2019-2020学年江苏省扬州市邗江区高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省扬州市邗江区高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江苏省扬州市邗江区高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则 A．{1,3} B．{3,5} C．{5,7} D．{1,7}‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：集合与集合的公共元素有3，5，故，故选B.‎ ‎【考点】集合的交集运算 ‎【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解.‎ ‎2．下列函数与y=x是相同函数的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意结合选项确定所给的函数是否是相同函数即可.‎ ‎【详解】‎ 逐一考查所给的函数：‎ A.，对应法则不同，不是同一个函数；‎ B.定义域为，与的定义域不同，不是同一个函数；‎ C.，且定义域相同，是同一个函数；‎ D.定义域为，与的定义域不同，不是同一个函数；‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数相等的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3．已知幂函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由幂函数，代入即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，幂函数，则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了幂函数的求值问题，其中解答中根据幂函数的解析式，代入准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于容易题.‎ ‎4．已知，则（ ）‎ A．5 B．-1 C．-7 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据所给解析式先求f（2），再求f[f（2）]．‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴f（2）=﹣2×2+3=﹣1，‎ ‎∴f[f（2）]=f（﹣1）=（﹣1）2+1=2．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数求值问题，属基础题，关键看清所给自变量的值所在范围．‎ ‎5．已知a=0.42，b=20.4，c=log0.42，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>b>a ‎【答案】C ‎【解析】由指数函数的性质，可得，根据对数函数的性质，可得，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据指数函数的性质，可得，‎ 由对数函数的性质，可得，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6．函数恒过定点（ ）‎ A．(3,4) B．(-3,4) C．(3,3) D．(4,3)‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，代入求得，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，‎ 令，解得，即函数恒过定点.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数奇偶性的定义，以及基本初等函数的性质，逐项判定，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，对于A中，函数的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以符合题意；‎ 对于B中，函数，其定义域为，满足，所以函数为偶函数，又由当时，，根据指数函数的性质，可得函数在区间单调递减，符合题意；‎ 对于C中，函数，根据二次函数的性质，可得在区间单调递增，不符合题意；‎ 对于D中，函数的定义域为，满足，所以函数为奇函数，不符合题意.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性的判定，以及初等函数的性质的应用，其中解答中熟记奇偶性的定义，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎8．函数的图象大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：函数的定义域是，排除B，C，是减函数，排除D，只有A符合．故选A．（也可从函数值的正负考虑排除D）．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎9．函数的零点所在的区间是（）‎ A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数为上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.‎ ‎【详解】‎ 因为为上的增函数，为上的增函数，故为上的增函数.又，，由零点存在定理可知在 存在零点，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 函数的零点问题有两种类型，（1）计算函数的零点，比如二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比如；（2）估算函数的零点，如等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.‎ ‎10．定义在R上的偶函数在上递减，且，则满足的的取值范围是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由定义在R上的偶函数在上递减，且，把不等式，可转化为，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，定义在R上的偶函数在上递减，且，‎ 所以，‎ 所以满足不等式，可转化为，解得，‎ 即不等式的解集为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性与函数的奇偶性的应用，其中解答中利用函数的单调性和奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11．已知函数在区间内是减函数，则的取值范围为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据分段函数的解析式，以及一次函数和对数函数的性质，得到 即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数在区间内是减函数，‎ 则满足 即，解得，‎ 即实数的取值范围为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的单调性的应用，其中解答中根据一次函数和对数函数的图象与性质，得出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎12．设函数若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数的解析式得到函数的奇偶性和单调性，把不等式 对任意恒成立，转化为对任意恒成立，分类参数利用二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，‎ 设，则，则，‎ 设，则，则，‎ 所以函数为定义域上的奇函数，其图象如图所示，‎ 由图象可知，函数为定义域上的增函数，‎ 由不等式对任意恒成立，‎ 即对任意恒成立，即对任意恒成立，‎ 可得对任意恒成立，‎ 又由，当时取等号，所以，‎ 故选：B.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的应用，以及函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性与奇偶性，把不等式转化为对任意恒成立是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数有意义，得到，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数有意义，则满足，解得，‎ 所以函数的定义域为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式，得出函数解析式有意义的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎14．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，那么_______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由函数是定义在R上的奇函数，得到，代入即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数是定义在R上的奇函数，当时，，‎ 可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数的求值问题，其中解答中合理应用函数的奇偶性转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15．已知集合若，实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，根据集合的交集的运算，得到或，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，集合，‎ 因为，则满足或，解得或，‎ 即实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的运算，以及利用集合的交集求参数，其中解答中熟记集合交集运算，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16．已知函数，函数，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数，把函数恰有个不同的零点，转化为恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，且函数恰有个不同的零点，‎ 即恰有4个实数根，‎ 当时，由，即，‎ 解得或，所以，解得；‎ 当时，由，解得或，所以，解得，‎ 综上可得：实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为 ‎，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．已知全集，集合，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求．‎ ‎【答案】（）；（）或 ‎【解析】(1)先化简集合A,B,再求.(2)先求，，再求．‎ ‎【详解】‎ ‎（）由题意知，，故．‎ ‎（），，故或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎18．计算：（）．‎ ‎（）．‎ ‎【答案】（）；（）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据指数运算法则 ，化简求值（2）根据对数运算法则，化简求值 试题解析：（） ．‎ ‎（）原式 ．‎ ‎19．已知函数的图象经过点,其中．‎ ‎(1)若，求实数和的值；‎ ‎(2)设函数，请你在平面直角坐标系中作出的简图，并根据图象写出该函数的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1），（2）图见解析，和 ‎【解析】（1）先利用待定系数法，求得函数的解析式，进而利用函数的解析式和，即可求解；‎ ‎（2）由（1），求得函数的解析式，画出函数的图象，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数的图象经过点，其中，‎ 可得，即，解得，所以，‎ 又由，可得，所以.‎ ‎（2）由（1）可得，函数，‎ 函数的图象，如图所示，‎ 由图象可得，函数的单调递增区间为和.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，以及函数图象的应用，其中解答中合理利用待定系数法求得函数的解析式，正确作出函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．‎ ‎（1）求出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？‎ ‎【答案】(1) (2)50000‎ ‎【解析】（1）依据参加培训的员工人数分段计算培训总费用．‎ ‎（2）依据（1）求出函数的最大值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，； ‎ 当时，‎ ‎， ‎ 故 ‎ ‎（2）当时，‎ 元，此时x＝30；‎ 当时，‎ 元，此时． ‎ 综上所述，公司此次培训的总费用最多需要元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考察函数的应用，要求依据实际问题构建分段函数的数学模型并依据数学模型求实际问题的最大值，注意建模时理顺各数据间的关系．‎ ‎21．已知函数（，）‎ ‎（1）当时，求函数的定义域；‎ ‎（2）当时，求关于的不等式的解集；‎ ‎（3）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）由ax-1＞0，得ax＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域 （2）根据函数的单调性解答即可； （3）令，可知在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．‎ ‎【详解】‎ 本题考查恒成立问题．‎ ‎（1）当时，，故：，解得：，故函数的定义域为；‎ ‎（2）由题意知，（），定义域为，用定义法易知为上的增函数，由，知：，∴.‎ ‎（3）设，，设 ‎，，‎ 故，，故：，‎ 又∵对任意实数恒成立，‎ 故：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．‎ ‎22．已知函数f（x）=x2+bx+c，其图象与y轴的交点为（0，1），且满足f（1﹣x）=f（1+x）．‎ ‎（1）求f（x）；‎ ‎（2）设 ，m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；‎ ‎（3）设h（x）=lnf（x），若对于一切x∈[0，1]，不等式h（x+1﹣t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】（1）f（x）=x2﹣2x+1；（2）‎ ‎（3）实数t的取值范围是﹣1＜t＜0.‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）根据截距和对称轴得出b，c的值，得出f（x）的解析式；‎ ‎（2）作出g（x）的函数图象，根据图象得出结论；‎ ‎（3）化简h（x）解析式，根据函数单调性得出关于t的恒等式，从而求出t的范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵图象与y轴的交点为（0，1），∴c=1，‎ ‎∵f（1﹣x）=f（1+x），‎ ‎∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，∴b=﹣2，‎ ‎∴f（x）=x2﹣2x+1，‎ ‎（2）∵f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，‎ ‎∴，‎ 作出g（x）的函数图象如图所示：‎ 当0＜m≤时，gmax（x）=g（m）=m﹣m2，‎ 当＜m≤时，gmax（x）=g（）=，‎ 当m＞时，gmax（x）=g（m）=m2﹣m，‎ 综上，． ‎ ‎（3）h（x）=2ln|x﹣1|，‎ 所以h（x+1﹣t）=2ln|x﹣t|，h（2x+2）=2ln|2x+1|，‎ 当x∈[0，1]时，|2x+1|=2x+1，‎ 所以不等式等价于0＜|x﹣t|＜2x+1恒成立，‎ 解得﹣x﹣1＜t＜3x+1，且x≠t，‎ 由x∈[0，1]，得﹣x﹣1∈[﹣2，﹣1]，3x+1∈[1，4]，‎ 所以﹣1＜t＜1，‎ 又x≠t，∵t∉[0，1]，‎ ‎∴实数t的取值范围是﹣1＜t＜0．‎ 点睛：恒成立问题的处理手段：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.‎