2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第四章4-3三角函数的图象与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0).
余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
单调性
在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增；
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；
在[2k
在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增
在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减
π，π＋2kπ](k∈Z)上递减
最值
当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(＋kπ，0) (k∈Z)
(，0)(k∈Z)
对称轴方程
x＝＋kπ(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
【知识拓展】
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数.( × )
(2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期.( √ )
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( × )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × )
(5)y＝sin |x|是偶函数.( √ )
(6)若sin x>，则x>.( × )
1.函数f(x)＝cos(2x－)的最小正周期是________.
答案 π
解析 最小正周期为T＝＝＝π.
2.(教材改编)函数y＝－tan x的单调递减区间是________________.
答案 (－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)
解析 因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，
所以y＝－tan x的单调递减区间为(－＋kπ，＋kπ) (k∈Z).
3.(教材改编)sin 11°，cos 10°，sin 168°的大小关系为________________.
答案 sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
解析 sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，
cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，
又y＝sin x在[0°，90°]上是增函数，
∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，
即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
4.(教材改编)y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝的交点个数为________.
答案 2
解析 在同一坐标系中作出函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]和y＝的图象(图略)，由图象可得有两个交点.
5.(教材改编)下列满足函数y＝tan 的条件是________.(填序号)
①在(0，)上单调递增；
②为奇函数；
③以π为最小正周期；
④定义域为{x|x≠＋，k∈Z}.
答案 ①②
解析 ①令0
0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈[，].
引申探究
本例(2)中，若已知ω>0，函数f(x)＝cos(ωx＋)在(，π)上单调递增，则ω的取值范围是____________.
答案 [，]
解析 函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
则
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，
又由4k－－≤0，k∈Z且2k－＞0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈.
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
(1)函数f(x)＝sin的单调减区间为________.
(2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝________.
答案 (1)，k∈Z (2)
解析 (1)由已知函数得y＝－sin，
欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所给函数的单调减区间为(k∈Z).
(2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，
y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，
y＝sin ωx是减函数.
由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，
在上单调递减，知＝，
∴ω＝.
题型三 三角函数的周期性、对称性
命题点1 周期性
例3 (1)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为________.
(2)若函数f(x)＝2tan(kx＋)的最小正周期T满足10且|φ|<)在区间[，]上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f()＝________.
答案
解析 由题意得函数f(x)的周期T＝2(－)＝π，所以ω＝2，此时f(x)＝sin(2x＋φ)，将点(，1)代入上式得sin(＋φ)＝1 (|φ|<)，所以φ＝，
所以f(x)＝sin(2x＋)，
于是f()＝sin(＋)＝cos ＝.
2.函数y＝的定义域为______________.
答案 [2kπ＋，2kπ＋π]，k∈Z
解析 由2sin x－1≥0，得sin x≥，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
3.关于函数y＝tan(2x－)，下列说法正确的是________.
①是奇函数；
②在区间(0，)上单调递减；
③(，0)为其图象的一个对称中心；
④最小正周期为π.
答案 ③
解析 函数y＝tan(2x－)是非奇非偶函数，①错误；在区间(0，)上单调递增，②错误；最小正周期为，④错误.
∵当x＝时，tan(2×－)＝0，
∴(，0)为其图象的一个对称中心.
4.若函数f(x)＝－cos 2x，则f(x)的一个递增区间为________.
①(－，0) ②(0，)
③(，) ④(，π)
答案 ②
解析 由f(x)＝－cos 2x知递增区间为[kπ，kπ＋]，k∈Z，故只有②满足.
5.已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f()＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是________.
①[－，] ②[，]
③[－，] ④[，]
答案 ③
解析 由f()＝－2，得
f()＝－2sin(2×＋φ)＝－2sin(＋φ)＝－2，
所以sin(＋φ)＝1.
因为|φ|<π，所以φ＝.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
当k＝0时，－≤x≤.
6.(2016·南京模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________.
答案
解析 由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，∴ω＝k＋，∴ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.
7.函数y＝sin x的图象和y＝的图象交点的个数是________.
答案 3
解析 在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示：
由图可知交点个数是3.
8.函数y＝cos2x＋sin x(|x|≤)的最小值为________________________________________.
答案
解析 令t＝sin x，∵|x|≤，
∴t∈.
∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
∴当t＝－时，ymin＝.
9.函数y＝cos(－2x)的单调减区间为______________.
答案 [kπ＋，kπ＋](k∈Z)
解析 由y＝cos(－2x)＝cos(2x－)，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π (k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
所以函数的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z).
10.用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间.
①y＞1；②y＜1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]有两个交点，求a的取值范围.
解 列表如下：
x
－π
－
0
π
sin x
0
－1
0
1
0
1－2sin x
1
3
1
－1
1
描点连线得：
(1)由图象可知图象在y＝1上方部分时y＞1，在y＝1下方部分时y＜1，
所以①当x∈(－π，0)时，y＞1；②当x∈(0，π)时，y＜1.
(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，
所以a的取值范围是{a|1＜a＜3或－1＜a＜1}.
11.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<φ<)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点(，)，求f(x)的单调递增区间.
解 ∵f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，
∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ).
(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)，
∴sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，
将上式展开整理得sin 2xcos φ＝0，
由已知上式对∀x∈R都成立，
∴cos φ＝0，∵0<φ<，∴φ＝.
(2)f(x)的图象过点(，)时，
sin(2×＋φ)＝，即sin(＋φ)＝.
又∵0<φ<，∴<＋φ<π，
∴＋φ＝，φ＝，
∴f(x)＝sin(2x＋).
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为
[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
12.(2015·北京)已知函数f(x)＝sin x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最小值.
解 (1)因为f(x)＝sin x＋cos x－
＝2sin－，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值.
所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.
*13.已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间.
解 (1)∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]，
∴f(x)∈[b，3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)>0，得g(x)>1，
∴4sin－1>1，∴sin>，
∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，
g(x)单调递增，即kπ
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