专题17+定积分与微积分基本原理（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习

专题17+定积分与微积分基本原理（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习

本专题特别注意：‎ ‎1.数形结合求定积分 ‎2.分段求定积分 ‎3.定积分的几何意义 ‎4.含绝对值的定积分求法 ‎5.定积分与二项式定理的联系 ‎6.定积分与导数的联系 ‎7.分段函数定积分的求法 ‎8.定积分与概率的联系 方法总结：‎ ‎1.定积分计算的关键是通过逆向思维获知被积函数的原函数，即导数运算的逆运算.‎ ‎2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.‎ ‎3.利用定积分求平面图形面积的步骤：‎ ‎(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；‎ ‎(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；‎ ‎(3)将曲边梯形面积表示成若干个定积分的和；‎ ‎(4)计算定积分，写出答案.‎ 高考模拟：‎ 一、单选题 ‎1．直线过抛物线：的焦点且与轴垂直，则直线与所围成的面积等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先作出直线和抛物线围成的平面区域，再利用定积分的几何意义进行求解．‎ 详解：由题意，得直线的方程为，‎ 将化为，‎ 由定积分的几何意义，得所求部分分面积为 ‎．‎ 点睛：本题考查抛物线的几何性质、定积分的几何意义等知识，意在考查学生的数形结合思想的应用能力和基本计算能力．‎ ‎2．已知二项式的展开式中的系数为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 由题意得，解得．‎ 所以．‎ 故选B．‎ 点睛：解答本题时注意两点：①正确写出二项展开式的通项，然后解方程得到的值；②求定积分时要正确得到被积函数的原函数，并准确求出函数值．‎ ‎3．设，则的展开式中常数项是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据定积分求得，求出二项展开式的通项后再求展开式中的常数项．‎ 点睛：本题考查用微积分基本定理求定积分和二项展开式的通项的应用，解答的关键式准确写出二项展开式的通项，并根据常数项的特征求解．‎ ‎4．若函数的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由图象求出函数解析式，然后利用定积分求得图中阴影部分的面积．‎ 详解：由图可知，，，即.‎ ‎∴，则.‎ ‎∴图中的阴影部分面积为 故选C.‎ 点睛：本题考查了导数在求解面积中的应用，关键是利用图形求解的函数解析式，在运用积分求解．定积分的计算一般有三个方法：①利用微积分基本定理求原函数；②利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；③利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0.‎ ‎5．设,在区间上随机产生10000个随机数，构成5000 个数对，记满足的数对的个数为,则估计值约为( )‎ A. 3333 B. 3000 C. 2000 D. 1667‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：设事件为“上随机产生数对，满足 ”，则总的基本事件为，对应的测度为正方形的面积1，而随机事件对应的测度为为曲边梯形的面积，它可利用定积分来计算.‎ 详解：满足是在曲线、所围成的区域内（含边界），‎ 又该区域的面积为，‎ 故的估计值为，，故选A.‎ 点睛：对于曲边梯形的面积，我们可以用定积分来计算.‎ ‎6．已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎7．已知，在的展开式中，记的系数为，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，所以，由已知有指的系数，指的系数，所以，选A. ‎ ‎8．已知，是以a为周期的奇函数，且定义域为，则的值为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 2018‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 可知的周期为 ‎，‎ 故选 ‎9．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎10．已知曲线和直线所围成图形的面积是，则的展开式中项的系数为（ ）‎ A. 480 B. 160 C. 1280 D. 640‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意得到两曲线围成的面积为 ‎ ‎= ‎ 故答案为：D. ‎ 点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.‎ ‎11．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】.‎ 故选A.‎ ‎12．已知函数在上可导，且，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎13．已知物体运动的速度与事件的关系式为，则落体从到所走的路程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由积分的物理意义可知运动从t=0到t=5所走的路程为，‎ 故选：B．‎ ‎14．定积分的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】表示以为圆心，以为半径的圆， 定积分等于该圆的面积的四分之一， 定积分，故选A.‎ ‎15．设函数f(x)= 则定积分f(x)dx等于(　　)‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C.‎ ‎16．如图所示,在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部的概率（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎17．若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】展开式的通项为 ‎，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为5．‎ 所以.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎18．若,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 考点：定积分．‎ ‎19．已知，则展开式中的系数为（ ）‎ A. 24 B. 32 C. 44 D. 56‎ ‎【答案】A ‎【解析】,中系数为.故选.‎ ‎20．如图所示，若程序框图输出的所有实数对所对应的点都在函数的图象上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎21．如图，在由， ， ，及围成区域内任取一点，则该点落在， 及围成的区域内（阴影部分）的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 故选：D. ‎ ‎22．已知函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，故选D.‎ 二、填空题 ‎23．已知定义在上的函数与，若函数为偶函数，函数为奇函数，且，则__________．‎ ‎【答案】12.‎ ‎【解析】分析：根据定积分的几何意义和函数的奇偶性求解．‎ 详解：∵函数为偶函数，函数为奇函数，‎ ‎∴函数的图象关于y轴对称，函数的图象关于原点对称．‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ 点睛：定积分的几何意义是表示曲线以下、x轴以上和直线之间的曲边梯形的面积，解题时要注意面积非负，而定积分的结果可以为负．‎ ‎24．若，则在的展开式中，的系数是__________．(用数字作答）‎ ‎【答案】84‎ 点睛：本题考点是定积分，以及二项展开式的通项公式是解决二项展开式特殊项问题的方法．‎ ‎25．已知椭圆的焦点为，，其中，直线与椭圆相切于第一象限的点，且与，轴分别交于点，，设为坐标原点，当的面积最小时，，则此椭圆的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据定积分求出c，由题意，切线方程为 ‎ 利用基本不等式，结合（为坐标原点）的面积最小，可得切点坐标，利用三角形的面积公式，即可求出 ，问题得以解决．‎ 详解：‎ 由椭圆的焦点为 ，可设椭圆的方程为 ‎ 直线与椭圆相切，则切线方程为 ‎ ‎ ‎ 点睛：本题考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆是位置关系，考查余弦定理的运用，基本不等式，椭圆的切线方程，属于难题 ‎26．已知展开式中的常数项为60，则__________．‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】分析：的通项公式为，令，，于是，利用微积分定理求解即可.‎ 详解：的通项公式为，‎ 令，，‎ ‎，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查定积分以及二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎27．已知，则二项式的展开式中的系数为__________．‎ ‎【答案】-160‎ 点睛：本题主要考查定积分的计算，考查利用二项式的展开式求指定项.意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力.‎ ‎28．若（其中），则的展开式中的系数为__________．‎ ‎【答案】280‎ ‎【解析】分析：利用微积分基本定理，求得，可得二项展开式通项为令得进而可得结果.‎ 详解：因为 ，‎ 所以，展开式的通项为 令得 所以，的展开式中的系数为，‎ 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎29．已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线与直线 所围成的封闭图形的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎30．已知，则二项式展开式中的常数项是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 展开式通项为，‎ 令，，∴常数项为．‎ 故答案为240．‎ ‎31．已知函数是定义在上的奇函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ．‎ ‎32．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为 的圆面，中间有边长为的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体(油滴是直径为0.2的球）正好落入孔中的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为直径为的圆中有边长为的正方形，由几何概型的概率公式，得“正好落入空中”的概率为.‎ ‎33．已知函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ 点睛：定积分的计算一般有三个方法：‎ ‎（1）利用微积分基本定理求原函数；‎ ‎（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；‎ ‎（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0‎ ‎34．若，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】 ， ，则.‎ ‎35．若，且，则的值为__________．‎ ‎【答案】1‎ 点睛：求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.‎ ‎36．如图所示，在平面直角坐标系内，四边形为正方形且点坐标为.抛物线的顶点在原点，关于轴对称，且过点.在正方形内随机取一点，则点在阴影区域内的概率为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由抛物线的顶点在原点，关于轴对称，且过点，所以抛物线方程为，‎ 阴影区域的面积为，正方形的面积为1，‎ 点在阴影区域内的概率为.‎ 故答案为： ‎ ‎37．计算__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由题意得， ‎ ‎38．如图，在长方形内任取一点，则点落在阴影部分内的概率为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】将代入 ，得 ，所以阴影部分面积为 ，矩形面积为 ，所以点 落在阴影部分内的概率为 ，故答案为 .‎ ‎39．如图所示，由直线， 及轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即．类比之，若对，不等式 恒成立，则实数等于__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎ ‎ ‎40．已知函数，则__________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 而， 表示半圆的面积，即，则.‎ 点睛：本题考查微积分基本定理、定积分的几何意义；求定积分的值主要有两种方法：‎ ‎(1)利用微积分基本定理求解，即找出函数的原函数进行求解，即；‎ ‎(2)利用函数的几何意义进行求解，主要涉及的定积分，如表示，即半圆的面积. ‎ ‎41．__________．‎ ‎【答案】‎ ‎42．已知实数满足不等式组且的最大值为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作出可行域，目标函数可变为，令，作出，由平移可知直线过时取最大值，则．则．故本题应填．‎ ‎43．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系平面内，若函数的图象与轴围成一个封闭的区域，将区域沿轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域的面积相等，则此圆柱的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得：底面面积为，所以圆柱得体积为： ‎ ‎44．若正实数满足，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】因为，所以，即，所以，故，应填答案。‎ ‎45．若的展开式中项的系数为4，则________________‎ ‎【答案】‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎46．如图，圆内的正弦曲线, 与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机向圆内投一个点，则点落在区域外的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】阴影部分的面积=，圆的面积为，所以点落在区域外的概率是 点睛：本题的关键是利用定积分求出阴影区域的面积，然后根据几何概型的计算公式求解即可 三、解答题 ‎47．设点在曲线上，从原点向移动，如果直线，曲线及直线所围成的两个阴影部分的面积分别记为，，如图所示.‎ ‎（1）当时，求点的坐标；‎ ‎（2）当有最小值时，求点的坐标.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ 点睛：本题主要考查了定积分的应用及利用导数求解函数的最值问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ ‎48．如图，函数（其中）的图像与坐标轴的三个交点为，且,，为的中点，且的纵坐标为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求线段与函数图像围成的图中阴影部分的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由，则周期,‎ 又，则，故，从而可得结果；（2）将阴影部分的面积分成两部分，分别利用定积分的几何意义求的曲边形的面积，求和即可. ‎ 详解：（1）由，则周期 又 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质以及定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线 以及直线之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.‎ ‎49．已知二次函数，直线，直线（其中，为常数），若直线与函数的图象以及轴与函数的图象所围成的封闭图形（阴影部分）如图所示．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求阴影面积关于的函数的解析式．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由图象可知函数图象过点，并且的最大值为，分别代入解析式可得关于的方程组，即可解得的值；（2）先求出直线（其中为常数）与拋物线的交点横坐标（用表示），再利用定积分的几何意义求两部分面积之和即可.‎ 试题解析：（1）由图形可知二次函数的图象过点，，并且的最大值为，则 ‎，解得，‎ ‎∴函数的解析式为．‎ ‎ ‎ ‎50．抛物线y2=x与直线x-2y-3=0的两个交点分别为P、Q，点M在抛物线上从P向Q运动（点M不同于点P、Q），‎ ‎（Ⅰ）求由抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围成的封闭图形面积；‎ ‎（Ⅱ）求使⊿MPQ的面积为最大时M点的坐标。‎ ‎【答案】(1) （2）P点的坐标为(1,1)时，⊿PAB的面积最大 ‎【解析】试题分析：（1）先求直线与抛物线交点，确定上下函数，分两种情况求定积分，即得面积（2）过点M的切线与直线x-2y-3=0平行时⊿MPQ的面积为最大，利用导数几何意义求出切点M坐标 试题解析：‎ 解： ‎ 方法二 若选取积分变量为y，则两个函数分别为x=y2‎ ‎,x=2y+3.由方法一知上限为3，下限为-1.‎ ‎∴S=dy=（y2+3y-y3) =(9+9-9)-(1-3+)=.‎ ‎(Ⅱ)设点M的坐标为（a, b）,要使⊿MPQ的面积最大即使点M到直线x-2y-3=0的距离最大 ,故过点M的切线与直线x-2y-3=0平行,故过点M的切线斜率为K=1/2, a=1，b=1，∴P点的坐标为(1,1)时，⊿PAB的面积最大。    ‎ 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 ‎(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；‎ ‎(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；‎ ‎(3)确定被积函数；‎ ‎(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．‎ ‎2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．‎