2018版高考数学(理)(苏教版,江苏专用)大一轮教师文档讲义:第四章4-3三角函数的图象与性质

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文档介绍

2018版高考数学(理)(苏教版,江苏专用)大一轮教师文档讲义:第四章4-3三角函数的图象与性质

‎1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).‎ 余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).‎ ‎2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R ‎{x|x∈R且x≠+kπ,k∈Z}‎ 值域 ‎[-1,1]‎ ‎[-1,1]‎ R 单调性 在[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递增;‎ 在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增;‎ 在[2k 在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上递增 在[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递减 π,π+2kπ](k∈Z)上递减 最值 当x=+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;‎ 当x=-+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1‎ 当x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;‎ 当x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 ‎(kπ,0)(k∈Z)‎ ‎(+kπ,0) (k∈Z)‎ ‎(,0)(k∈Z)‎ 对称轴方程 x=+kπ(k∈Z)‎ x=kπ(k∈Z)‎ 周期 ‎2π ‎2π π ‎【知识拓展】‎ ‎1.对称与周期 ‎(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.‎ ‎(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.‎ ‎2.奇偶性 若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则 ‎(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);‎ ‎(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)y=sin x在第一、第四象限是增函数.( × )‎ ‎(2)常数函数f(x)=a是周期函数,它没有最小正周期.( √ )‎ ‎(3)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( × )‎ ‎(4)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( × )‎ ‎(5)y=sin |x|是偶函数.( √ )‎ ‎(6)若sin x>,则x>.( × )‎ ‎1.函数f(x)=cos(2x-)的最小正周期是________.‎ 答案 π 解析 最小正周期为T===π.‎ ‎2.(教材改编)函数y=-tan x的单调递减区间是________________.‎ 答案 (-+kπ,+kπ)(k∈Z)‎ 解析 因为y=tan x与y=-tan x的单调性相反,‎ 所以y=-tan x的单调递减区间为(-+kπ,+kπ) (k∈Z).‎ ‎3.(教材改编)sin 11°,cos 10°,sin 168°的大小关系为________________.‎ 答案 sin 11°<sin 168°<cos 10°‎ 解析 sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,‎ cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°,‎ 又y=sin x在[0°,90°]上是增函数,‎ ‎∴sin 11°<sin 12°<sin 80°,‎ 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.‎ ‎4.(教材改编)y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=的交点个数为________.‎ 答案 2‎ 解析 在同一坐标系中作出函数y=1+sin x,x∈[0,2π]和y=的图象(图略),由图象可得有两个交点.‎ ‎5.(教材改编)下列满足函数y=tan 的条件是________.(填序号)‎ ‎①在(0,)上单调递增;‎ ‎②为奇函数;‎ ‎③以π为最小正周期;‎ ‎④定义域为{x|x≠+,k∈Z}.‎ 答案 ①②‎ 解析 ①令00,k∈Z,得k=0,所以ω∈[,].‎ 引申探究 本例(2)中,若已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx+)在(,π)上单调递增,则ω的取值范围是____________.‎ 答案 [,]‎ 解析 函数y=cos x的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,‎ 则 解得4k-≤ω≤2k-,k∈Z,‎ 又由4k--≤0,k∈Z且2k->0,k∈Z,‎ 得k=1,所以ω∈.‎ 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间:①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;②求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.‎ ‎(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.‎ ‎ (1)函数f(x)=sin的单调减区间为________.‎ ‎(2)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω=________.‎ 答案 (1),k∈Z (2) 解析 (1)由已知函数得y=-sin,‎ 欲求函数的单调减区间,只需求y=sin的单调增区间.‎ 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,‎ 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.‎ 故所给函数的单调减区间为(k∈Z).‎ ‎(2)∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,‎ ‎∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时,‎ y=sin ωx是增函数;‎ 当≤ωx≤,即≤x≤时,‎ y=sin ωx是减函数.‎ 由f(x)=sin ωx(ω>0)在上单调递增,‎ 在上单调递减,知=,‎ ‎∴ω=.‎ 题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性 例3 (1)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为________.‎ ‎(2)若函数f(x)=2tan(kx+)的最小正周期T满足10且|φ|<)在区间[,]上是单调减函数,且函数值从1减少到-1,则f()=________.‎ 答案  解析 由题意得函数f(x)的周期T=2(-)=π,所以ω=2,此时f(x)=sin(2x+φ),将点(,1)代入上式得sin(+φ)=1 (|φ|<),所以φ=,‎ 所以f(x)=sin(2x+),‎ 于是f()=sin(+)=cos =.‎ ‎2.函数y=的定义域为______________.‎ 答案 [2kπ+,2kπ+π],k∈Z 解析 由2sin x-1≥0,得sin x≥,‎ ‎∴2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.‎ ‎3.关于函数y=tan(2x-),下列说法正确的是________.‎ ‎①是奇函数;‎ ‎②在区间(0,)上单调递减;‎ ‎③(,0)为其图象的一个对称中心;‎ ‎④最小正周期为π.‎ 答案 ③‎ 解析 函数y=tan(2x-)是非奇非偶函数,①错误;在区间(0,)上单调递增,②错误;最小正周期为,④错误.‎ ‎∵当x=时,tan(2×-)=0,‎ ‎∴(,0)为其图象的一个对称中心.‎ ‎4.若函数f(x)=-cos 2x,则f(x)的一个递增区间为________.‎ ‎①(-,0) ②(0,)‎ ‎③(,) ④(,π)‎ 答案 ②‎ 解析 由f(x)=-cos 2x知递增区间为[kπ,kπ+],k∈Z,故只有②满足.‎ ‎5.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若f()=-2,则f(x)的一个单调递减区间是________.‎ ‎①[-,] ②[,]‎ ‎③[-,] ④[,]‎ 答案 ③‎ 解析 由f()=-2,得 f()=-2sin(2×+φ)=-2sin(+φ)=-2,‎ 所以sin(+φ)=1.‎ 因为|φ|<π,所以φ=.‎ 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,‎ 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.‎ 当k=0时,-≤x≤.‎ ‎6.(2016·南京模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx-)+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(1,2),则函数f(x)的最小正周期为________.‎ 答案  解析 由函数f(x)=2sin(ωx-)+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,可得ωπ-=kπ+,k∈Z,∴ω=k+,∴ω=,从而得函数f(x)的最小正周期为=.‎ ‎7.函数y=sin x的图象和y=的图象交点的个数是________.‎ 答案 3‎ 解析 在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示:‎ 由图可知交点个数是3.‎ ‎8.函数y=cos2x+sin x(|x|≤)的最小值为________________________________________.‎ 答案  解析 令t=sin x,∵|x|≤,‎ ‎∴t∈.‎ ‎∴y=-t2+t+1=-2+,‎ ‎∴当t=-时,ymin=.‎ ‎9.函数y=cos(-2x)的单调减区间为______________.‎ 答案 [kπ+,kπ+](k∈Z)‎ 解析 由y=cos(-2x)=cos(2x-),‎ 得2kπ≤2x-≤2kπ+π (k∈Z),‎ 解得kπ+≤x≤kπ+ (k∈Z),‎ 所以函数的单调减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).‎ ‎10.用“五点法”作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:‎ ‎(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间.‎ ‎①y>1;②y<1.‎ ‎(2)若直线y=a与y=1-2sin x,x∈[-π,π]有两个交点,求a的取值范围.‎ 解 列表如下:‎ x ‎-π ‎- ‎0‎ π sin x ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1-2sin x ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎1‎ 描点连线得:‎ ‎(1)由图象可知图象在y=1上方部分时y>1,在y=1下方部分时y<1,‎ 所以①当x∈(-π,0)时,y>1;②当x∈(0,π)时,y<1.‎ ‎(2)如图所示,当直线y=a与y=1-2sin x有两个交点时,1<a<3或-1<a<1,‎ 所以a的取值范围是{a|1<a<3或-1<a<1}.‎ ‎11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<φ<)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求当f(x)为偶函数时φ的值;‎ ‎(2)若f(x)的图象过点(,),求f(x)的单调递增区间.‎ 解 ∵f(x)的最小正周期为π,则T==π,‎ ‎∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ).‎ ‎(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x),‎ ‎∴sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),‎ 将上式展开整理得sin 2xcos φ=0,‎ 由已知上式对∀x∈R都成立,‎ ‎∴cos φ=0,∵0<φ<,∴φ=.‎ ‎(2)f(x)的图象过点(,)时,‎ sin(2×+φ)=,即sin(+φ)=.‎ 又∵0<φ<,∴<+φ<π,‎ ‎∴+φ=,φ=,‎ ‎∴f(x)=sin(2x+).‎ 令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,‎ 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为 ‎[kπ-,kπ+],k∈Z.‎ ‎12.(2015·北京)已知函数f(x)=sin x-2sin2.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最小值.‎ 解 (1)因为f(x)=sin x+cos x- ‎=2sin-,‎ 所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)因为0≤x≤,所以≤x+≤π.‎ 当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值.‎ 所以f(x)在区间上的最小值为f=-.‎ ‎*13.已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.‎ ‎(1)求常数a,b的值;‎ ‎(2)设g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.‎ 解 (1)∵x∈,∴2x+∈,‎ ‎∴sin∈,‎ ‎∴-2asin∈[-2a,a],‎ ‎∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1,‎ ‎∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=-4sin-1,‎ g(x)=f=-4sin-1‎ ‎=4sin-1,‎ 又由lg g(x)>0,得g(x)>1,‎ ‎∴4sin-1>1,∴sin>,‎ ‎∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,‎ 其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,‎ g(x)单调递增,即kπ
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