专题09+复数、推理与证明-解题思维大提升之2019年高考数学二轮复习训练手册

专题09+复数、推理与证明-解题思维大提升之2019年高考数学二轮复习训练手册

‎【训练目标】‎ 1、 掌握复数的概念及复数的分类；‎ 2、 掌握复数的四则运算，复平面问题；‎ 3、 掌握共轭复数的概念，模长的计算；‎ 4、 理解复数的几何意义；‎ 5、 掌握归纳推理和类比推理的方法；‎ 6、 掌握反证法，综合法，分析法，数学归纳法。‎ ‎【温馨小提示】‎ 本专题高考有一道复数题，一般在选择题的第一或二题，属于送分题，主要考察复数的运算及复平面；推理与证明也是今年考试的热点，一半出现在选择题或者填空题，属于容易题。‎ ‎【名校试题荟萃】‎ ‎1.若集合，，则等于（   ）‎ A． ‎ B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，，所以。‎ ‎2.设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，对应点为，在第四象限．故选D．‎ ‎3.若复数是纯虚数，则的值为（   ）‎ A. B. C. D.或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可得因为复数z是纯虚数所以满足实部为零且虚部不为零.即.因为且，所以.所以.因为.故选A.‎ ‎4.设为虚数单位，如果复数满足，那么的虚部为（  ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎5.设复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 可得，则，则．‎ ‎6.是的共轭复数，若，（为虚数单位），则（  ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 方法一：设（），则，‎ ‎，．‎ 又，，‎ 故．‎ 方法二：，，‎ 又，，‎ ‎，.‎ ‎7、已知为实数，若，则实数等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 且复数不可比较大小，必为实数，，，.故选B.‎ ‎8、已知，，定义：.给出下列命题:‎ ‎（1）对任意,都有；‎ ‎（2）若是复数z的共轭复数，则恒成立；‎ ‎（3）若，则；‎ ‎（4）对任意，结论恒成立.‎ 则其中真命题是（   ）‎ A.（1）（2）（3）（4） B.（2）（3）（4） C.（2）（4） D. （2）（3）‎ ‎【答案】C ‎9、复数的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，故选A.‎ ‎10、考察下列等式：‎ ‎   ，‎ ‎   ，‎ ‎   ，‎ ‎……‎ ‎   ，‎ 其中为虚数单位，均为实数．由归纳可得，的值为.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ 通过归纳可得，，从而．‎ ‎11、是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点对应的复数为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎12、下面四个命题中， ① 复数，则其实部、虚部分别是；② 复数满足，则对应的点集合构成一条直线；③ 由，可得；④ 为虚数单位，则．正确命题的序号是.‎ ‎【答案】① ②‎ ‎13、已知复数和复数,则的值_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎14、若是实数，，则.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，因为是实数，所以是实数，又，故.‎ ‎15、设，复数满足：且（其中 为虚数单位），求的值为．‎ ‎【答案】‎ ‎16、下列说法中正确的序号是_______.‎ ‎①‎ ‎②若一个数是实数,则其虚部不存在 ‎③虚轴上的点表示的数都是纯虚数 ‎④设(为虚数单位),若复数在复平面内对应的向量为,则向量的模是 ‎⑤若,则对应的点在复平面内的第四象限.‎ ‎【答案】④⑤‎ ‎17、观察下列各式：，，，则的末两位数字为（  ）‎ A.01 B.43 C.07 D.4 ‎ ‎【答案】B ‎18、观察下列各式：，…，若，则（   ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎.‎ 所以，‎ 所以，所以，故选C.‎ ‎19、一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”。经过调查核实，四个人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯，说真话的人是 ( )‎ A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丁 D.甲、丁 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由四个所说，得上面的表，由于是两对两错，如果乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符。所以乙说假话，小偷不是丙。同时丙说的也是假话。即甲、丙说的是真话，小偷是乙。‎ ‎20、我国古代数学名著《孙子算经》中有如下故事:“今有三女,长女五日一归,中女四日一归,少女三日一归.”意思是:“一家出嫁的三个女儿中,大女儿每五天回一次娘家,二女儿每四天回一次娘家,小女儿每三天回一次娘家,聚齐后,三个女儿从娘家同一天离开.”假如回娘家一次算回家一天,若当地风俗正月初二都要回娘家,则从正月初三算起的两百天内,下列说法正确的是( )‎ A.小女儿回家68天 B.二女儿回家52天 C.大女儿回家38天 D.有女儿在娘家的天数为119天 ‎【答案】D ‎21、(2018山东日照一模)的所有正约数之和可按如下方法得到:因为,所以的所有正约数之和为 ‎,‎ 参照上述方法,可求得200的所有正约数之和为( )‎ A.930 B.465 C.360 D.240 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】类比36的所有正约数之和的方法有:200的所有正约数之和可按如下方法得到:因为,所以的所有正约数之和为,所以200的所有正约数之和为465,故选B.‎ ‎22、将正偶数排列如图，其中第行第列的数表示为，例如，若，则________.‎ ‎【答案】62‎ ‎23、在平面几何中，的内角平分线分所成线段的比为，把这个结论类比到空间：三棱锥中（如图所示），面平分二面角且与相交于，则得到的类比的结论是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在中，作于，于，则，所以，根据面积类比体积，长度类比面积可得，即．‎ ‎24、设是坐标原点，AB是圆锥曲线的一条不经过点且不垂直于坐标轴的弦，是弦的中点，分别表示直线的斜率.在圆中，，在椭圆中，类比上述结论可得________‎ ‎【答案】‎ ‎25、数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是_________．‎ ‎【答案】小乐，小强，小明．‎ ‎【解析】‎ 其一，若小明得金牌，则小乐一定不得金牌，不合题意；‎ 其二，小明得银牌时，再以小乐得奖情况分析，若小乐得金牌，小强得铜牌，不合提议，若小乐得铜牌小强得金牌，也不合题意；‎ 其三，若小明得铜牌，仍以小乐得奖情况分类，若小乐得金牌，小强得银牌，则老师才对一个合题意，若小乐得银牌，小强得金牌，则老师对了俩；不合题意，综上，小明得铜牌，小乐得金牌，小强得银牌．‎ ‎26、凸函数的性质定理如下:如果函数在区间上是凸函数,则对于区间内的任意,,…,,有.已知函数在区间上是凸函数,则在中,的最大值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵在区间上是凸函数,且,‎ ‎∴,‎ 即,∴的最大值为.‎ ‎27、记为有限集合的某项指标，已知，，，运用归纳推理，可猜想出的合理结论是：若， ___________（结果用含的式子表示）.‎ ‎【答案】 ‎ ‎28、观察如下规律:,则该数列的前120项和等于_______.‎ ‎【答案】150‎ ‎【解析】‎ 由,发现该数列,由个,个,个,个组成,∵,∴该数列前项,由个,个,个,个组成,即,故答案为.‎ ‎29、若是抛物线上的一点，则抛物线在点处的切线的斜率可以通过如下方法求得：在两边同时对求导，得，即，所以抛物线在点P处的切线的斜率．请类比上述方法，求出双曲线在点处的切线的方程为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎30、称为取整函数,是指不超过的最大整数,如,该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.运用取整的观点,我们可以解决如下问题.已知,且,则______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎,就,则,从而所求.‎ ‎31、已知等式“”、“ ”、“ ”均成立．则________‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 观察已知等式，推测： ‎ 所以答案应填：4‎