数学理卷·2018届甘肃省武威六中高三上学期第一轮复习第四次阶段性过关考试（2017

数学理卷·2018届甘肃省武威六中高三上学期第一轮复习第四次阶段性过关考试（2017

武威六中2017-2018学年度高三一轮复习过关考试（四）‎ 数 学（理）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设复数，则复数的模为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知，则是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.设为等差数列，公差 ，为其前项和. 若，则（ ）‎ A．18 　　 B．20 　 C．22 　 D．24‎ ‎5.设，满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)‎ A．7 ‎ B．42‎ C．210 ‎ D．840‎ ‎7.若 ，则 ‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎8.函数的图象为（ ）‎ ‎9.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎10.已知函数，且,，则以下结论正确的是（ ）‎ A. 　　 B. 　　 C. 　 D. ‎ ‎11.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知点则在方向上的投影 .‎ ‎14.设若是与的等比中项，则的最小值为 .‎ ‎15.设是定义在上的周期为的函数，当时，‎ ‎ ，则=___________.‎ ‎16.已知三棱锥三点均在球心为的球表面上，，，三棱锥的体积为，则球的表面积是___________.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎17.（本小题12分） 已知数列满足，，其中为的前项和，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，的前项和为，且对任意的正整数都有，求的最小值．‎ ‎18. （本小题12分）如图，在四边形中， ，　且为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若， ，求和的长．‎ ‎19.（本小题12分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.‎ ‎（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.‎ ‎20.（本小题12分）如图，平面平面，四边形为矩形，．为的中点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若时，求二面角的余弦值．‎ ‎21.（本小题12分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．‎ ‎22.（本小题10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线（）与曲线分别交于两点，求．‎ 高三数学第理科四次参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．‎ 题目 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D A B A C B A C D B A ‎12.解析：原式变形为，在区间是单调递增，是单调递减，所以的值域是的子集，对任意的 ，总存在唯一的，使得成立，所以 ，且 ，解得： ，当时，存在两个不同的实根，因此舍去，所以的取值范围是，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，不等式的恒成立和存在问题，属于中档题型，，，使，即函数的值域是值域的子集，若使，即说明的最小值大于函数的最小值，就转化求两个函数最值的问题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎17.解（1），，，‎ 两式相减得 注意到，，‎ 于是，所以.‎ ‎（2）‎ 所以的最小值为.‎ ‎18.解（Ⅰ）因为， ‎ ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ （6分）‎ ‎ （Ⅱ）设，，在和中由余弦定理得 ‎ ‎ 代入得 ‎ ‎ 解得或（舍）‎ 即， （12分）‎ ‎19.解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；‎ 则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，‎ P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，‎ P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，‎ P（X=3）=××=；‎ 所以，随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；6分 ‎（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，‎ 则所求事件的概率为 P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）‎ ‎=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）‎ ‎=×+×‎ ‎=；　　　（12分）‎ 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．‎ ‎20.（1）证明：连结，因，是的中点，故．‎ 又因平面平面，故平面， 于是．又，所以平面，所以，又因，故平面，所以． 5分 ‎（2）由（1），得，不妨设，，取的中点，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，从而 设平面的法向量，由，‎ 得， ‎ 同理可求得平面的法向量，设的夹角为 ‎，则 由于二面角为钝二面角，则余弦值为. 7分 ‎21.解：（Ⅰ）由已知,，所以斜率，‎ 又切点（1，2），所以切线方程为，即 故曲线在处的切线方程为．−−−−−−−−−−−−−−−−−（4分）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎①当时，由于，故，，所以的单调递增区间为．−−−−−−（6分）‎ ‎②当时，由，得，在区间上，在区间上，所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是−−−−---------------−−−−（8分）‎ ‎（Ⅲ）由已知，转化为．，所以 由（Ⅱ）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意．‎ 当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，故的极大值也为最大值为，所以，解得．所以的取值范围为−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（12分）‎ ‎22.解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数），‎ ‎∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2=7．∵曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，‎ ‎∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）2+y2=1，‎ 得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，化简，得ρ=2cosθ．（5分）‎ ‎（Ⅱ）依题意设A（），B（），‎ ‎∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，‎ 将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，‎ 解得ρ1=3，‎ 同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，‎ ‎∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．（ 10分）‎