试题君之每日一题君2017年高考物理（3月6日-3月12日）
3 月 6 日 天体运动过程基本参量的比较
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆
（2016·江苏卷）如图所示，两质量相等的卫星 A、B 绕地球做匀速圆周运动，用 R、T、Ek、S
分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正
确的有
A．TA>TB B．EkA>EkB C．SA=SB D．
3 3
2 2
A B
A B
R R
T T
【参考答案】AD
【试题解析】根据
2
2 2
4πMmG m rr T
知，轨道半径越大，周期越大，所以 TA>TB，故 A 正确；
由
r
vmr
MmG
2
2 知，
r
GMv ，所以 vB>vA，又因为质量相等，所以 EkB>EkA，故 B 错误；
根据开普勒第二定律可知，绕同一天体运动的天体，与中心天体连线在同一时间内扫过的面积
相等，所以 C 错误；由开普勒第三定律知，D 正确。
【方法技巧】重点是要掌握天体运动的规律，万有引力提供向心力。选项 C 容易错选，原因是
开普勒行星运动定律的面积定律中有相等时间内行星与太阳的连线扫过的面积相等。这是针对
某一行星的，而不是两个行星。
【知识补给】
开普勒三定律
一、开普勒行星运动定律
1．开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处
在椭圆的一个焦点上。
2．开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时
间内扫过相等的面积。
3．开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道半径的半长轴的三次方跟它的
公转周期的二次方的比值都相等，即
3
2
a kT
。
说明：（1）开普勒行星运动定律适用于一切行星（卫星）绕恒星（行星）运动的
情况；（2）不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的；（3）行星在近日点的速率
远大于在远日点的速率；（4）表达式
3
2
a kT
中，k 值只与中心天体有关。
万有引力定律与基本参量的关系
2 2
2
2 2
4π =Mm vG ma m r m m rr T r
， 则 得 ：
a= 2 32πGM r GM GMT r vr GM r r
， ， ， 。
如图所示，a、b 两个飞船在同一平面内，在不同轨道绕某行星顺时针做匀速圆周运动。若
已知引力常量为 G，a、b 两飞船距该行星表面高度分别为 h1、h2（h1
a1>a3 B．a3>a2>a1 C．a3>a1>a2 D．a1>a2>a3
【参考答案】D
【试题解析】东方红二号和固定在地球赤道上的物体转动的角速度相同，根据 a=ω2r 可知，a2>a3；
根据 2
MmG mar
可知 a1>a2；故选 D。
【名师点睛】本题主要考查同步卫星的特点及万有引力定律的应用。要知道同步卫星与地球具
有相同的角速度和周期；这里放到赤道上的物体和卫星两者受力情况是不同的，要区别对待，
不能混淆。
【知识补给】
特殊卫星及天体
一、极地卫星和近地卫星
1．极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球
覆盖。
2．近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半
径可近似认为等于地球的半径，其运行的线速度约为 7.9 km/s。
二、同步卫星
同步卫星是指相对地球“静止不动”的卫星。
同步卫星的六个“一定”：
轨道平面一定 轨道平面与赤道平面重合
高度一定 距离地心的距离一定，h=4.225×104 km；距离地面的高度为 3.6×104
km
环绕速度一定 v=3.08 km/s，环绕方向与地球自转方向相同
角速度一定 57.3 10 rad/s
周期一定 与地球自转周期相同，常取 T=24 h
向心加速度一
定
a=0.23 m/s2
三、赤道上的物体与同步卫星以及近地卫星的运动规律
1．地球赤道上的物体，静止在地面上与地球相对静止，随地球的自转，绕地轴做
匀速圆周运动。地球赤道上的物体受到的地球的万有引力，其中的一个分力提供物
体随地球自转做圆周运动的向心力，产生向心加速度 a，另一个分力为重力，有
G 2
Mm
R
－mg=ma（其中 R 为地球半径）。
2．近地卫星的轨道高度约等于地球的半径，其所受万有引力完全提供卫星做圆周
运动的向心力，即 G 2
Mm
R =ma。
3．同步卫星与赤道上的物体具有与地球自转相同的运转周期和运转角速度，始终
与地球保持相对静止状态，共同绕地轴做匀速圆周运动。
4．区别：
（1）同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地
卫星的周期。
（2 近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球的半径，而不等于同步卫
星运动的半径。
（3）三者的线速度各不相同。
四、求解此类试题的关键
1．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速
度相同的特点，运用公式 a=ω2r 而不能运用公式 a= 2
Mm
r
。
2．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度的比例关系时，仍要依据二者角速
度相同的特点，运用公式 v=ωr 而不能运用公式 v= Mm
r
。
3．在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，
故要运用公式v= Mm
r
，而不能运用公式v=ωr或v= gr 。
同步卫星离地面距离为 h，运行速率为 v1，加速度为 a1，地球赤道上物体随地球自转的向
心加速度为 a2，第一宇宙速度为 v2，地球半径为 R。则
A ． 1
2
v R
v h R
B ． 1
2
a h R
a R
C ．
2
1
2
2 ( )
a R
a h R
D． 1
2
v R
v h R
如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知 a、b、c 三颗卫星均做圆周运动，
a 是地球同步卫星，则
A．卫星 a 的角速度小于 c 的角速度
B．卫星 a 的加速度大于 b 的加速度
C．卫星 a 的运行速度大于第一宇宙速度
D．卫星 b 的周期大于 24 h
有关人造地球卫星，下列说法正确的是
A．两颗轨道不同的卫星，其周期可能相等 B．周期相同的两颗卫星，其机械能一定相
同
C．在椭圆轨道上运行的卫星，其机械能不守恒 D．人造卫星环绕地球的运动周期可以等于
70 分钟
中国航天局在 2015 年年底发射了高分四号卫星，这是中国首颗地球同步轨道高时间分辨
率对地观测卫星；如图所示，A 是静止在赤道上随地球自转的物体；B、C 是同在赤道平面内的
两颗人造卫星，B 位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C 是高分四号卫星。则下列关系
正确的是
A．物体 A 随地球自转的角速度大于卫星 B 的角速度
B．卫星 B 的线速度小于卫星 C 的线速度
C．物体 A 随地球自转的向心加速度小于卫星 C 的向心加速度
D．物体 A 随地球自转的周期大于卫星 C 的周期
如图所示，A 为置于地球赤道上的物体，B 为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，C 为绕地球
做圆周运动的卫星，P 为 B、C 两卫星轨道的交点，已知 A、B、C 绕地心运动的周期相同，相
对地心，下列说法中错误的是
A．卫星 C 的运行速度大于物体 A 的速度
B．物体 A 和卫星 C 具有相同大小的加速度
C．卫星 B 运动轨迹的半长轴与卫星 C 运动轨迹的半径相同
D．卫星 B 在 P 点的加速度大小与卫星 C 在该点的加速度大小相等
有 a、b、c、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b 是近地轨道
卫星，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所
示，则
A．a 的向心加速度等于重力加速度 g B．在相同时间内 b 转过的弧长最长
C．c 在 4 小时内转过的圆心角是 π
6 D．d 的运动周期有可能是 20 小时
【参考答案】
D 因为同步卫星的周期等于地球自转的周期，所以角速度相等，根据 2a r 得：
1
2
a h R
a R
，BC 错误；根据万有引力提供向心力有
2
2
Mm vG mr r
，解得 GMv r
，则
1
2
v R
v R h
，A 错误，D 正确。
A 根据公式 2
2
MmG m rr
可得 3
GM
r
，运动半径越大，角速度越小，故卫星 a 的
角速度小于 c 的角速度，A 正确；根据公式 2
MmG mar
可得 GMa r
，由于 ab 的轨道半径
相同，所以两者的向心加速度相同，B 错误；第一宇宙速度是近地轨道的环绕速度，也是最大
的环绕速度，根据公式
2
2
Mm vG mr r
可得 GMv r
，半径越大，线速度越小，所以卫星 a
的运行速度小于第一宇宙速度，C 错误；根据公式
2
2 2
4πMmG m rr T
可得
3
2π rT GM
，故轨
道半径相同，周期相同，所以卫星 b 的周期等于 24 h，D 错误。
A 轨道不同的卫星，轨道半长轴可以相同，周期也就相同，故 A 正确；周期相同的卫星，
由于质量未知，所以不能判断机械能大小，故 B 错误；卫星运行时，只有万有引力做功，机械
能守恒，C 错误；即使是周期最小的近地卫星，根据
3
2π RT GM
估算，周期最小为 84 分钟，
故 D 错误。
C 地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωA=ωC，根据万有引力提供向
心力 2
2
G Mm m rr
，解得 3
GM
r
，所以卫星 B 的角速度大于卫星 C 角速度，所以物体 A
随地球自转的角速度小于卫星 B 的角速度，故 A 错误； GMv r
，所以卫星 B 的线速度大于
卫星 C 的线速度，故 B 错误；
根据 a=ω2r，物体 A 随地球自转的加速度小于卫星 C 的加速度，故 C 正确；地球赤道上的物体
与同步卫星 C 有相同的角速度，所以物体 A 随地球自转的周期等于卫星 C 的周期，故 D 错误。
B 三者绕地心运动的周期 T 相同，由 2π
T
可知，三者的角速度相等，根据公式 v r
可知半径越大线速度越大，故卫星 C 的运行速度大于物体 A 的速度，A 正确；根据公式
2
MmG mar
，解得加速度 2
GMa r
，A、C 的轨道半径不同，它们的加速度不同，卫星 B 在 P
点的加速度大小与卫星 C 在该点的轨道半径相同，所以卫星 B 在 P 点的加速度大小与卫星 C 在
该点的加速度大小相等，故 B 错误，D 正确；由开普勒第三定律可知：
33
2 2 CB rr
T T
，则卫星 B 运动
轨迹的半长轴与卫星 C 运动轨迹的半径相等，故 C 正确。故选 B。
B 地球同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，则知 a 与 c 的角速度相同，根据
a=ω2r 知，c 的向心加速度大，由 2
GMm mgr
得 2
GMg r
，可知卫星的轨道半径越大，向心加
速度越小，则地球同步卫星 c 的向心加速度小于 b 的向心加速度，而 b 的向心加速度约为 g，
故 a 的向心加速度小于重力加速度 g，故 A 错误；由
2
2
GMm vmr r
得 GMv r
，则知卫星的
轨道半径越大，线速度越小，所以 b 的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故 B 正确；
c 是地球同步卫星，周期是 24 h，则 c 在 4 h 内转过的圆心角是 4 h π2π24 h 3
，故 C 错误；由
开普勒第三定律
3
2
R kT
知，卫星的轨道半径越大，周期越大，所以 d 的运动周期大于 c 的周期
24 h，故 D 错误。
3 月 10 日 双星和多星问题
高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
（2016·新课标全国Ⅰ卷）利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保
持无线电通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径为地球半径的 6.6 倍，假设地球的自转周期变
小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为
A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h
【参考答案】B
【试题解析】设地球的半径为 R，周期 T=24 h，地球自转周期的最小值时，三颗同步卫星的位
置如图所示，所以此时同步卫星的半径 r1=2R，由开普勒第三定律得：
3
2
r kT
，可得
3
1 3
(2 ) 4 h(6.6 )
RT T R
，故 ACD 错误，B 正确。
【名师点睛】本题主要考查万有引力定律、开普勒第三定律、同步卫星。重点是掌握同步卫星
的特点，知道同步卫星的周期等于地球的自转周期。本题关键是要知道地球自转周期最小时，
三个同步卫星的位置。
【知识补给】
双星问题
1．双星系统的条件：
（1）两颗星彼此相距较近；
（2）两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动；
（3）两颗星绕同一圆心做圆周运动。
2．双星系统的特点：
（1）两星的角速度、周期相等；
（2）两星的向心力大小相等；
（3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即 r1＋r2=L，轨道半径与行星的质
量成反比。
3．双星问题的处理方法：
双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 2 21 2
1 1 2 22
m mG m r m rL
，
由此得出：
（1）m1r1=m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比；
（2）由于ω=2π
T
，r1＋r2=L，所以两恒星的质量之和
2 3
1 2 2
4π Lm m GT
。
多星问题
1．多星系统的特征：
多星通过相互作用组成一个系统绕某点做匀速圆周运动时，星体所需的向心力由其
他星体对它的万有引力（或万有引力的合力）提供，在多星系统中各星的角速度相
等。
2．多星问题的误区
（1）不能区分天体间距与轨道半径：万有引力定律中的 r 为两星球间距离，向心力
公式中的 r 为所研究星体做圆周运动的轨道半径。
（2）找不准物理现象的对应规律。
（3）不能区分运行周期和自转周期。
经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组
成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，
两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的 O 点做周期相同的匀速圆周
运动。现测得两颗星之间的距离为 L，质量之比为 m1:m2=2:3，下列说法中正确的是
A．m1、m2 做圆周运动的线速度之比为 3:2
B．m1、m2 做圆周运动的角速度之比为 3:2
C．m1 做圆周运动的半径为 2L/5
D．m2 做圆周运动的半径为 2L/5
由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：
三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某
一共同的圆心 O 在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示为 A、B、C
三颗星体质量不相同时的一般情况）若 A 星体的质量为 2m，B、C 两星体的质量均
为 m，三角形的边长为 a，求：
（1）A 星体所受合力的大小 FA；
（2）B 星体所受合力的大小 FB；
（3）C 星体的轨道半径 RC；
（4）三星体做圆周运动的周期 T。
宇宙中存在质量相等的四颗星组成的四星系统，这些系统一般离其他恒星较远，通常可忽
略其他星体对它们的引力作用。四星系统通常有两种构成形式：一是三颗星绕另一颗中心星运
动（三绕一），二是四颗星稳定地分布正方形的四个顶点上运动。若每个星体的质量均为 m，
引力常量为 G，若相邻星球的最小距离为 a，求两种构成形式下天体运动的周期之比。
【参考答案】
AD 双星靠相互间的万有引力提供向心力，角速度相等，根据 1 2
1 12 Gm m m rL
2= ，
1 2
2 22 Gm m m rL
2= 知， 1 1 2 2m r m r ，则 1 2 2 1 3: 2r r m m : : ，则 1m 做圆周运动的半径为 3
5 L ，
2m 做圆周运动的半径为 2
5 L ，故 BC 错误，D 正确；根据 v r 知， 1 2m m、 做圆周运动的
半径之比为 3:2 ，则线速度之比为 3:2 ，故 A 正确。
（1）
2
22 3 Gm
a
（2）
2
2
7Gm
a
（3） 7
4 a （4）
3
π a
Gm
（1）由万有引力定律，A 星受到 B、C 的引力的大小
2
2 2
2A C
BA CA
Gm m GmF F a a
方向如图所示，则合力的大小为 FA=2FBA·cos 30°=
2
22 3 Gm
a
（2）同上，B 星受到的引力分别为
2
2
2
AB
G mF a
＝ ，
2
2 2
B C
CB
Gm m GmF a a
方向如图所示
沿 x 方向 FBx=FAB·cos 60°+FCB=
2
22 Gm
a
沿 y 方向 FBy=FAB·sin 60°=
2
23 Gm
a
可得
2
2 2
2
7
B Bx By
GmF F F a
（3）通过对于 B 进行受力分析可知，由于
2
2
2
AB
GmF a
，
2
2 2
B C
CB
Gm m GmF a a
合力的方向经过 BC 的中垂线 AD 的中点，所以圆心 O 一定在 BC 的中垂线 AD 的中点处,所以
2 21 7 2
3( ) ( ) 44C BR R a a a＝ ＝ ＝ 。
（4）由题可知 C 的受力大小与 B 的受力相同，对 C 星有
2
2
2
2π7 ( )C B C
GmF F m Ra T
整理得
3
π aT Gm
1
2
(3 3 (4 2
4
T
T
) )
三颗星绕另一颗中心星运动时，其中任意一个绕行星球受到另三个星球的万有引力的合力提供
向心力，三个绕行星球的向心力一定指向同一点，且中心星受力平衡，由于星球质量相等，具
有对称关系，因此向心力一定指向中心星，绕行星一定分布在以中心星为重心的等边三角形的
三个顶点上
对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为 a，所受合力等于向心力，因此有
2 2 2
2 22
1
4π2 cos30
( 3 )
m mG G m aa Ta
①
解得
2 3
2
1
2(3 3 π aT Gm
) ②
对正方形模式，四星的轨道半径均为 2
2 a ，同理有
2 2 2
2 22
2
4π 22 cos45 2( 2 )
m mG G m aa Ta
③
解得
2 3
2
2
4(4 2 π
7
aT Gm
) ④
故 1
2
(3 3 (4 2
4
T
T
) )
3 月 11 日 运行速度、宇宙速度和发射速度问题
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
（2015·广东卷）在星球表面发射探测器，当发射速度为 v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周
运动；当发射速度达到 2 v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球，已知地球、火星两星球的质
量比约为 10:1，半径比约为 2:1，下列说法正确的有
A．探测器的质量越大，脱离星球所需的发射速度越大
B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大
C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等
D．探测器脱离星球的过程中势能逐渐变大
【参考答案】BD
【试题解析】探测器绕星球表面做匀速圆周运动的向心力由星球对它的万有引力提供，设星球
质量为 M，探测器质量为 m，运行轨道半径为 r，星球半径为 R，根据万有引力定律有：F＝ 2r
MmG ，
在星球表面时 r＝R，所以探测器在地球表面和在火星表面受到的引力之比为：
火
地
F
F ＝ 2
2
地
火
火
地
R
R
M
M ＝，
故 B 正确；根据向心力公式有： 2r
MmG ＝
r
vm
2
，解得：v＝
r
GM ，与探测器的质量 m 无关，探
测器绕地球表面和绕火星表面做匀速圆周运动的速度大小之比为：
火
地
v
v ＝
地
火
火
地
R
R
M
M ＝ 5 ，又因
为发射速度达到 2 v 时，探测器可摆脱星球引力束缚脱离该星球，故 AC 错误；探测器脱离星
球的过程中，高度逐渐增大，其势能逐渐变大，故 D 正确。
【知识补给】
三种宇宙速度
宇宙速度 数值（km/s） 意义
第一宇宙速度 7.9
卫星的最小发射速度，若 7.9 km/s≤v<11.2，物体绕地球运
行
第二宇宙速度 11.2
物 体 挣 脱 地 球 引 力 束 缚 的 最 小 发 射 速 度 。 若 11.2
km/s≤v<16.7 km/s 物体绕太阳运行
第三宇宙速度 16.7
物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若 v≥16.7 km/s，
物体将脱离太阳系在宇宙空间运行
注意：
（1）第一宇宙速度的推导有两种方法：①由
2
1
2
0 0
Mm vG mR R
得 1
0
GMv R
；②由
2
1
0
vmg m R
得 1 0v gR 。
（2）第一宇宙速度的公式不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是 M、R0、g 必须与之相对
应，不能套用地球的参数。
美国国家科学基金会 2010 年 9 月 29 日宣布，天文学家发现一颗迄今为止与地球最类似的
太阳系外的行星，如图所示，这颗行星距离地球约 20 亿光年（189.21 万亿公里），公转周期约
为 37 年，这颗名叫 Gliese581g 的行星位于天枰座星群，它的半径大约是地球的 2 倍，重力加
速度与地球相近。则下列说法正确的是
A．飞船在 Gliese581g 表面附近运行时的速度小于 7.9 km/s
B．该行星的平均密度约是地球平均密度的 1/2
C．该行星的质量约为地球质量的 2 倍
D．在地球上发射航天器到达该星球，航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度
美国宇航局科学家发现在距离地球约 490 光年的一个恒星系统中，发现一颗宜居行星，代
号为开普勒-186f。科学家发现这颗行星表面上或存在液态水，这意味着上面可能存在外星生命。
假设其半径为地球半径的 a 倍，质量为地球质量的 b 倍，则下列说法正确的是
A．该行星表面由引力产生的加速度与地球表面的重力加速度之比为 2
b
a
B．该行星表面由引力产生的加速度与地球表面的重力加速度之比为 2
a
b
C．该行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为 b
a
D．该行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为 a
b
理论研究表明，物体在地球附近都受到地球对它的万有引力作用，具有引力势
能。设物体在距地球无限远处的引力势能为零，则引力势能可表示为 Ep=-G Mm
r
，
其中 G 是引力常量，M 是地球的质量（地球的质量 M 未知），m 是物体的质量，
r 是物体距地心的距离。已知地球的半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，求：
（1）第一宇宙速度；
（2）第二宇宙速度。
如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上 P 点沿水平方向以初速度 v0
抛出一个小球，测得小球经时间 t 落到斜坡上另一点 Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为 R，
引力常量为 G，求：
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）该星球的第一宇宙速度 v。
【参考答案】
BD 由于物体在星球表面上飞行的速度为 v= gr ，由于 7.9 km/s 是地球表面的物体运行
的速度，故行星与地球的第一宇宙速度之比为 = 2
grv
v gr
行行
地 地
，故飞船在 Gliese581g 表面附
近运行时的速度为 2 ×7.9 km/s，它大于 7.9 km/s，故 A 错误；由于物体在星球上受到万有引
力，则 mg= 2
GMm
r
，则星球的质量 M=
2gr
G
，星球的密度ρ=
2 34π
3
M gr r
V G
= 3
4π
g
rG
，可见，
星球的密度与其半径成反比，由于行星的半径与地球的半径之比为 2:1，故它们的密度之比为
1:2，B 正确；根据星球的质量 M=
2gr
G
，故星球的质量与其半径的平方成正比，故该行星与地
球的质量之比为 4:1，C 错误；由于该行星是在太阳系之外的，故需要飞出太阳系，所以航天器
的发射速度至少要达到第三宇宙速度，D 正确。
AC 根据 2
MmG mgR
＝ 得： 2
GMg R
，因为行星的半径为地球半径的 a 倍，质量为地球
质量的 b 倍，则重力加速度与地球表面重力加速度之比为 2
b
a
，故 A 正确，B 错误。根据
2
2
Mm vG mR R
＝ 得第一宇宙速度为 GMv R
，因为行星的半径为地球半径的 a 倍，质量为地
球质量的 b 倍，所以行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为 b
a
，故 C 正确，D 错
误。
（1） gR （2） 2gR
（1）第一宇宙速度为绕地球表面做匀速圆周运动的速度，有
2
2
Mm vG mR R
不考虑地球自转的影响，地球表面上物体所受的重力近似等于其受到的万有引力
2
Mmm g G R
解得 GM=R2g
联立以上两式得v gR
（2）第二宇宙速度为脱离地球的速度，到无穷远处速度为 0。设第二宇宙速度的值
为 v2，由发射点和无限远机械能相等得
2
2 k p
1 0 02
Mmmv G E ER
故 2 2v gR
（1）g= 02 tanv
t
（2） 02 tanv Rv t
【解析】（1）物体落在斜面上有：
2
0
1
2tan =
gty
x v t
所以 g= 02 tanv
t
（2）根据万有引力提供向心力得
2
2
Mm vG mR R
则 02 tanv RGMv gRR t
3 月 12 日 卫星稳定运行和变规问题
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★☆☆☆
（2016·北京卷）如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道 1 绕地球 E 运行，在 P 点变轨后进
入轨道 2 做匀速圆周运动。下列说法正确的是
A．不论在轨道 1 还是轨道 2 运行，卫星在 P 点的速度都相同
B．不论在轨道 1 还是轨道 2 运行，卫星在 P 点的加速度都相同
C．卫星在轨道 1 的任何位置都具有相同加速度
D．卫星在轨道 2 的任何位置都具有相同动量
【参考答案】B
【试题解析】从轨道 1 变轨到轨道 2，需要加速逃逸，故 A 错误；根据公式 2
MmG maR
可得
2
Ma G R
，故只要半径相同，加速度就相同，由于卫星在轨道 1 做椭圆运动，运动半径在变化，
所以运动过程中的加速度在变化，B 正确，C 错误；卫星在轨道 2 做匀速圆周运动，运动过程
中的速度方向时刻在变，所以动量方向不同，D 错误。
【方法技巧】在万有引力这一块，涉及的公式和物理量非常多，掌握公式
2
2
2
Mm vG m m rr r
2
2
4π rm maT
，在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄
清楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量非常大的，
所以需要细心计算。
【知识补给】
卫星变规问题
人造地球卫星发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论：
1．变轨原理及过程
（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
（2）卫星在 A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上
做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
（3）在 B 点（远地点）再次点火加速进入圆轨道Ⅲ。
2．一些物理量的定性分析
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为 v1、v3，在轨道Ⅱ上过 A
点和 B 点时速率分别为 vA、vB。在 A 点加速，则 vA>vB，在 B 点加速，v3>vB，又因
v1>v3，故有 vA>v1>v3>vB。
（2）加速度：因为在 A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道
Ⅱ上经过 A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过 B 点加速度也相同。
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为 T1、T2、T3，轨道半径分别
为 r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律
3
2
r kT
可知 T1
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