【数学】2019届一轮复习全国经典版（理）空间向量的运算及应用学案

【数学】2019届一轮复习全国经典版（理）空间向量的运算及应用学案

第6讲　空间向量的运算及应用 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　空间向量的有关定理 ‎1．共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.‎ ‎2．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.‎ ‎3．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．‎ 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z.‎ 考点2　数量积及坐标运算 ‎1．两个向量的数量积 ‎(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)．‎ ‎(3)|a|2＝a2，|a|＝.‎ ‎2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ‎(1)|a|＝；‎ ‎(2)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；‎ ‎(3)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；‎ ‎(4)λa＝(λa1，λa2，λa3)；‎ ‎(5)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；‎ ‎(6)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；‎ ‎(7)cos〈a，b〉＝ .‎ ‎[必会结论]‎ 点共线和点共面问题 ‎(1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A，B，C三个点共线，即证明与共线．‎ ‎(2)点共面问题：点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y，或对空间任一点O，有＝＋x＋y，或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．‎ ‎[考点自测]‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　　)‎ ‎(2)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．(　　)‎ ‎(3)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)‎ ‎(4)对于空间非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0.(　　)‎ ‎(5)对于非零向量b，由a·b＝b·c，得a＝c.(　　)‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×‎ ‎2．[课本改编]已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则 λ与 μ的值可以是(　　)‎ A．2， B．－， C．－3,2 D．2,2‎ 答案　A 解析　∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，‎ ‎∴解得或故选A.‎ ‎3．[课本改编]已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)‎ A．－2 B．－ C. D．2‎ 答案　D 解析　由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故选D.‎ ‎4．[课本改编]若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　)‎ A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 答案　B 解析　∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，∴n＝－2a，即a∥n，∴l⊥α.故选B.‎ ‎5．已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．‎ 答案　－ 解析　cos〈a，b〉＝＝－.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　空间向量的线性运算 例　1　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a ‎，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.‎ 解　(1)∵P是C1D1的中点，‎ ‎∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.‎ ‎(2)∵N是BC的中点，‎ ‎∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.‎ ‎(3)∵M是AA1的中点，‎ ‎∴＝＋＝＋ ‎＝－a＋＝a＋b＋c.‎ 又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，‎ ‎∴＋＝＋ ‎＝a＋b＋c.‎ 触类旁通 用已知向量表示某一向量的方法 用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来．‎ ‎【变式训练1】　在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.‎ 解　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＋.‎ ＝－＝－＝＋＋－＝－＋＋.‎ 考向　空间向量的坐标运算 例　2　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.‎ ‎(1)若|c|＝3，且c∥，求c；‎ ‎(2)求a和b的夹角的余弦值；‎ ‎(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．‎ 解　(1)∵c∥，‎ ‎∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)．‎ ‎∴|c|＝＝3|m|＝3.‎ ‎∴m＝±1.‎ ‎∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．‎ ‎(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，‎ ‎∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，‎ 又|a|＝＝，‎ ‎|b|＝＝，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝－.‎ ‎∴a和b夹角的余弦值为－.‎ ‎(3)∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，‎ ‎∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.∴k＝2或k＝－.‎ 即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－.‎ 触类旁通 空间向量的坐标表示主要应用于向量平行、垂直、向量的模、向量的夹角，在研究几何问题中只要建立适当的坐标系，把空间几何体中涉及的直线和平面用向量表示，就可以使得几何证明通过代数运算得到解决，这是使用空间向量研究立体几何问题的基本思想．‎ ‎【变式训练2】　已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ 答案　C 解析　由于a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，即a·c＝－7.又|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－ ‎，所以〈a，c〉＝120°.‎ 考向　共线、共面定理的应用 例　3　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，G为△A1BD的重心，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，，并证明A，G，C1三点共线．‎ 解　＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c.‎ ＝＋ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝＋(－)＋(－)‎ ‎＝＋＋ ‎＝a＋b＋c.‎ 因为＝3，所以A，G，C1三点共线．‎ 触类旁通 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 ‎【变式训练3】　如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝‎ k，＝k(0≤k≤1)．‎ ‎(1)向量是否与向量，共面？‎ ‎(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？‎ 解　(1)∵＝k，＝k，‎ ‎∴＝＋＋＝k＋＋k ‎＝k(＋)＋＝k(＋)＋ ‎＝k＋＝－k＝－k(＋)‎ ‎＝(1－k)－k，‎ ‎∴由共面向量定理知向量与向量，共面．‎ ‎(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内．‎ 当00)，则E，所以＝(0,0，a)，＝，||＝a，‎ ‎||＝ ＝＝.‎ 又cos〈，〉＝，所以＝，解得a2＝4，即a＝2，所以E(1,1,1)．‎ ‎4．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．‎ ‎(1)求证：EF⊥CD；‎ ‎(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB.若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由．‎ 解　(1)证明：如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.‎ ＝，＝(0，a,0)．‎ ‎∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD.‎ ‎(2)假设存在满足条件的点G，设G(x,0，z)，‎ 则＝，若使GF⊥平面PCB，‎ 则由·＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝；‎ 由·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0.‎ ‎∴G点坐标为，即存在满足条件的点G，且点G为AD的中点．‎ ‎5．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．‎ ‎(1)求的模；‎ ‎(2)求cos〈，〉的值；‎ ‎(3)求证：A1B⊥C1M.‎ 解　如图，建立空间直角坐标系．‎ ‎(1)依题意，得B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以||‎ ‎＝ ‎＝.‎ ‎(2)依题意，得A1(1,0,2)，‎ B(0,1,0)，C(0,0,0)，‎ B1(0,1,2)．‎ 所以＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，·＝3，||＝，||＝，‎ 所以cos〈，〉＝＝.‎ ‎(3)证明：依题意，得C1(0,0,2)，M，＝(－1,1，－2)，＝.所以·＝－＋＋0＝0，⊥.所以A1B⊥C1M.‎