福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、等五校联考2016-2017学年高二上学期期中试卷 Word版含解析]x

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2016-2017 学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、 市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期中数学试卷（文 科） 　 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂． 1．数列 1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式 an 为（　　） A．2n﹣1 B．﹣3n+2 C．（﹣1）n+1（3n﹣2） D．（﹣1）n+13n﹣2 2．在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=8，则 a7=（　　） A．3 B．6 C．7 D．8 3．在△ABC 中，a=1，b=4，C=60°，则边长 c=（　　） A．13 B． C． D．21 4．若 a＜b＜0，则（　　） A．0＜ ＜1 B．ab＜b2 C． ＞ D． ＜ 5．在△ABC 中， ，则这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形 6．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，a=5，b=4，cosC= ，则△ABC 的面 积是（　　） A．16 B．6 C．4 D．8 7．等差数列{an}中，已知前 15 项的和 S15=45，则 a8 等于 （　　） A． B．6 C． D．3 8．在△ABC 中，已知 a=2 ，b=6，A=30°，则 B=（　　） A．60° B．120° C．120°或 60° D．45° 9．在等比数列{an}中，已知 a1=3，公比 q=2，则 a2 和 a8 的等比中项为（　　） A．48 B．±48 C．96 D．±96 10．不等式 的解集为 （　　） A．{x|x＜﹣2 或 x＞3} B．{x|x＜﹣3 或 x＞2} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜ x＜2} 11．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知在 Sn 中有 S16＜0，S17＞0，那么 Sn 中最小的是 （　　） A．S6 B．S7 C．S8 D．S9 12．已知 x＞0，y＞0， + =1，不等式 x+y≥2m﹣1 恒成立，则 m 的取值范围（　　） A．（﹣∞， ] B．（﹣∞， ] C．（﹣∞， ] D．（﹣∞， ] 　 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 z=x﹣3y 的最大值为　　 14．已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，则数列的通项 an=　　． 15．如图，一船以每小时 20km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°方 向，行驶 4 小时后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15°方向，这时船与灯塔间的距离 为　　km． 16．将边长为 1 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 ，则 S 的最小值是　　． 　 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{an}满足 a1+a2=3，a4﹣a3=1．设等比数列{bn}且 b2=a4，b3=a8 （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）设 cn=an+bn，求数列{cn}前 n 项的和 Sn． 18．如图所示，已知在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠ BCD=135°． （1）求∠BDA 的大小 （2）求 BC 的长． 19．已知 f（x）=x2﹣3ax+2a2． （1）若实数 a=1 时，求不等式 f（x）≤0 的解集； （2）求不等式 f（x）＜0 的解集． 20．在锐角△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 ． （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）若 b=6，a+c=8，求△ABC 的面积． 21．某农户建造一座占地面积为 36m2 的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制， 鸡舍侧面的长度 x 不得超过 7m，墙高为 2m，鸡舍正面的造价为 40 元/m2，鸡舍侧面的造价 为 20 元/m2，地面及其他费用合计为 1800 元． （1）把鸡舍总造价 y 表示成 x 的函数，并写出该函数的定义域． （2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 22．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=1，Sn=nan﹣n（n﹣1）． （1）求证：数列{an}为等差数列，并分别求出 an 的表达式； （2）设数列 的前 n 项和为 Pn，求证：Pn＜ ； （3）设 Cn= ，Tn=C1+C2+…+Cn，试比较 Tn 与 的大小． 　 2016-2017 学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安 二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期 中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂． 1．数列 1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式 an 为（　　） A．2n﹣1 B．﹣3n+2 C．（﹣1）n+1（3n﹣2） D．（﹣1）n+13n﹣2 【考点】数列的概念及简单表示法． 【分析】根据前几项的特点和规律，可知数列中符号是正负交替，而绝对值为 3n﹣2． 【解答】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1） n+1，绝对值为 3n﹣2，故通项公式 an=（﹣1）n+1（3n﹣2）． 故选：C． 　 2．在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=8，则 a7=（　　） A．3 B．6 C．7 D．8 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】由题意可得 a4=4，进而可得公差 d=1，可得 a7=a1+6d，代值计算即可． 【解答】解：∵在等差数列{an}中 a1=2，a3+a5=8， ∴2a4=a3+a5=8，解得 a4=4， ∴公差 d= = ， ∴a7=a1+6d=2+4=6 故选：B． 　 3．在△ABC 中，a=1，b=4，C=60°，则边长 c=（　　） A．13 B． C． D．21 【考点】余弦定理． 【分析】由已知利用余弦定理即可得解 c 的值． 【解答】解：∵a=1，b=4，C=60°， ∴由余弦定理可得：c= = = ． 故选：B． 　 4．若 a＜b＜0，则（　　） A．0＜ ＜1 B．ab＜b2 C． ＞ D． ＜ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】根据已知中 a＜b＜0，结合不等式的基本性质，逐一分析四个式子的正误，可得答 案． 【解答】解：∵a＜b＜0， ∴0＜ ＜1，正确； ab＜b2，错误； ＜ ＜0，错误； 0＜ ＜1＜ ，错误； 故选：A． 　 5．在△ABC 中， ，则这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形 【考点】正弦定理． 【分析】由已知及余弦定理即可解得 b=c，从而得解． 【解答】解：∵ ， 又∵cosC= ， ∴ = ，整理可得：b2=c2， ∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形． 故选：A． 　 6．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，a=5，b=4，cosC= ，则△ABC 的面 积是（　　） A．16 B．6 C．4 D．8 【考点】正弦定理． 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinC 的值，进而利用三角形面积公式即 可得解． 【解答】解：∵a=5，b=4，cosC= ，可得：sinC= = ， ∴S△ABC= absinC= =8． 故选：D． 　 7．等差数列{an}中，已知前 15 项的和 S15=45，则 a8 等于 （　　） A． B．6 C． D．3 【考点】等差数列的前 n 项和． 【分析】利用等差数列与求和公式及其性质即可得出． 【解答】解：由等差数列的性质可得：S15= =15a8=45，则 a8=3． 故选：D． 　 8．在△ABC 中，已知 a=2 ，b=6，A=30°，则 B=（　　） A．60° B．120° C．120°或 60° D．45° 【考点】正弦定理． 【分析】由已知利用正弦定理可求 sinB 的值，结合 B 的范围由特殊角的三角函数值即可得 解． 【解答】解：∵a=2 ，b=6，A=30°， ∴由正弦定理可得：sinB= = = ， ∵B∈（0°，180°）， ∴B=120°或 60°． 故选：C． 　 9．在等比数列{an}中，已知 a1=3，公比 q=2，则 a2 和 a8 的等比中项为（　　） A．48 B．±48 C．96 D．±96 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】先求出 a2 和 a8，由此能求出 a2 和 a8 的等比中项． 【解答】解：∵在等比数列{an}中，a1=3，公比 q=2， ∴a2=3×2=6， =384， ∴a2 和 a8 的等比中项为 =±48． 故选：B． 　 10．不等式 的解集为 （　　） A．{x|x＜﹣2 或 x＞3} B．{x|x＜﹣3 或 x＞2} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜ x＜2} 【考点】其他不等式的解法． 【分析】不等式即即 ＞0，即（x﹣3）•（x+2）＞0，由此求得 x 的范围． 【解答】解：不等式 ，即 ＞0，即（x﹣3）•（x+2）＞0， 求得 x＞3，或 x＜﹣2， 故选：A． 　 11．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知在 Sn 中有 S16＜0，S17＞0，那么 Sn 中最小的是 （　　） A．S6 B．S7 C．S8 D．S9 【考点】等差数列的前 n 项和． 【分析】由 S16＜0，S17＞0，利用求和公式及其性质可得：a8＜0，a9＞0，即可得出． 【解答】解：∵S16＜0，S17＞0， ∴ =8（a8+a9）＜0， =17a9＞0， ∴a8＜0，a9＞0， ∴公差 d＞0． ∴Sn 中最小的是 S8． 故选：C． 　 12．已知 x＞0，y＞0， + =1，不等式 x+y≥2m﹣1 恒成立，则 m 的取值范围（　　） A．（﹣∞， ] B．（﹣∞， ] C．（﹣∞， ] D．（﹣∞， ] 【考点】基本不等式． 【分析】要使不等式 x+y≥2m﹣1 恒成立，只要求出 x+y 的最小值，得到关于 m 的不等式 解之即可． 【解答】解：x＞0，y＞0， + =1，不等式 x+y≥2m﹣1 恒成立， 所以（x+y）（ + ）=10+ ≥10 =16， 当且仅当 时等号成立，所以 2m﹣1≤16，解得 m ； 故 m 的取值范围是（﹣ ]； 故选 D． 　 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 z=x﹣3y 的最大值为　5　 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【解答】解：由 z=x﹣3y 得 y= ， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线 y= ， 由图象可知当直线 y= 经过点 C 时，直线 y= 的截距最小， 此时 z 最大， 由 ，解得 ，即 C（2，﹣1）． 代入目标函数 z=x﹣3y， 得 z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5， 故答案为：5． 　 14．已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，则数列的通项 an=　2n﹣1　． 【考点】数列的函数特性；数列的概念及简单表示法． 【分析】运用累加法求解：an﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1 即可得到答案． 【解答】解：∵a1=1，an+1=an+2n， ∴a2﹣a1=2， a3﹣a2=22， … an﹣an﹣1=2n﹣1， 相加得：an﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1， an=2n﹣1， 故答案为：2n﹣1， 　 15．如图，一船以每小时 20km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°方 向，行驶 4 小时后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15°方向，这时船与灯塔间的距离 为　 　km． 【考点】解三角形的实际应用． 【分析】根据题意求出∠B 与∠BAC 的度数，再由 AC 的长，利用正弦定理即可求出 BC 的 长 【解答】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°， 在△ABC 中，根据正弦定理得：BC= = 海里， 则这时船与灯塔的距离为 海里． 故答案为 ． 　 16．将边长为 1 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 ，则 S 的最小值是　 　． 【考点】基本不等式． 【分析】先设剪成的小正三角形的边长为 x 表示出 S 的解析式，然后求 S 的最小值，令 3﹣x=t，代入整理，利用基本不等式得到最小值． 【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为 x，则：S= = ，（0＜x＜1） 令 3﹣x=t，t∈（2，3）， ∴S= = = ，当且仅当 t= 即 t=2 时等号成立； 故答案为： ． 　 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{an}满足 a1+a2=3，a4﹣a3=1．设等比数列{bn}且 b2=a4，b3=a8 （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）设 cn=an+bn，求数列{cn}前 n 项的和 Sn． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由等差数列的性质可知： ，求得首项及公差，根据等差数列通项 公式即可求得数列{an}的通项公式，即可求得 a4，a8，根据等比数列性质求得首项及公比， 即可求得数列{bn}的通项公式； （2）由（1）可知：采用分组求和，根据等比数列及等差数列前n项和公式，即可求得数列{cn} 前 n 项的和 Sn． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为 d，则由 ，可得 ，… 解得： ， ∴由等差数列通项公式可知：an=a1+（n﹣1）d=n， ∴数列{an}的通项公式 an=n， ∴a4=4，a8=8 设等比数列{bn}的公比为 q，则 ， 解得 ， ∴ ； （2）∵ … ∴ ， = ， = ， ∴数列{cn}前 n 项的和 Sn= ． 　 18．如图所示，已知在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠ BCD=135°． （1）求∠BDA 的大小 （2）求 BC 的长． 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）由已知及余弦定理可求 cos∠BDA 的值，结合角的范围即可得解． （2）由（1）及已知可求∠BDC=30°，利用正弦定理即可得解 BC 的值． 【解答】（本题满分为12 分） 解：（1）在△ABC 中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得 … = … ∴∠BDA=60°… （2）∵AD⊥CD， ∴∠BDC=30°… 在△ABC 中，由正弦定理得 ，… ∴ ． … 　 19．已知 f（x）=x2﹣3ax+2a2． （1）若实数 a=1 时，求不等式 f（x）≤0 的解集； （2）求不等式 f（x）＜0 的解集． 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法计算即可． （2）对系数 a 进行讨论，根据一元二次不等式的解法求 f（x）＜0 的解集． 【解答】解：（1）当 a=1 时，依题意得 x2﹣3x+2≤0 因式分解为：（x﹣2）（x﹣1）≤0， 解得：x≥1 或 x≤2． ∴1≤x≤2． 不等式的解集为{x|1≤x≤2}． （2）依题意得 x2﹣3ax+2a2＜0 ∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0… 对应方程（x﹣a）（x﹣2a）=0 得 x1=a，x2=2a 当 a=0 时，x∈∅． 当 a＞0 时，a＜2a，∴a＜x＜2a； 当 a＜0 时，a＞2a，∴2a＜x＜a； 综上所述，当 a=0 时，原不等式的解集为∅； 当 a＞0 时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2a}； 当 a＜0 时，原不等式的解集为{x|2a＜x＜a}； 　 20．在锐角△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 ． （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）若 b=6，a+c=8，求△ABC 的面积． 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（Ⅰ）由 2bsinA= a，以及正弦定理 ，得 sinB，结合 B 为锐角，即 可得解． （Ⅱ）由余弦定理可得：a2+c2﹣ac=36，由 a+c=8，解得 ac 的值，根据三角形面积公式即可 得解． 【解答】解：（Ⅰ）由 2bsinA= a，以及正弦定理 ，得 sinB= ， 又∵B 为锐角， ∴B= ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）由余弦定理 b2=a2+c2﹣2accosB， ∴a2+c2﹣ac=36， ∵a+c=8， ∴ac= ， ∴S△ABC= = ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 　 21．某农户建造一座占地面积为 36m2 的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制， 鸡舍侧面的长度 x 不得超过 7m，墙高为 2m，鸡舍正面的造价为 40 元/m2，鸡舍侧面的造价 为 20 元/m2，地面及其他费用合计为 1800 元． （1）把鸡舍总造价 y 表示成 x 的函数，并写出该函数的定义域． （2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】（1）分别算出房子的两个侧面积乘以 20 再加上房子的正面面积乘以 40 再加上屋顶 和地面的造价即为总造价； （2）我们可以先求房屋总造价的函数解析式，利用基本不等式即可求出函数的最小值，进 而得到答案． 【解答】解：（1） … = … 定义域是（0，7]… （2）∵ ，… 当且仅当 即 x=6 时取=… ∴y≥80×12+1800=2760… 答：当侧面长度 x=6 时，总造价最低为 2760 元．… 　 22．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=1，Sn=nan﹣n（n﹣1）． （1）求证：数列{an}为等差数列，并分别求出 an 的表达式； （2）设数列 的前 n 项和为 Pn，求证：Pn＜ ； （3）设 Cn= ，Tn=C1+C2+…+Cn，试比较 Tn 与 的大小． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由 Sn=nan﹣n（n﹣1），Sn+1=（n+1）an+1﹣（n+1）n，两式相减整理得： an+1﹣an=2，{an}是以首项为 a1=1，公差为 2 的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求 得数列{an}通项公式； （2）由（1）可得 ，利用裂项相消法， 即可求得数列 的前 n 项和为 Pn，Pn= ； （3） ，由“错位相减法”即可求得 ，利用作差法即可求得 ＞0，即可 求得 Tn＞ ． 【解答】解：（1）证明：∵Sn=nan﹣n（n﹣1） ∴Sn+1=（n+1）an+1﹣（n+1）n… ∴an+1=Sn+1﹣Sn=（n+1）an+1﹣nan﹣2n… ∴nan+1﹣nan﹣2n=0 ∴an+1﹣an=2， ∴{an}是以首项为 a1=1，公差为 2 的等差数列 … 由等差数列的通项公式可知：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1， 数列{an}通项公式 an=2n﹣1；… （2）证明：由（1）可得 ， … = … （3）∴ ， = ， 两式相减得 … = ， = ， = ， = ， ∴ … ∴ … ∵n∈N*， ∴2n＞1， ∴ ， ∴ … 　 2016 年 12 月 3 日