数学卷·2018届黑龙江、吉林两省八校联考高二上学期期中数学试卷（理科）+（解析版）

数学卷·2018届黑龙江、吉林两省八校联考高二上学期期中数学试卷（理科）+（解析版）

‎2016-2017学年黑龙江、吉林两省八校联考高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．抛物线y2=6x的焦点到准线的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎3．设向量=（﹣1，1，2），=（2，1，3），则向量，的夹角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则=（　　）‎ A．3 B． C． D．2‎ ‎5．有关下列命题，其中说法错误的是（　　）‎ A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”‎ B．“x2﹣3x﹣4=0”是“x=4”的必要不充分条件 C．若p∧q是假命题，则p，q都是假命题 D．命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0‎ ‎6．在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，设OA=a，OB=b，OC=c，则OD可表示为（　　）‎ A．a+c﹣b B．a+2b﹣c C．b+c﹣a D．a+c﹣2b ‎7．P为抛物线y2=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎9．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左，右焦点为F1，F2，P是双曲线C上的一点，PF1与x轴垂直，△PF1F2的内切圆方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角是（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎11．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线的两条渐近线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于2（a+），则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（1，2） B．（，2） C．（1，） D．（，）‎ ‎12．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， •=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．‎ ‎13．命题p：∀x∈R，cosx＞sinx﹣1的否定为　　．‎ ‎14．抛物线x2=3y上一点A的纵坐标为，则点A到此抛物线焦点的距离为　　．‎ ‎15．椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为C，若直线AB与直线CF的交点为（3a，16），则椭圆的标准方程为　　．‎ ‎16．如图，已知两个正四棱锥P﹣ABCD与Q﹣ABCD的高分别为2和4，AB=4，E、F分别为PC、AQ的中点，则直线EF与平面PBQ所成角的正弦值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．求双曲线C：﹣=1的焦点坐标、实轴长、虚轴长及渐近线方程．‎ ‎18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P=A1C1，连接AP交棱CC1于点D．以A1为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示．‎ ‎（1）写出A1、B、B1、C、D、P的坐标；‎ ‎（2）求异面直线A1B与PB1所成角的余弦值．‎ ‎19．已知命题p：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；命题q：不等式x2+ax+2＜0有解．若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．‎ ‎20．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=x﹣8与此抛物线交于A、B两点，与x轴交于点C，O为坐标原点，若=3．‎ ‎（1）求此抛物线的方程；‎ ‎（2）求证：OA⊥OB．‎ ‎21．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；‎ ‎（Ⅱ）求直线AB与平面CBF所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？‎ ‎22．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率为且过点（，0），过定点C（﹣1，0）的动直线与该椭圆相交于A、B两点．‎ ‎（1）若线段AB中点的横坐标是﹣，求直线AB的方程；‎ ‎（2）在x轴上是否存在点M，使•为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年黑龙江、吉林两省八校联考高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．抛物线y2=6x的焦点到准线的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由抛物线的方程求得焦点坐标及准线方程，即可求得焦点到准线的距离．‎ ‎【解答】解：由抛物线y2=6x焦点坐标为（，0），‎ 准线方程为：x=﹣，‎ ‎∴焦点到准线的距离﹣（）=3，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线方程求出焦点坐标及一条渐近线方程，在由点到直线的距离公式求得答案．‎ ‎【解答】解：由双曲线﹣=1，得 a2=2，b2=3，c2=a2+b2=5，‎ ‎∴双曲线的右焦点F（，0），‎ 一条渐近线方程为y==x，即2y﹣x=0．‎ 由点到直线的距离公式得，焦点到其渐近线的距离d==．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．设向量=（﹣1，1，2），=（2，1，3），则向量，的夹角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】利用向量夹角余弦值计算公式求解．‎ ‎【解答】解：∵向量=（﹣1，1，2），=（2，1，3），‎ ‎∴cos＜＞===．‎ ‎∴向量，的夹角的余弦值为．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则=（　　）‎ A．3 B． C． D．2‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得： =，解出即可得出．‎ ‎【解答】解：由题意可得： =，解得=2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．有关下列命题，其中说法错误的是（　　）‎ A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”‎ B．“x2﹣3x﹣4=0”是“x=4”的必要不充分条件 C．若p∧q是假命题，则p，q都是假命题 D．命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】利用命题的四种命题间的相互转换判断A的正误；利用一元二次方程的性质判断B的正误；利用复命题的性质判断C的正误；利用特称命题判断D的正误．‎ ‎【解答】解：在A中：否定命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的条件作结论，‎ 否定命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的结论作条件，‎ 得到命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”，‎ 故A正确；‎ 在B中：∵“x2﹣3x﹣4=0”⇒“x=4，或x=﹣1”，“x=4”⇒“x2﹣3x﹣4=0”，‎ ‎∴“x2﹣3x﹣4=0”是“x=4”的必要不充分条件，故B正确；‎ 在C中：若p∧q是假命题，则p，q至少有一个是假命题，‎ 故C错误；‎ 在D中：∵命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0是特称命题，‎ ‎∴￢p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0，故D正确．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，设OA=a，OB=b，OC=c，则OD可表示为（　　）‎ A．a+c﹣b B．a+2b﹣c C．b+c﹣a D．a+c﹣2b ‎【考点】空间向量的加减法．‎ ‎【分析】与之间难以建立直接的关系，挖掘隐含条件=，寻找、与以及、与的关系可间接获解．‎ ‎【解答】解：∵在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，‎ ‎∴=，‎ ‎=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=﹣‎ ‎=‎ ‎=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．P为抛物线y2=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】通过抛物线方程可知焦点F（﹣1，0），利用两点间距离公式可知|AF|=，通过抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值．‎ ‎【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣4x，‎ ‎∴焦点F（﹣1，0），‎ 又∵A（0，1），‎ ‎∴|AF|==，‎ 由抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，‎ ‎∴d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】求出，点A到平面α的距离：d=，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（1，2，2），‎ A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，‎ ‎∴=（1，1，﹣2），‎ 点A到平面α的距离：‎ d===．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左，右焦点为F1，F2，P是双曲线C上的一点，PF1与x轴垂直，△PF1F2的内切圆方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得：△PF1F2的内切圆圆心C（﹣1，1），半径为r=1，由丨OF1丨=2r=2，即可求得c，根据双曲线的性质，求得丨PF1丨=，丨PF2丨=2a+，丨F1F2丨=2c=4，由内切圆的半径公式径r==2﹣a=1，即可求得a，则b2=c2﹣a2=3求得双曲线方程．‎ ‎【解答】解：，△PF1F2的内切圆方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆心C（﹣1，1），半径为r=1，‎ ‎∴丨OF1丨=2r=2，‎ P（﹣2，），‎ ‎∴丨PF1丨=，由双曲线的定义可知：丨PF2丨=2a+，丨F1F2丨=2c=4，‎ 由三角形的内切圆的半径r==2﹣a=1，‎ 则a=1，‎ 由b2=c2﹣a2=3‎ ‎∴双曲线方程为：，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角是（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】由题意由于图中已有了两两垂直的三条直线，所以可以建立空间直角坐标系，先准确写出个点的坐标，利用线面角和线与平面的法向量所构成的两向量的夹角之间的关系即可求解．‎ ‎【解答】解：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．‎ 设OD=SO=OA=OB=OC=a，‎ 则A（a，0，0），B（0，a，0），C（﹣a，0，0），P（0，﹣，）．‎ 则=（2a，0，0），=（﹣a，﹣，），‎ 设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，‎ 可求得=（0，1，1），‎ 则cos＜，＞=．‎ ‎∴＜，＞=60°，‎ ‎∴直线BC与平面PAC所成的角为90°﹣60°=30°．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线的两条渐近线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于2（a+），则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（1，2） B．（，2） C．（1，） D．（，）‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得•=﹣1，求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于2（a+），建立不等式关系，结合双曲线离心率的定义，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意可得D为△ABC的垂心，‎ 即有AD⊥BC，即D在x轴上，‎ 令x=c，可得y2=b2（﹣1），‎ 解得y=±，‎ 可设B（c，），C（c，﹣），‎ 由BD⊥AC，可得kBD•kAC=﹣1，‎ 由题意，A（a，0），‎ 设D（x，0），则由BD⊥AB得•=﹣1，‎ ‎∴c﹣x=，‎ ‎∵D到直线BC的距离小于2（a+）=2（a+c），‎ ‎∴c﹣x=||＜2（a+c），‎ ‎∴＜2（c2﹣a2）=2b2，‎ ‎∴（）2＜2，‎ 则b2＜2a2，‎ 即c2﹣a2＜2a2，‎ 则c2＜3a2，‎ c＜a，‎ 即1＜e＜，‎ 则曲线的离心率的取值范围是（1，），‎ 故选：C ‎　‎ ‎12．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， •=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．‎ ‎【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 直线AB与x轴的交点为M（m，0），‎ 由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，‎ ‎∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，‎ 结合及，得，‎ ‎∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．‎ 不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，‎ ‎∴S△ABO+S△AFO==×2×（y1﹣y2）+×y1，‎ ‎=．‎ 当且仅当，即时，取“=”号，‎ ‎∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．‎ ‎13．命题p：∀x∈R，cosx＞sinx﹣1的否定为　∃x∈R，cosx≤sinx﹣1　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，cosx＞sinx﹣1的否定为∃x∈R，cosx≤sinx﹣1‎ 故答案为：∃x∈R，cosx≤sinx﹣1；‎ ‎　‎ ‎14．抛物线x2=3y上一点A的纵坐标为，则点A到此抛物线焦点的距离为　2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线方程求得其准线方程，由题意可得：点A到此抛物线焦点的距离为+=2．‎ ‎【解答】解：由抛物线x2=3y的焦点在x轴上，准线方程为：y=﹣，‎ 由A的纵坐标为，‎ ‎∴点A到此抛物线焦点的距离为+=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为C，若直线AB与直线CF的交点为（3a，16），则椭圆的标准方程为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得：直线AB，CF的方程分别为： =1， =1，把（3a，16）代入上述方程可得： =1， =1，又a2=b2+c2，联立解得即可得出．‎ ‎【解答】解：由题意可得：直线AB，CF的方程分别为： =1， =1，‎ 把（3a，16）代入上述方程可得： =1， =1，又a2=b2+c2，‎ 联立解得a=5，b=4，‎ ‎∴椭圆的标准方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．如图，已知两个正四棱锥P﹣ABCD与Q﹣ABCD的高分别为2和4，AB=4，E、F分别为PC、AQ的中点，则直线EF与平面PBQ所成角的正弦值为　　．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】如图所示，建立坐标系，则E（﹣），F（，0，﹣2），求出平面PBQ的法向量，即可得出直线EF与平面PBQ所成角的正弦值．‎ ‎【解答】解：如图所示，建立坐标系，则E（﹣），F（，0，﹣2），‎ ‎∴=（2，0，﹣3），‎ ‎∵平面PBQ的法向量为=（1，0，0），‎ ‎∴cos＜，＞==，‎ ‎∴直线EF与平面PBQ所成角的正弦值为．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．求双曲线C：﹣=1的焦点坐标、实轴长、虚轴长及渐近线方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线方程可知：a2=8，b2=12，c2=20，求得a，b和c的值，即可求得焦点坐标、实轴长、虚轴长及渐近线方程．‎ ‎【解答】解：由双曲线C：﹣=1，‎ ‎∴a2=8，b2=12，c2=20，‎ ‎∴…‎ ‎∴焦点为，实轴长为，虚轴长为，‎ 渐近线方程为…‎ ‎　‎ ‎18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P=A1C1，连接AP交棱CC1于点D．以A1为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示．‎ ‎（1）写出A1、B、B1、C、D、P的坐标；‎ ‎（2）求异面直线A1B与PB1所成角的余弦值．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）由已知可得坐标．‎ ‎（2）利用向量夹角公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）．‎ ‎（2）∵=（1，0，1），=（1，﹣2，0），‎ ‎∴cos===，‎ ‎∴异面直线A1B与PB1所成角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎19．已知命题p：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；命题q：不等式x2+ax+2＜0有解．若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】由已知可得∈[2，3]，而由不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立可得a2﹣5a﹣3≥3，解不等式可求a的范围，即P的范围；由不等式x2+ax+2＜0有解，可得△=a2﹣8＞0，可求q的范围，结合p真，q假可求 ‎【解答】解：∵m∈[﹣1，1]，‎ ‎∴∈[2，3]．‎ ‎∵对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，可得a2﹣5a﹣3≥3，‎ ‎∴a≥6或a≤﹣1．‎ 故命题p为真命题时，a≥6或a≤﹣1．‎ 又命题q：不等式x2+ax+2＜0有解，‎ ‎∴△=a2﹣8＞0，‎ ‎∴a＞2或a＜﹣2．‎ 从而命题q为假命题时，﹣2≤a≤2，‎ ‎∴命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为﹣2≤a≤﹣1．‎ ‎　‎ ‎20．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=x﹣8与此抛物线交于A、B两点，与x轴交于点C，O为坐标原点，若=3．‎ ‎（1）求此抛物线的方程；‎ ‎（2）求证：OA⊥OB．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由抛物线y2=2px（p＞0），焦点F（，0），C（8，0），由=3，可得3×=8﹣，即可求得p的值，求得抛物线的方程；‎ ‎（2）将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理定理可知：y1y2=﹣64，代入求得x1x2，由•=x1x2+y1y2=0，可知⊥，因此OA⊥OB．‎ ‎【解答】解：（1）解：抛物线y2=2px（p＞0），焦点F（，0），‎ 直线y=x﹣8与x轴交于点C，即C（8，0），‎ ‎∵=3．即3•=8﹣，解得：p=4‎ ‎∴抛物线的方程为y2=8x…‎ ‎（2）证明：由，得y2=8（y+8），即y2﹣8y﹣64=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴y1y2=﹣64，‎ 又，‎ ‎∴•=x1x2+y1y2=64﹣64=0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴OA⊥OB…‎ ‎　‎ ‎21．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；‎ ‎（Ⅱ）求直线AB与平面CBF所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（I）利用面面垂直的性质，可得CB⊥平面ABEF，再利用线面垂直的判定，证明AF⊥平面CBF，从而利用面面垂直的判定可得平面DAF⊥平面CBF；‎ ‎（II）确定∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角，过点F作FH⊥AB，交AB于H，计算出AF，即可求得直线AB与平面CBF所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面DCF的法向量，平面CBF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得AD的长．‎ ‎【解答】（I）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，‎ ‎∴CB⊥平面ABEF．‎ ‎∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，…‎ 又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF． …‎ ‎∵AF⊂平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF．…‎ ‎（II）解：根据（Ⅰ）的证明，有AF⊥平面CBF，‎ ‎∴FB为AB在平面CBF内的射影，因此，∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角 …‎ ‎∵AB∥EF，∴四边形ABEF为等腰梯形，‎ 过点F作FH⊥AB，交AB于H．‎ AB=2，EF=1，则．‎ 在Rt△AFB中，根据射影定理AF2=AH•AB，得AF=1． …‎ ‎∴，∴∠ABF=30°．‎ ‎∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°． …‎ ‎（Ⅲ）解：设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）．‎ 设AD=t（t＞0），则点D的坐标为（1，0，t），则 C（﹣1，0，t），‎ ‎∴…‎ 设平面DCF的法向量为，则，，即 令，解得x=0，y=2t，∴…‎ 由（I）可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一个法向量为，‎ 依题意与的夹角为60°，∴，即，解得 因此，当AD的长为时，平面与DFC平面FCB所成的锐二面角的大小为60°．…‎ ‎　‎ ‎22．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率为且过点（，0），过定点C（﹣1，0）的动直线与该椭圆相交于A、B两点．‎ ‎（1）若线段AB中点的横坐标是﹣，求直线AB的方程；‎ ‎（2）在x轴上是否存在点M，使•为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0），可得，a=，a2=b2+c2，解出可得椭圆的方程．直线斜率不存在时显然不成立，设直线AB：y=k（x+‎ ‎1），将AB：y=k（x+1）代入椭圆的方程，消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0，由线段AB的中点的横坐标为，解得k，即可得出．‎ ‎（2）假设在x轴上存在点M（m，0），使得MA•MB为常数，‎ ‎①当直线AB与x轴不垂直时，利用根与系数的关系与数量积运算性质可得•=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2，即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0），‎ ‎∴，a=，a2=b2+c2，‎ 解得a=，c=，b2=．‎ ‎∴椭圆的方程为x2+3y2=5，‎ 直线斜率不存在时显然不成立，设直线AB：y=k（x+1），‎ 将AB：y=k（x+1）代入椭圆的方程，消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，‎ ‎∵线段AB的中点的横坐标为，解得，‎ ‎∴直线AB的方程为．‎ ‎（2）假设在x轴上存在点M（m，0），使得MA•MB为常数，‎ ‎①当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知，‎ ‎∴•=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2=，‎ ‎∵•是与k无关的常数，从而有，‎ 此时•=．‎ ‎②当直线AB与x轴垂直时，此时结论成立，‎ 综上可知，在x轴上存在定点，使，为常数．‎ ‎　‎ ‎2016年12月1日