新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：4-2-2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 课件（73张）

新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：4-2-2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 课件（73张）

2.2　两角和与差的正弦、正切公式 及其应用　　　　　 必备知识·自主学习 1.两角和与差的正弦公式 名称 简记 符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 _____ sin(α+β)= ______________________ ____ α,β∈R 两角差 的正弦 _____ sin(α-β)= ______________________ ____ α,β∈R Sα+β sin αcos β+cos αsin β Sα-β sin αcos β-cos αsin β 【思考】 对照识记两角和与差的余弦公式的方法,你能总结一下识记两角和与差的正弦 公式的方法吗? 提示:可简单记为“正余余正,符号同”,即展开后的两项分别为两角的正弦乘 余弦、余弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同. 2.两角和与差的正切公式 名称 简记 符号 公式 使用条件 两角和 的正切 Tα+β tan(α+β)= ____________ α,β,α+β≠kπ+ (k∈Z) 且tan α·tan β≠1 两角差 的正切 Tα-β tan(α-β)= α,β,αβ≠kπ+ (k∈Z)且tan α·tan β≠-1 2  2  tan tan 1 tan tan     ＋ － tan tan 1 tan tan     － ＋ 【思考】 (1)由同角三角函数的商数关系知tan(α+β)= 由此能否推导出两角 和的正切公式? 提示:能.tan(α+β)= ,分子分母同除以cos α cos β可得tan(α+β)= . (2)两角和与差的正切公式中为什么限制α,β,α+β,α-β都不等于kπ+ (k∈Z)? 提示:这是由正切函数的定义域决定的. sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin            ＋ ＋ ＋ － tan tan 1 tan tan     ＋ － sin( ) cos( )     ＋ ＋ 2  【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. (　　) (2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立.(　　) (3)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立. (　　) (4)对任意α,β∈R,tan(α+β)= 都成立. (　　)tan tan 1 tan tan     ＋ － 提示:(1)√.根据公式的推导过程可得. (2)√.当α=45°,β=0°时,sin(α-β)=sin α-sin β. (3)√.当α=0,β= 时,tan(α+β)=tan =tan 0+tan ,但一般情况 下不成立. (4)×.两角和的正切公式的适用范围是α,β,α+β≠kπ+ (k∈Z). 3  (0 )3 ＋ 3  2  2.化简cos(x+y)sin y-sin(x+y)cos y等于 (　　) A.sin(x+2y)　　　　　B.-sin(x+2y) C.sin x D.-sin x 【解析】选D.cos(x+y)·sin y-sin(x+y)cos y=sin[y-(x+y)]=-sin x. 3.(教材二次开发:例题改编)若tan α=3,tan β= ,则tan(α-β)=(　　) A. 　　　　B. 　　　　C.- 　　　　D.-3 【解析】选A.因为tan α=3,tan β= ,所以tan(α-β)= = . 1 3 1 2 1 3 4 343 13 4 31 3 3  － ＝ ＋ tan tan 1 tan tan     － ＋ 4 3 4.函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为________.  【解析】因为f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x=cos φsin x-sin φcos x =sin(x-φ),又-1≤sin(x-φ)≤1,所以f(x)的最大值为1. 答案:1 关键能力·合作学习 类型一　两角和与差的正弦公式的应用(数学抽象) 　角度1　化简求值  【典例】1. 的值是(　　) A. B. C.1 D. 2.若sin = ,cos = ,且0<α< <β< ,则cos(α+β)的值 为________.  2sin 40 sin 20 cos 20     3 6 2 1 2 3( )4    5 13 3 5 ( )4   4  3 4  【思路导引】1.由sin 40°=sin 套用两角差的正弦公式化简可求值. 2.考虑如何利用已知条件中的角拼凑成所求问题中的角,可使用诱导公式. 【解析】1.选A.原式= = (60 20 ) － 2sin(60 20 ) sin 20 cos 20      － 2sin 60 cos 20 2cos 60 sin 20 sin 20 cos 20 3 12 cos 20 2 sin 20 sin 202 2 cos 20 3cos 20 sin 20 sin 20 3.cos 20                    － － － 2.因为0<α< <β< ,所以 < +α<π,- < -β<0, 又已知sin = ,cos = , 所以cos =- ,sin =- . 所以cos(α+β)=sin =sin =sin cos -cos sin = . 答案:- 4  3 4  3 4  3 4  4  2  3( )4    5 13 ( )4   3 5 3( )4    12 13 ( )4   4 5 [ ( )]2     3[( ) ( )]4 4      3( )4    ( )4   3( )4    ( )4   5 3 12 4 33( ) ( )13 5 13 5 65    － － － 33 65 【变式探究】 本例1考查利用两角和与差的正弦公式解决给角求值问题,突出考查了数学抽象 与数学运算的核心素养.若本例1变形为下式,试求值. 的值是 (　　) A. B. C.1 D. 2cos 50 sin 20 cos 20     3 6 2 1 2 【解析】选A.原式= =2cos(30 20 ) sin 20 cos 20       2cos 30 cos 20 2sin 30 sin 20 sin 20 cos 20 3 12 cos 20 2 sin 20 sin 202 2 cos 20 3cos 20 sin 20 sin 20 3.cos 20                    － － － 　角度2　给值求角  【典例】已知α,β均为锐角,且sin α= ,cos β= ,则α-β=_______.  【思路导引】先由已知的三角函数值,选择适当的三角函数名求出所求角的三 角函数值,再由已知角的范围,确定所求角的值. 10 10 5 5 【解析】因为α,β均为锐角,且sin α= ,cos β= , 所以cos α= ,sin β= . 所以sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β= =- . 又因为α,β均为锐角,所以- <α-β< ,故α-β=- . 答案:- 10 10 5 5 2 5 5 3 10 10 5 10 2 5 3 10 5 10 5 10  － 2 2 2  2  4  4  【解题策略】 1.解决给角求值问题的一般思路 (1)非特殊角型:把非特殊角转化为特殊角的和或差(如15°=45°-30°或15° =60°-45°),直接应用公式求值. (2)逆用结构型:把两角的和与差的展开式中的角视为一个整体,借助诱导公式 等工具,构造两角和与差的正余弦公式的展开式,然后逆用公式求值. 2.给值求角问题的解题步骤 ①求所求角的某个三角函数值; ②确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论,或范围过大或 过小,会使求出的角不合题意或者漏解,同时要根据角的范围确定取该角的哪一 种三角函数值. 【题组训练】 1.若cos α=- ,α是第三象限的角,则sin =(　　) A.- B. C.- D. 【解析】选A.因为cos α=- ,α是第三象限的角,所以sin α=- ,由两角 和的正弦公式可得sin =sin αcos +cos αsin = . 4 5 ( )4 ＋ 4 5 3 5 ( )4 ＋ 4  4  3 2 4 2) )5 2 5 2  (－ ＋(－ 7 2 10＝－ 2 10 7 2 10 7 2 10 2 10 2.已知α∈ ,β∈ ,且cos(α-β)= ,sin β=- ,求sin α. 【解析】因为α∈ ,β∈ , 所以α-β∈(0,π). 因为cos(α-β)= ,所以sin(α-β)= .因为β∈ ,sin β=- , 所以cos β= .所以sin α=sin[(α-β)+β] =sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β = . (0 )2 ， ( 0)2 － ， 3 5 2 10 (0 )2 ， ( 0)2 － ， 3 5 4 5 ( 0)2 － ， 2 10 7 2 10 4 7 2 3 2 2(5 10 5 10 2  ＋ － )＝ 3.已知sin α= ,sin(α-β)=- ,α,β均为锐角,求β. 【解析】因为α为锐角,sin α= ,所以cos α= .因为- <α-β< 且sin(α-β)=- ,所以cos(α-β)= ,所以sin β=sin[(β-α)+α] =sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α= ,因为β为 锐角,所以β= . 5 5 10 10 5 5 2 5 5 2  2  10 10 3 10 10 10 2 5 3 10 5 2 10 5 10 5 2  ＋ ＝ 4  【补偿训练】 若锐角α,β满足cos α= ,cos(α+β)= ,则sin β的值是 (　　) A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 【解析】选C.因为cos α= ,cos(α+β)= ,α,β∈ ,所以sin α= ,sin(α+β)= . 所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α = . 4 5 3 5 1 5 17 25 3 5 7 25 4 5 3 5 (0 )2 ， 3 5 4 5 4 4 3 3 7 5 5 5 5 25  － ＝ 4.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C的大小为 (　　) A. 　　　　　　　 B. C. 或 　 D. 或 【解析】选A.由已知可得(3sin A+4cos B)2+(3cos A+4sin B)2=62+12,即 9+16+24sin(A+B)=37.所以sin(A+B)= .所以在△ABC中,sin C= ,所以 C= 或C= .又1-3cos A=4sin B>0,所以cos A< .又 < ,所以A> , 所以C< ,所以C= 不符合题意,所以C= . 6  6  5 6  5 6  3  2 3  1 2 1 2 6  5 6  1 3 1 3 1 2 3  5 6  6 2 3  5.求下列各式的值: (1)cos 105°+sin 195°; (2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°; (3)sin - cos . 12  12  3 【解析】(1)cos 105°+sin 195° =cos(90°+15°)+sin(180°+15°) =-sin 15°-sin 15°=-2sin 15°=-2sin(45°-30°) =-2(sin 45°·cos 30°-cos 45°·sin 30°) =-2 .2 3 2 1 2 6( 2 2 2 2 2   －－ )＝ (2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74° =sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°) =sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16° =sin(14°+16°)=sin 30°= .1 2 (3)方法一:sin - cos =2 =2 =-2cos =-2cos =-2× =- . 方法二:sin - cos =2 =2 =-2sin =-2sin =-2× =- . 12  12  3 1 3( sin cos )2 12 2 12  － (sin sin cos cos )6 12 6 12    － ( )6 12  ＋ 4  2 2 2 12  3 12  1 3( sin cos )2 12 2 12  － (cos sin sin cos )3 12 3 12    － ( )3 12  － 4  2 2 2 类型二　两角和与差的正切公式的应用(数学运算、逻辑推理) 【典例】1.计算 =________.  2.tan 72°-tan 42°- tan 72°tan 42°=________.  1 tan 15 3 tan 60 tan 15    － 3 3 3.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边 分别与单位圆交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为 , .求: (1)tan(α+β)的值;(2)α+2β的值. 2 5 5 2 10 【思路点拨】1.先用“tan45°=1”替换,再利用两角和的正切公式求值. 2.利用两角差的正切公式的变形公式解决. 3.(1)由三角函数的定义得出角α,β的正弦、余弦值,求出它们的正切值,利用 两角和的正切公式解决. (2)由α+2β=(α+β)+β,利用两角和的正切公式解决. 【解析】1.原式= = tan(45°+15°)= tan 60°=1. 答案:1 2.原式=tan(72°-42°)(1+tan 72°·tan 42°)- tan 72°tan 42°= tan 30°(1+tan 72°tan 42°)-tan 30°tan 72°tan 42°=tan 30°= . 答案: tan 45 tan 15 3(1 tan 45 tan 15 )     － 1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3.(1)由已知条件及三角函数的定义可知, cos α= ,cos β= .因为α为锐角,故sin α>0, 从而sin α= . 同理可得sin β= .因此tan α=7,tan β= . 即tan(α+β)= = =-3. 2 10 2 5 5 2 7 21 cos 10 － ＝ 5 5 1 2 tan tan 1 tan tan     ＋ － 17 2 11 7 2  ＋ － (2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]= =-1. 又0<α< ,0<β< ,故0<α+2β< , 从而由tan(α+2β)=-1得α+2β= π. 13 2 11 ( 3) 2  － ＋ －－ 2  2  3 2  3 4 【解题策略】 1.公式Tα+β,Tα-β 应用的解题策略 (1)公式Tα+β,Tα-β有tan α·tan β,tan α+tan β(或tan α-tan β), tan(α+β)(或tan(α-β)).三者知二可求出第三个; (2)化简过程中注意“1”与“tan ”,“ ”与“tan ”等特殊数与 特殊角的函数值之间的转化. 3  4  3 2.解决给值求角问题的选择原则 (1)已知正切函数值,选正切函数; (2)已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是 ,选正弦或余弦 函数均可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是 ,选正弦较好. (0, )2  ( , )2 2   【跟踪训练】 1.化简求值: (1)tan 75°;(2) . 【解析】(1)tan 75°=tan(45°+30°)= = = = . (2)原式= =tan(60°-15°)=tan 45°=1. 3 tan 15 1 3tan 15   － ＋ tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30     ＋ － 31 3 31 3 ＋ － 3 3 3 3 ＋ － 12 6 3 2 36 ＋ ＝ ＋ tan 60 tan 15 1 tan 60 tan 15     － ＋ 2.设方程x2+3 x+4=0的两根为tan α,tan β,且0<|α|< ,0<|β|< , 求α+β的值. 【解析】由已知,得tan α+tan β=-3 ,tan αtan β=4. 所以tan(α+β)= = = , 且tan α<0,tan β<0,所以- <α<0,- <β<0, 所以-π<α+β<0,所以α+β=- π. 3 2  2  3 tan tan 1 tan tan     ＋ － 3 3 1 4 － － 3 2  2  2 3 【补偿训练】 1.求值tan . 【解析】tan =tan = = . 12  12  ( )4 6  － tan tan4 6 1 tan tan4 6     － ＋ 31 3 2 3 31 3 － ＝ － ＋ 2.已知tan α= ,tan β=-2,且0<α< <β<π, 求:(1)tan(α-β)的值; (2)角α+β的值. 1 3 2  【解析】(1)因为tan α= ,tan β=-2, 所以tan(α-β)= = =7. (2)tan(α+β)= = =-1, 因为0<α< <β<π,所以 <α+β< ,所以α+β= . 1 3 tan tan 1 tan tan     － ＋ 1 23 21 3 ＋ － tan tan 1 tan tan     ＋ － 1 23 21 3 － ＋ 2  2  3 2  3 4  1.计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于(　　) A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 【解析】选A.sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°=sin(43°-13°)= sin 30°= . 课堂检测·素养达标 3 2 1 2 3 3 2 2 1 2 2.在△ABC中,若sin(B+C)=2sin Bcos C,则△ABC是 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【解析】选D.因为sin(B+C)=2sin Bcos C, 所以sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, 即sin Bcos C-cos Bsin C=0,所以sin(B-C)=0, 所以B=C,所以△ABC是等腰三角形. 3.计算 = (　　) A.-1 B.1 C. D.- 【解析】选C. =tan(82°-22°)=tan 60°= .tan 82 tan 22 1 tan 82 tan 22     － ＋ 3 3 tan 82 tan 22 1 tan 82 tan 22     － ＋ 3 4.(教材二次开发:例题改编)计算 =________. 【解析】因为tan 10°+tan 50°=tan 60°-tan 60°tan 10°tan 50°, 所以 . 答案:- tan 10 tan 50 tan 120 tan 10 tan 50        tan 60 tan 60 tan 10 tan 50 tan 120 3.tan 10 tan 50         － － 3 5.已知tan α,tan β是方程x2+ x-2=0的两个根,且- <α< ,- <β< , 求α+β的值. 【解析】由根与系数的关系得 故tan α与tan β一正一负,不妨设tan α>0,tan β<0, 则0<α< ,- <β<0,所以- <α+β< , 又tan(α+β)= ,所以α+β=- . 3 2  2  2  2  tan tan 3 tan tan 2       ＋ ＝－ ， ＝－ ， 2  2  2  2  3 3 1 ( 2) 3 － ＝－－－ 6  三十　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 【基础通关——水平一】 (15分钟　30分) 1.若tan =3,则tan α的值为 (　　) A.-2　　　B.- 　　　C. 　　　D.2 【解析】选B.tan α=tan 课时素养评价 ( )4  － 1 tan( ) 1 3 14[ ( )] .4 4 1 3 21 tan( )4        － － －＝ ＝ ＝－＋＋ － 1 2 1 2 2.若sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=m,且β为第三象限角,则cos β的 值为 (　　) A. B.- C. D.- 【解析】选B.由条件得,sin[(α-β)-α]=sin(-β)=-sin β=m,所以sin β=-m. 又因为β为第三象限角,所以cos β=- =- .21 m－ 21 m－ 2m 1－ 2m 1－ 21 sin － 21 m－ 3.在△ABC中,cos Acos B>sin Asin B,则△ABC为 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判定 【解析】选C.因为cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)>0,-cos C>0,所以cos C <0,故C为钝角,△ABC为钝角三角形. 4.在△ABC中,C=120°,tan A+tan B= ,则tan A·tan B= (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.因为C=120°,则A+B=60°,又tan(A+B)= ,故 ,所以tan Atan B= . 2 3 3 5 3 1 4 1 3 1 2 tan A tan B 1 tan Atan B ＋ － 2 3 3 31 tan Atan B＝－ 1 3 5.已知tan = ,tan =2 . 求:(1)tan ; (2)tan(α+β). ( )12  ＋ 2 ( )3 － 2 ( )4  ＋ － 【解析】(1)tan ( )4  ＋ － tan[( )]12 3 tan( ) tan( )12 3 1 tan( )tan(12 3 2 2 2 1 2 2 2 2.           ＝ ＋ )＋( － ＋ ＋ － ＝ － ＋ － ） ＋＝ － ＝－ (2)tan(α+β)=tan =2 -3. tan( ) tan4 4 1 tan( )tan4 4 2 1 1 ( 2) 1         ＋ － ＋ ＝ － ＋ － － ＋ －－ [( ]4 4   ＋ － )＋ 2 【能力进阶——水平二】 　　 (20分钟　40分) 一、单选题(每小题5分,共20分) 1.若tan 28°·tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°=(　　) A. m B. (1-m) C. (m-1) D. (m+1) 3 3 3 3 【解析】选B.tan(28°+32°)=tan 60° 所以tan 28°+tan 32°= (1-m). tan 28 tan 32 1 tan 28 tan 32 tan 28 tan 32 31 m       ＋＝ － ＋＝ ＝ ，－ 3 【补偿训练】 　　　 的值为 (　　) A.-1　　　B.1　　　C.- 　　　D. 【解析】选B.原式= =tan(105°-60°)=tan 45°=1. tan 105 3 1 3 tan 105  g － ＋ 3 3 3 tan 105 tan 60 1 tan 60 tan 105    g － ＋ 2.已知cos +sin α= ,则sin 的值为 (　　) A.- B. C.- D. 【解析】选C.因为cos +sin α= ,所以cos αcos +sin αsin +sin α= , 所以 cos α+ sin α= ,即 cos α+ sin α= ,所以sin = ,所以sin =-sin =- . ( )6 － 4 3 5 7( )6 ＋ 2 3 5 2 3 5 4 5 4 5 ( )6 － 4 3 5 6  6  4 3 5 3 2 3 2 4 3 5 1 2 3 2 4 5 ( )6  ＋ 7( )6 ＋ ( )6 ＋ 4 5 4 5 3.如果 ,那么 等于 (　　) A. 　　　　　　　　 B. C. D. 【解析】选A. = = , 所以nsin αcos β+ncos αsin β=msin αcos β-mcos αsin β, 所以(m-n)sin αcos β=(m+n)cos αsin β, 所以 = ,即 = . sin( ) m sin( ) n     ＋ － tan tan   m n m n － ＋ n m n m － ＋ m n m n ＋ － n m n m ＋ － sin( ) sin( )     ＋ － sin cos cos sin sin cos cos sin         ＋ － m n cos sin sin cos     m n m n － ＋ tan tan   m n m n － ＋ 4.在△ABC中,若00,tan C>0,所以tan(B+C)= >0.所以B+C为锐角,从而A为钝角,从而△ABC是钝角三角形. 方法二:因为00,所以cos A<0,所以A为钝角. tan B tan C 1 tan Btan C ＋ － sin Bsin C cos Bcos C 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.已知cos α=- ,且α∈ ,则tan 等于________. 【解析】因为cos α=- ,且α∈ , 所以sin α= .所以tan α= =- , 所以tan = =7. 答案:7 4 5 ( )2  ， ( )4  － 1 tan 1 tan   － ＋ 4 5 3 5 ( )2  ， sin cos   3 4 ( )4  － 【补偿训练】 已知tan = ,tan =- ,则tan =________. 【解析】tan =tan = . 答案: ( )2 － 1 2 ( )2 － 1 3 ( )2  ＋ 2  ＋ [( )]2 2   － )＋( － 1 1 ) 12 3 1 1 71 (2 3  ＋(－ ＝ － － ） 1 7 6.若(tan α-1)(tan β-1)=2,则tan(α+β)=________,α+β=________. 【解析】(tan α-1)(tan β-1)=2⇒tan αtan β-tan α-tan β+1=2⇒ tan α+tan β=tan αtan β-1⇒ =-1, 即tan(α+β)=-1,所以α+β=kπ- (k∈Z) 答案:-1　kπ- (k∈Z) tan tan 1 tan tan     － 4  4  三、解答题 7.(10分)求下列各式的值; (1)sin 119°sin 181°-sin 91°sin 29°. (2) ; (3)tan 78°-tan 33°-tan 78°tan 33°. tan 75 tan 15 1 tan 75 tan 15     － ＋ 【解析】(1)原式=sin(29°+90°)sin(1°+180°)-sin(1°+90°)·sin 29° =cos 29°(-sin 1°)-cos 1°sin 29° =-(sin 29°cos 1°+cos 29°sin 1°) =-sin(29°+1°)=-sin 30°=- . (2)原式=tan(75°-15°)=tan 60°= . 1 2 3 (3)tan 45°=1= , 所以tan 78°-tan 33°=1+tan 78°tan 33°, 所以tan 78°-tan 33°-tan 78°tan 33°=1. tan 78 tan 33 1 tan 78 tan 33     － ＋ 【补偿训练】 1.tan(18°-x)tan(12°+x)+ [tan(18°-x)+tan(12°+x)]. 【解题指南】对本题进行观察,发现它有两个特征:一个特征是该三角函数式 的前半段是两个角正切函数的积,而后半段是这两个角正切函数的和的倍数; 另一个特征是这两个角的和(18°-x)+(12°+x)=30°,而30°是特殊角,根据 这两个特征,很容易联想到正切的和角公式. 3 【解析】因为tan [(18°-x)+(12°+x)]= =tan 30° = ,所以tan(18°-x)+tan(12°+x)= [1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]. 所以原式=tan(18°-x)tan(12°+x)+ × [1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]=1. tan(18 x) tan(12 x) 1 tan(18 x) tan(12 x)    g － ＋ ＋ － － ＋ 3 3 3 3 3 3 3 2.是否存在锐角α,β,使得 (1)α+2β= , (2)tan tan β=2- 同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在, 说明理由. 2 3  2  3 【解析】假设存在锐角α,β,使得(1)α+2β= , (2)tan tan β=2- 同时成立.由(1)得 +β= , 所以tan = = . 又tan tan β=2- , 所以tan +tan β=3- , 2 3  2  3 2  3  ( )2   tan tan2 1 tan tan2     ＋ － 3 2  3 2  3 因此tan ,tan β可以看成是方程x2-(3- )x+2- =0的两个根. 解得x1=1,x2=2- . 若tan =1,则α= ,这与α为锐角矛盾. 所以tan =2- ,tan β=1,所以α= ,β= . 所以满足条件的α,β存在,且α= ,β= . 2  3 3 2  3 2  2  3 6  4  6  4 