据三角函数性质，求角A、B.(3)由余弦定理，求B进而求A，得到S△ABC的值．
解 (1)∵csinA＝acosC，由正弦定理，得sinCsinA＝sinAcosC.
又0
0，从而sinC＝cosC.
又cosC≠0，∴tanC＝1.又C∈(0，π)，则C＝.
(2)由(1)知，B＝π－A，B＋＝π－A，则sinA－cos＝sinA－cos(π－A)＝sinA＋cosA＝2sin.
因为00(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
审题视角 (1)→→→
(2)→→
→
解 (1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，∴an＝2Sn－1＋1(n∈N*，n≥2)．
∵an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝2an，
∴an＋1＝3an(n∈N*，n≥2)．而a2＝2a1＋1＝3，
∴a2＝3a1.
∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列．
∴an＝3n－1(n∈N*)．
∴a1＝1，a2＝3，a3＝9.
在等差数列{bn}中，
∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.
又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，
则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2.
∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2.
∵bn>0(n∈N*)，∴舍去d＝－10，取d＝2.
∴b1＝3，∴bn＝2n＋1(n∈N*)．
(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①
∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n.②
∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n
＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n
＝3＋2×－(2n＋1)3n
＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n，∴Tn＝n·3n.
构建解题程序 第一步：令n＝1，由Sn＝f(an)求出a1.
第二步：令n≥2，构造an＝Sn－Sn－1，用an代换Sn－Sn－1(或用Sn－Sn－1代换an，这要结合题目特点)，由递推关系求通项．
第三步：验证当n＝1时的结论是否适合当n≥2时的结论．如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示．
第四步：写出明确规范的答案．
第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．本题的易错点，易忽略对n＝1和n≥2分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合并．
批阅笔记 1.本题第(1)问利用Sn与an的关系，根据递推关系式可得an与an＋1的关系，从而判断{an}是等比数列可求其通项公式；而{bn}中可设出公差d利用题中条件解方程组得b1，d，即知{bn}的通项公式．第(2)问根据{an，bn
}的通项公式特点可知求其和Tn时用错位相减法．
2．本题易错点：①第(1)问求an时忘记检验a2与a1的关系即n＝1时的情况，且求{bn}的公差d时忽略bn>0从而导致多解．②第(2)问用错位相减法时容易发生计算失误，尤其是项数和项的符号.
模板四 概率与统计
某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
(a，b)，(a，)，(a，b)，(，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(，)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，b)
其中a，分别表示甲组研发成功和失败；b，分别表示乙组研发成功和失败．
(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．
审题视角 第(1)问，直接利用方差的公式求解；第(2)问，利用古典概型的概率公式求解．
解 (1)甲组研发新产品的成绩为
1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1.
其平均数为甲＝＝；
方差为s＝＝.
乙组研发新产品的成绩为
1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1.
其平均数为乙＝＝；
方差为s＝＝.
因为甲>乙，s)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
审题视角 (1)用待定系数法求解即可；(2)把几何条件转化为坐标关系，得出关于直线l的斜率的不等式，求之即可．
解 (1)设F(c,0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2，
又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．设B(xB，yB)，
由方程组消去y，
整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
解得x＝2，或x＝，由题意得xB＝，从而yB＝.
由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有＝(－1，yH)，＝.由BF⊥HF，得·＝0，所以＋＝0，解得yH＝.因此直线MH的方程为y＝－x＋.
设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM＝.在△MAO中，∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|，即(xM－2)2＋y≤x＋y，化简得xM≥1，即≥1，解得k≤－，或k≥.
所以，直线l的斜率的取值范围为∪.
构建解题程序 第一步：利用待定系数法设出椭圆方程，利用条件进行求解．
第二步：设出直线方程(注意对斜率k的讨论)，与椭圆方程联立，由韦达定理得出B点坐标．
第三步：依据BF⊥HF得出点H坐标，进而可设出MH的直线方程．
第四步：用k表示出点M的坐标，将∠MOA≤∠MAO转化出|MA|≤|MO|即可得到关于k的不等式关系．
第五步：通过解不等式即可求出直线l斜率的取值范围．
批阅笔记 1.本题第(1)问的关键是利用＋＝得出a与c的关系式，再由关系式a2－c2＝b2可求出a的取值．
第(2)问是设出直线方程与椭圆方程联立，顺次求出点B、H、M的坐标，转化∠MOA≤∠MAO条件构建不等式进行求解．
2．本题易错点：①第(1)问不能正确利用a，b，c的关系准确求出椭圆方程造成后继过程不得分．
②第(2)问的运算量较大，涉及到的点比较多，容易造成运算上的失误；此外，对条件∠MOA≤∠MAO不能转化成边的关系，进而构造不出相应的不等式关系，以至于无法进行运算求解.
模板七 解析几何中的探索性问题
已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
(1)若线段AB中点的横坐标是－，求直线AB的方程；
(2)在x轴上是否存在点M，使·为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
审题视角 设AB的方程y＝k(x＋1)→待定系数法求k→写出方程；设M存在即为(m,0)→求·→在·为常数的条件下求m.
解 (1)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，
将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由线段AB中点的横坐标是－，
得＝－＝－，解得k＝±，适合①.
所以直线AB的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
(2)假设在x轴上存在点M(m,0)，使·为常数．
(ⅰ)当直线AB与x轴不垂直时，由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.③
所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)·(x1＋x2)＋k2＋m2.
将③代入，整理得·＝＋m2＝＋m2＝m2＋2m－－.
注意到·是与k无关的常数，
从而有6m＋14＝0，m＝－，
此时·＝.
(ⅱ)当直线AB与x轴垂直时，此时点A、B的坐标分别为、，当m＝－时，也有·＝.
综上，在x轴上存在定点M，使·为常数．
构建解题程序 第一步：假设结论存在．
第二步：以存在为条件，进行推理求解．
第三步：明确规范表述结论．若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设．
第四步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．
如本题中第(1)问容易忽略Δ>0这一隐含条件．第(2)问易忽略直线AB与x轴垂直的情况．
批阅笔记 1.第(1)问设出直线AB的斜率k，写出AB的方程与椭圆联立，通过韦达定理可得出AB的中点横坐标，从而求出k.即得AB方程．第(2)问先假设存在M，再利用·为常数，探索M点的坐标，所谓·为常数，是指与AB的位置无关的定值．
2．本题易错点：①第(1)问利用＝－求出k未检验Δ>0.
②第(2)问未对AB的斜率存在与否进行讨论，或不能正确理解·为常数这一条件.
模板八 圆锥曲线中的定值(定点)问题
椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2.若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．
审题视角 (1)依据题意可建立关于a与b的方程组；(2)利用角平分线上的点满足的性质，将m用P点横坐标进行表示，然后依据P点横坐标的范围求出m的范围；也可利用角平分线定理求解；(3)采用直接推理的方法，用P点坐标表示，并在计算过程中消去，得出所求定值．
解 (1)由于c2＝a2－b2，
将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±.
由题意知＝1，即a＝2b2.又e＝＝，
所以a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)解法一：设P(x0，y0)(y0≠0)，
又F1(－，0)，F2(，0)，
所以直线PF1，PF2的方程分别为
lPF1：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，
lPF2：y0x－(x0－)y－y0＝0.
由题意知＝
由于点P在椭圆上，所以＋y＝1.
所以＝ .
因为－1.
(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若a＝2，求函数f(x)的极小值；
(3)若方程(2x－m)ln x＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，求实数m
的取值范围．
审题视角 (1)求导，由f′(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立进行求解；(2)f′(x)＝0的根进行验证确定函数的极值点，进而求出极值；(3)将方程根的问题转化为图象交点个数的问题．
解 (1)f′(x)＝＋a，由题意可得f′(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立，
∴a≤－＝2－.
∵x∈(1，＋∞)，∴ln x∈(0，＋∞)，
∴当－＝0时函数t＝2－的最小值为－，
∴a≤－.
(2)当a＝2时，f(x)＝＋2x，f′(x)＝，
令f′(x)＝0得2ln2 x＋ln x－1＝0，
解得ln x＝或ln x＝－1(舍)，即x＝e.
当1e时，f′(x)>0，
∴f(x)的极小值为f(e)＝＋2e＝4e.
(3)将方程(2x－m)ln x＋x＝0两边同除以ln x得(2x－m)＋＝0，
整理得＋2x＝m，
即函数g(x)＝＋2x的图象与函数y＝m的图象在(1，e]上有两个不同的交点．
由(2)可知，g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，e]上单调递增，g(e)＝4e，g(e)＝3e，当x→1时，→＋∞，
∴4e0时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，
因为函数g(x)在区间(1,2)上不单调，
所以1<<2，解得1，即k>时，
当x∈(0，ln (6k))时，φ′(x)＝x(ex－6k)<0，函数φ(x)即h′(x)单调递减，
所以当x∈(0，ln (6k))时，h′(x)
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