2019届合肥一模理科数学(解析版)

2019届合肥一模理科数学(解析版)

1 合肥市 2019 届高三第一次教学质量检测 数学试题(理科) (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位， 4 1 iz   ，则复数z 的虚部为（ ） A． 2i B．2i C．2 D． 2 1．答案：D 解析： 4 4(1 i) 2 2i1 i (1 i)(1 i)z       ，所以复数z 的虚部为 2 ． 2．集合 2{ | 2 }, { | 1 0}A x x x B x x     ≤0 ，则 A B  （ ） A．{ | 1}x x  B．{ | 1 1}x x ≤ C．{ | 2}x x ≤ D．{ | 2 1}x x ≤ 2．答案：C 解析： 2{ | 2 } { | ( 1)( 2) 0} { | 1 2}, { | 1}A x x x x x x x x B x x         ≤0 ≤ ≤ ≤ ， 所以 { | 2}A B x x ≤ 3．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值为（ ） A．63 B．47 C．23 D．7 3．答案：C 解析： 7, 1n i   否 2 7 1 15 2n i        否，是 15 1 11 3n i      否，否 2 11 1 23 4n i        是，输出 23n  ． 4．已知正项等差数列{ }na 的前n 项和为 nS (n N  )， 2 5 7 6 0a a a   ，则 11S 的值为（ ） A．11 B．12 C．20 D．22 4．答案：D 解析： 2 2 5 7 6 6 62 0a a a a a     ，又因为 6 0a  ，所以 6 11 62, 11 22a S a   ． 5．已知偶函数 ( )f x 在[0 ) ， 上单调递增，则对实数a b， ，“a b ”是“ ( ) ( )f a f b ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．答案：A 2 解析：因为偶函数 ( )f x 在[0 ) ， 上单调递增，所以 ( ) ( )f a f b a b   ， 因为a b a b   ，而 a b a b   ，所以“a b ”是“ ( ) ( )f a f b ”的充分不必要条件． 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业 者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） 注：90 后指1990 年及以后出生，80 后指1980-1989 年之间出生，80 前指1979 年及以前出生． A．互联网行业从业人员中90 后占一半以上 B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20% C．互联网行业中从事运营岗位的人数90 后比80 前多 D．互联网行业中从事技术岗位的人数90 后比80 后多 6．答案：D 解析：互联网行业从业人员中90 后占56%，超过一半，A 正确； 90 后且从事技术岗位的人数占比为0.56 0.396 0.22176 0.2   ，故互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人 数的20%，B 正确； 90 后且从事运营岗位的占比为0.56 0.17 0.0952 0.03   ，所以互联网行业中从事运营岗位的人数90 后比80 前 多，C 正确； 90 后且从事技术岗位的人数占比为0.56 0.396 0.22176 0.41   ，所以D 错误． 7．平面 外有两条直线a ，b ，它们在平面 内的射影分别是直线m ，n ，则下列命题正确的是（ ） A．若a b ，则m n B．若m n ，则a b C．若 / /m n ，则 //a b D．若m 和n 相交，则a 和b 相交或异面 7．答案：D 解析：直线a 在过直线m 且垂直于平面 的平面内，直线b 在过直线n 且垂直于平面 的平面内，所以选项A，B， C 显然错误，若m 和n 相交，则直线a 和b 分别在两个相交平面内，所以a 和b 相交或异面，D 正确． 8．若 61ax x     展开式的常数项为60，则a 的值为（ ） A．4 B． 4 C．2 D． 2 8．答案：D 解析： 61ax x     展开式中的常数项为 4 4 2 2 6 1( ) 15 60C ax a x        ，解得 2a   ． 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A．2 5 4 2 10  B． 4 3 C．8 3 D．16 3 9．答案：C 3 解析：该几何体是一个三棱锥，其体积 1 1 8( 2 4) 23 2 3V       ． 10．某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5 的五个小球，每次摸奖 需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束； 若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球．若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖．按照这 样的规则摸奖，中奖的概率为（ ） A． 4 5 B．19 25 C． 23 50 D． 41 100 10．答案：C 解析：第一次摸球中奖的概率为 1 2 5 4 2 5P C  ，第一次不中奖而第二次中奖的概率为 2 2 5 3 1 3 5 50P C   ， 所以所求概率 1 2 2 3 23 5 50 50P P P     ． 11．设双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b  ( 0 0a b ， )的左、右焦点分别为 1 2F F， ，过 1F 的直线分别交双曲线左右两支于 点M N， ，连结 2 2MF NF， ，若 2 2 0MF NF    ， 2 2MF NF   ，则双曲线C 的离心率为（ ） A． 2 B． 3 C． 5 D． 6 11．答案：B 解析：如图，设 1MF t ，则 2 2 12 , 2 , 4 , 4MF t a NF t a MF t a MN a       ，因为 2MNF△ 是等腰 直角三角形，所以4 2( 2 )a t a  ，解得 (2 2 2)t a  ，在 1 2MF F△ 中，由余弦定理可得： 2 2 2 1 2 1 2 1 22 cos135F F MF MF MF MF     ，即 2 2 2 2 24 (12 8 2) 8 (8 2 8) 12c a a a a      ， 所以 3c a ，离心率 3ce a  ． M F2F1 O N 12．已知函数 2( ) 2 lnf x ax x x   有两个不同的极值点 1 2x x， ，若不等式 1 2( ) ( )f x f x   恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A．[ 3, )  B．(3, ) C．[ , )e  D．( , )e  12．答案：A 解析： 21 2 2 1( ) 2 2 ( 0)ax xf x ax xx x        ，因为 ( )f x 有两个不同的极值点 1 2,x x ，则方程 22 2 1 0ax x   有两个不同的正根， 4 则 1 2 1 2 4 8 0 1 10 0 2 1 02 a x x aa x x a                 ， 2 2 1 1 2 2 1 1,2 2ax x ax x     ， 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1( ) ( ) 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln2 2f x f x ax x x ax x x x x x x x x               1 2 1 2 1 1( ) ln( ) 1 ln 2 1 ln 2 1x x x x a aa a                 ， 设 1 1( ) ln(2 ) 1 (0 )2g x x xx     ，则 2 2 1 1 1( ) 0xg x x x x       ， 所以 ( )g x 单调递减， 1( ) 32g x g       ， 1 ln 2 1 3aa         ， 因为 1 ln 2 1aa        恒成立，所以 的取值范围是[ 3, )  ． 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13 题—第21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22 题、第23 题为选考 题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．把答案填在答题卡上的相应位置． 13．设x y， 满足约束条件 0 0 1 0 3 0 x y x y x y            ，则 2z x y  的取值范围为 ． 13．答案：( 1,6) 解析：作可行域为如图所示的四边形OABC （不包含边界），其中 (3,0), (1,2), (0,1)A B C ， 因为 0, 6, 0, 1O A B Cz z z z     ，所以z 的取值范围是( 1,6) ． O A B C x y 14．若非零向量 , a b   满足  2a a b     ，则 a b b      ． 14．答案：1 解析：因为  2a a b     ，所以   22 2 0a a b a a b           ， 5 则 2 2 22 2 2 2 1, 1 a b a ba a b b b b bb b                        ． 15．在锐角 ABC△ 中， 2BC  ，sin sin 2sinB C A  ，则中线 AD 长的取值范围是 ． 15．答案： 133 2      ， 解析： 2a  ， 2 4b c a   ，所以 4 (1 3)b c c    ， 因为 ABC△ 是锐角三角形，所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c b c a a c b          ， 解得 3 5 2 2c  ． 2 2 2 2 2 22( ) 1 ( ) 14 2 b c aAD b c     ， 而 2 2 2 2 2 2 17(4 ) 2 8 16 2 2( 2) 8 8, 2b c c c c c x                ， 所以 2 2 21 13( ) 1 3,2 4AD b c        ，所以 133 2AD      ， ． 16．在平面直角坐标系 xOy 中，点  12 ( )2 n n n n nA n N         ， ，记 2 1 2 2 1n n nA A A △ 的面积为 nS ，则 1 n i i S   ． 16．答案： 2 22 43 3 nn      解析：  2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1(2 ,0), 2 ,2 , (2 ,0), 2 2 3 2n n n n n n n n n n nA A n A A A             ， 所以 2 1 11 3 2 2 6 42 n n nS n n       ，设数列{ }nS 的前n 项和为 nT ，则 2 2 1 2 3 1 6 12 4 18 4 6( 1) 4 6 4 6 4 12 4 18 4 6( 1) 4 6 4 n n n n n n T n n T n n                             ① 4 ② ① ② ，得 2 1 6(1 4 )3 6 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 (2 6 ) 4 21 4 n n n n n nT n n n                   ， 所以 2 22 43 3 n nT n       ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12 分) 已知函数 ( ) cos 2 sin 2 6f x x x       ． (Ⅰ)求函数 ( )f x 的最小正周期； (Ⅱ)若 0 2      ， ， 1( ) 3f   ，求cos 2 ． 17．解析：(Ⅰ)∵   3 1 3 1cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 22 2 2 2 6f x x x x x x x           ， 6 ∴函数  f x 的最小正周期为T  . …………………………5 分 (Ⅱ)由 1( ) 3f   可得， 1sin 2 6 3      . ∵ 0, 2      ，∴ 72 6 6 6         ， . 又∵ 1 10 sin 2 6 3 2x        ，∴2 6 2        ， ， ∴ 2 2cos 2 6 3       ， ∴ 1 2 6cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin6 6 6 6 6 6 6                                    .…………12 分 18．(本小题满分12 分) 在四棱锥P ABCD 中， 2 3BC BD DC   ， 2AD AB PD PB    ． (Ⅰ)若点E 为PC 的中点，求证： //BE 平面PAD ； (Ⅱ)当平面PBD  平面 ABCD 时，求二面角C PD B  的余弦值． B D P C E A 18．解析：(Ⅰ)取CD 的中点为M ，连结EM ，BM . 由已知得， BCD△ 为等边三角形，BM CD . 2AD AB  ， 2 3BD  ， ∴ 30ADB ABD     ， 90 , //ADC BM AD    . 又 BM  平面PAD ， AD  平面PAD ， //BM 平面PAD . ∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴ //EM PD . 又∵EM  平面PAD ，PD  平面PAD ， //EM 平面PAD . EM BM M  ，∴平面 //BEM 平面PAD . BE  平面BEM ， //BE 平面PAD . …………………………5 分 (Ⅱ)连结 AC ，交BD 于点O ，连结PO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且 AC BD ，PO BD . ∵平面PBD  平面 ABCD ，PO BD ， ∴PO  平面 ABCD ， 1PO AO  ， 3CO  . 以O 为坐标原点，OC  的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz . 则 (0, 3,0), (3,0,0), (0,0,1)D C P . 易知平面PBD 的一个法向量为 1 (1,0,0)n   . 设平面PCD 的法向量为 2 ( , , )n x y z  ， 则 2n DC   ， 2n DP   ，∴ 2 2 0 0 n DC n DP          ， ∵ (3, 3,0), (0, 3,1)DC DP    ，∴ 3 3 0 3 0 x y y z      . B D P C E M A 7 令 3y  ，得 1 3x z   ， ，∴ 2 ( 1, 3, 3)n     ， ∴ 1 2 1 2 1 2 1 13cos 1313 n nn n n n           ， . 设二面角C PD B  的大小为 ，则 13cos 13  . ………………………12 分 19．(本小题满分12 分) 每年 3 月 21 日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了做好今年的世界睡眠日宣传工作， 某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100 人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)， 并绘制出如右的频率分布直方图： (Ⅰ)求这100 人睡眠时间的平均数x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)； (Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间t 近似服从正态分布 2( , )N   ，其中 近似地等于样本平均数x ， 2 近似 地等于样本方差 2s ， 2 33.6s  ．假设该辖区内这一年龄层次共有 10000 人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区 间(39.2, 50.8)的人数． 附： 33.6 5.8 ．若 随 机变 量 Z 服 从 正 态 分 布 2( , )N   ，则 ( ) 0.6826P Z        ， ( 2 2 ) 0.9544P Z        ． 19．解析： (Ⅰ) 0.06 34 0.18 38 0.20 42 0.28 46 0.16 50 0.10 54 0.02 58 44.72 45x                 ； …………………………5 分 (Ⅱ)由题意得， 39.2 50.8      ， ，  39.2 50.8 0.6826P t   ， 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间 39.2 50.8， 的人数约为10000 0.6826 6826  (人)； …………………………12 分 20．(本小题满分12 分) 设椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b  ( 0a b  )的离心率为 2 2 ，圆 2 2: 2O x y  与x 轴正半轴交于点 A ，圆O 在点 A 处 的切线被椭圆C 截得的弦长为2 2 ． (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N， ，试判断 PM PN 是否为定值？若为定值，求出该定值； 若不是定值，请说明理由． 20．解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的离心率为 2 2 知， 2b c a b ， ， ∴椭圆C 的方程可设为 2 2 2 2 12 x y b b  . 易求得 ( 2,0)A ，∴点( 2 2)， 在椭圆上，∴ 2 2 2 2 12b b  ， 8 解得 2 2 6 3 a b     ，∴椭圆C 的方程为 2 2 16 3 x y  . …………………………5 分 (Ⅱ)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 2x  ，由(Ⅰ)知， ( 2, 2) ( 2, 2)M N ， ， ( 2, 2) ( 2, 2) 0OM ON OM ON        ， ， ，∴OM ON . 当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为 y kx m  ， 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ， ∴ 2 2 1 m k   ，即 2 22( 1)m k  . 联立直线和椭圆的方程得 2 22( ) 6x kx m   ， ∴ 2 2 2(1 2 ) 4 2 6 0k x kmx m     ，得 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 (4 ) 4(1 2 )(2 6) 0 4 2 1 2 6 2 1 km k m kmx x k mx x k               . ∵ 1 1 2 2( , ), ( , )OM x y ON x y    ， ∴   1 2 1 2 1 2 1 2OM ON x x y y x x kx m kx m         ， 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 6 4(1 ) ( ) (1 ) 2 1 2 1 m kmk x x km x x m k km mk k              2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 )(2 6) 4 (2 1) 3 6 6 3(2 2) 6 6 02 1 2 1 2 1 k m k m m k m k k k k k k                ， ∴OM ON . 综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N， ，都有OM ON . 在Rt OMN△ 中，由 OMP△ 与 NOP△ 相似得， 2 2OP PM PN   为定值. …………………………12 分 21．(本小题满分12 分) 已知函数 ( ) ln( 1)xf x e x   (e 为自然对数的底数)． (Ⅰ)求函数 ( )f x 的单调区间； (Ⅱ)若 ( ) ( )g x f x ax  ，a R ，试求函数 ( )g x 极小值的最大值． 21．解析：(Ⅰ)易知 1x   ，且 1( ) 1 xf x e x     . 令 1( ) 1 xh x e x   ，则 2 1( ) 0( 1) xh x e x     ， ∴函数 1( ) 1 xh x e x   在 ( 1 )x   ， 上单调递增，且 (0) (0) 0h f   . 可知，当 ( 1,0)x  时， ( ) ( ) 0h x f x  ， ( ) ln( 1)xf x e x   单调递减； 当 (0, )x  时， ( ) ( ) 0h x f x  ， ( ) ln( 1)xf x e x   单调递增. ∴函数 ( )f x 的单调递减区间是( 1,0) ，单调递增区间是(0, ) .…………………………5 分 (Ⅱ)∵ ( ) ( ) ln( 1)xg x f x ax e x ax      ，∴ ( ) ( )g x f x a   . 由(Ⅰ)知， ( )g x 在 ( 1 )x   ， 上单调递增， 当 1x   时， ( )g x   ；当x   时， ( )g x   ，则 ( ) 0g x  有唯一解 0x . 可知，当 0( 1, )x x  时， ( ) 0g x  ， ( ) ln( 1)xg x e x ax    单调递减； 9 当 0( )x x  ， 时， ( ) 0g x  ， ( ) ln( 1)xg x e x ax    单调递增， ∴函数 ( )g x 在 0x x 处取得极小值 0 0 0 0( ) ln( 1)xg x e x ax    ，且 0x 满足 0 0 1 1 xe ax  . ∴ 0 0 0 0 0 1( ) (1 ) ln( 1) 1 1 xg x x e x x       . 令 1( ) (1 ) ln( 1) 1 1 xx x e x x        ，则 2 1( ) ( 1) xx x e x        . 可知，当 ( 1,0)x  时， ( ) 0x  ， ( )x 单调递增； 当 (0, )x  时， ( ) 0x  ， ( )x 单调递减， ∴ max( ) (0) 1x   . ∴函数 ( )g x 极小值的最大值为1. …………………………12 分 请考生在第 22、23 题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答 时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑． 22．(本小题满分10 分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线 1C 的方程为 cos sin x y      ( 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 =2cos  ． (Ⅰ)求 1C 、 2C 交点的直角坐标； (Ⅱ)设点 A 的极坐标为 3      4， ，点B 是曲线 2C 上的点，求 AOB△ 面积的最大值． 22．解析：(Ⅰ) 2 2 1 : 1C x y  ， 2 : =2cosC   ，∴ 2 =2 cos   ，∴ 2 2 2x y x  . 联立方程组得 2 2 2 2 1 2 x y x y x      ，解得 1 1 1 2 3 2 x y     ， 2 2 1 2 3 2 x y      ， ∴所求交点的坐标为 1 3 2 2       ， ， 1 3 2 2      ， .………………………5 分 (Ⅱ)设 ( , )B   ，则 =2cos  . ∴ AOB△ 的面积 1 1sin 4 sin 4cos sin2 2 3 3S OA OB AOB                        2cos 2 36       ∴当 23 12   时， max 2 3S   . ………………………10 分 23．(本小题满分10 分)选修4-5：不等式选讲 设函数 ( ) 1f x x  ． (Ⅰ)若 ( ) 2 2f x x  ，求实数x 的取值范围； (Ⅱ)设 ( ) ( ) ( )g x f x f ax  ( 1a  )，若 ( )g x 的最小值为1 2 ，求a 的值． 23．解析：(Ⅰ) ( ) 2 2f x x  ，即 1 >2 2x x   1 0 1>2 2 x x x     ≥ 或 1 0 1 2 2 x x x       1 3x  ， 10 ∴实数x 的取值范围是 1 3      ， . ………………………5 分 (Ⅱ)∵ 1a  ，∴ 11 a   ，∴ ( 1) 2 ( 1) 1( ) (1 ) 1 1( 1) 2 a x x g x a x x a a x x a                              ， ， ， ， ， ， ， 易知函数 ( )g x 在 1x a       ， 时单调递减，在 1x a        ， 时单调递增， ∴ min 1 1( ) 1g x g a a        . ∴ 1 11 2a  ，解得 2a  . ………………………10 分