2017-2018学年福建省三明市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年福建省三明市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年福建省三明市高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：求出函数的定义域，化简集合，从而求得，利用交集的定义求解即可.‎ 详解：因为 ，，‎ 又因为集合，‎ 所以，故选D.‎ 点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.‎ ‎2．“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用对数函数的单调性与定义域，结合充分条件与必要条件的定义求解即可.‎ 详解：充分性：在为增函数，‎ 若，则有，所以充分性成立.‎ 必要性：若，取，‎ 则都没有意义，所以必要性不成立，‎ 综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故选A.‎ 点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎3．已知椭圆的参数方程为（为参数），则的两个焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：将参数方程化为普通方程，判断出焦点在轴上，利用即可得结果.‎ 详解：椭圆的参数方程为为参数），‎ 椭圆的标准方程是，‎ 椭圆的焦点在轴上，且，‎ ‎，，‎ 椭圆的两个焦点坐标是，故选B.‎ 点睛：本题主要考查椭圆的参数方程以及椭圆的简单性质，属于中档题. 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程.‎ ‎4．设，则下列不等式不成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据指数函数的性质、对数函数的性质以及不等式的性质逐一验证选项中的命题可得结果.‎ 详解：根据指数函数的单调性可得正确；根据对数函数的单调性可得正确；利用不等式的性质可得正确；时 不成立，所以错 ，故选B.‎ 点睛：本题主要考查对数函数的单调性、指数函数的单调性以及不等式的基本性质的应用，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎5．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班名学生进行问卷调查，得到如下图所示的列联表，则至少有（ ）的把握认为喜爱打篮球与性别有关.‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 女生 合计 附参考公式：，.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据列联表中数据，利用公式求得，对照临界值即可的结果.‎ 详解：根据所给的列联表，‎ 得到，‎ 至少有的把握认为喜爱打篮球与性别有关，故选C.‎ 点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.‎ ‎6．已知幂函数的图象经过点，则幂函数具有的性质是（ ）‎ A. 在其定义域上为增函数 B. 在其定义域上为减函数 C. 奇函数 D. 定义域为 ‎【答案】A ‎【解析】分析：设幂函数，将代入解析式即可的结果.‎ 详解：设幂函数，幂函数图象过点，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由的性质知，是非奇非偶函数，值域为，‎ 在定义域内无最大值，在定义域内单调递增，故选A.‎ 点睛：本题主要考查幂函数的解析式以及幂函数的单调性、奇偶性与定义域，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.‎ ‎7．《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里.”为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如图.若输出的的值为，则判断框中可以填入（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由程序框图可知，该程序的功能是求等差数列的通项，该等差数列的首项为，公差为，根据等差数列的通项公式求解即可.‎ 详解：由程序框图可知，该程序的功能是求等差数列的通项，‎ 该等差数列首项为，公差为，‎ 由，‎ 解得，‎ 所以判断框中可以填入，故选B.‎ 点睛：算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.‎ ‎8．某演绎推理的“三段”分解如下：①函数是减函数；②指数函数是减函数；③函数是指数函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是（ ）‎ A. ①→②→③ B. ③→②→① C. ②→①→③ D. ②→③→①‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据三段论的基本原理，结合指数函数的性质可得结果.‎ 详解：按照演绎推理的三段论模式可得，已知指数函数是减函数，因为函数是指数函数，所以函数是减函数，即排序正确的是②→③→①，故选D.‎ 点睛：本题主要考查演绎推理三段论的基本原理，意在考查对基础知识的掌握，属于简单题.‎ ‎9．用反证法证明命题①：“已知，求证：”时，可假设“”；命题②：“若，则或”时，可假设“或”.以下结论正确的是（ ）‎ A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D. ①的假设错误，②的假设正确 ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用命题的否定的定义判断即可.‎ 详解：①的命题否定为，故①的假设正确.‎ 或”的否定应是“且”② 的假设错误，‎ 所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.‎ 点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.‎ ‎10．已知直线的参数方程为（为参数），直线与圆相交于，两点，则线段的中点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：将直线的参数方程化为普通方程，与圆方程联立，由韦达定理结合中点坐标公式可得结果.‎ 详解：直线（为参数），即，‎ 代入圆化简可得，‎ ‎，即的中点的纵坐标为，‎ 的中点的横坐标为，‎ 故的中点的坐标为，故选C.‎ 点睛：本题主要考查参数方程化为普通方程，以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.‎ ‎11．已知命题：恒成立，命题：为减函数，若且为真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用的最小值不小于化简命题，从而求出，利用指数函数的单调性化简命题，解不等式组即可得结果.‎ 详解： 当命题为真命题时，‎ 恒成立，‎ 只须的最小值不小于即可，‎ 而有绝对值的几何意义得，‎ 即的最小值为，‎ 应有，解得， ‎ 得为真命题时，‎ 当命题为真命题时，①‎ 为减函数，‎ 应有，解得，②‎ 综上①②得，实数的取值范围是，‎ 若且为真命题，则实数的取值范围是，故选C.‎ 点睛：本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎12．设曲线上任一点处的切线斜率为，则函数的部分图象可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：对求导可求得数的解析式，根据函数的奇偶性以及特殊值，利用排除法可得结果.‎ 详解：对求导可求得，‎ ‎，‎ 函数的定义域是，定义域关于原点对称，‎ 令，‎ 在，‎ 是奇函数，函数图象关于原点对称，排除选项和选项，‎ 当时，，排除选项，故选A.‎ 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.‎ ‎13．已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，结合函数单调与图象列不等式即可可得结果.‎ 详解：函数，‎ 且存在唯一的零点，且，，‎ 时的解为，‎ 令得或，‎ 令得，‎ 在上递增，在上递减，‎ 在处有极大值，在处有极小值，‎ 因为函数，若存在唯一的零点，且，‎ ‎，‎ 则，实数的取值范围是，故选B.‎ 点睛：本题主要利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为 ，极小值为 ：一个零点或；两个零点或；三个零点且.‎ ‎14．著名的狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.现有如下四个命题：‎ ‎①； ②函数为奇函数；‎ ‎③，恒有； ④，恒有.‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：对于①，时，可判定其错误；对于②，时，可判定其错误；对④，时，可判定其错误；对③，利用分段函数的解析式判断其正确.‎ 详解：对于①，时，，，故①错误；‎ 对于②，时，，‎ 时，，‎ 不是奇函数，故②错误；‎ 对③，时，，‎ ‎，‎ 时，，‎ ‎，故③正确.‎ 对④，时，，‎ ‎，④错误，‎ 故真命题个数为，故选A.‎ 点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的解析式、函数的奇偶性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意利用特值法判断假命题以及从简单的、自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ 二、填空题 ‎15．已知复数满足，其中为虚数单位，则复数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：变形，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，即可的结果.‎ 详解： ，‎ ‎，故答案为.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎16．已知函数，且，则__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】分析：由可求得，先求得的值，从而可得的值.‎ 详解：函数，且，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ ‎， ，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.‎ ‎17．设数列的前项和为，已知，猜想__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：令，可求得，由，得，‎ 两式相减，得，可依次求出，观察前四项，找出规律，从而可得结果.‎ 详解： 中令可求得 ‎ 由，得，‎ 两式相减，得，‎ 即，‎ 可得 …‎ 归纳可得，故答案为.‎ 点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎18．若函数与函数的零点分别为，，则函数的极大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用反函数的性质可得，从而可得，利用导数研究函数的单调性，利用单调性可得结果.‎ 详解：是与交点横坐标，‎ 是与交点横坐标，‎ 与应为反函数，函数关于对称，‎ 又与垂直，‎ 与的中点就是与的交点，‎ ‎，，‎ 当时，，‎ 在上递减，在上递增，‎ 当时，，‎ 在在上递减，在上递增，‎ 所以函数在处取得极大值，‎ 即函数的极大值为，‎ 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查反函数的性质、利用导数判断函数的单调性与极值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. ‎ 三、解答题 ‎19．随着经济的发展，某地最近几年某商品的需求量逐年上升.下表为部分统计数据：‎ 年份 需求量（万件）‎ 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令，.‎ ‎（1）填写下列表格并求出关于的线性回归方程：‎ 时间代号 ‎（万件）‎ ‎（2）根据所求的线性回归方程，预测到年年底，某地对该商品的需求量是多少？‎ ‎（附：线性回归方程，其中，）‎ ‎【答案】（1）见解析（2）万件.‎ ‎【解析】分析：（1）根据表格中数据及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；（2）当时，，所以，则，从而可得结果.‎ 详解：（1）列表如下：‎ 时间代号 ‎（万件）‎ ‎∵，，，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎（2）解法一：将，，代入得到：‎ ‎，即，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴预测到年年底，该商品的需求量是万件.‎ 解法二：当时，，‎ 所以，‎ 则.‎ 所以预测到年年底，该某商品的需求量是万件.‎ 点睛：本题主要考查线性回归方程，属于中档题. 求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎20．已知为复数，为虚数单位，且和均为实数.‎ ‎（1）求复数；‎ ‎（2）若复数，，在复平面上对应的点分别是，，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）设复数，，由和均为实数可得，解得，从而可得结果；（2）由（1）知，可得，，‎ 则复数，，在复平面上对应的点分别是，，，利用三角形面积公式可得结果.‎ 详解：（1）设复数，，则 ‎，，‎ ‎∵和均为实数，‎ ‎∴，解得：，‎ 则所求复数.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以，，‎ 则复数，，在复平面上对应的点分别是，，，‎ 所以，即的面积为.‎ 点睛：本题主要考查的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义，属于中档题.复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎21．已知函数是定义域为的奇函数.‎ ‎（1）求实数的值并判断函数的单调性；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）由奇函数可得，解得，经检验，当时，函数为奇函数；设且，利用指数函数的性质可证明，从而可得结果；（2）结合函数的单调性与奇偶性可得，当时，不等式恒成立，等价于对恒成立，换元后，利用二次函数的性质列不等式组求解即可.‎ 详解：（1）解法一：∵函数是定义域为的奇函数，‎ ‎∴，解得.‎ 经检验，当时，函数为奇函数，即所求实数的值为.‎ ‎∵ ，‎ 在上恒成立，所以是上的减函数.‎ 解法二：∵函数是定义域为的奇函数，‎ ‎∴，解得.‎ 经检验，当时，函数为奇函数，即所求实数的值为.‎ 设且，‎ 则 ‎，‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴，即，‎ 所以是上的减函数.‎ ‎（2）由，可得.‎ ‎∵是上的奇函数，∴，‎ 又是上的减函数，‎ 所以对恒成立，‎ 令，∵，∴，‎ ‎∴对恒成立，‎ 令，，‎ ‎∴，解得，‎ 所以实数的取值范围为.‎ 点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.‎ ‎22．（1）已知，，函数的图象过点，求的最小值；‎ ‎（2）类比（1）中的解题思路，证明：在平面四边形中，式子不可能小于.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）由函数的图象过点，可得，，利用基本不等式可得结果；（2），则 ，从而可得结果.‎ 详解：（1）∵函数的图象过点，‎ ‎∴，‎ 又，，‎ ‎∴ ，‎ 当且仅当时，“”成立，所以的最小值为.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 当且仅当时，“”成立，‎ ‎∴，即不可能小于.‎ 点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎23．已知函数，.‎ ‎（1）若函数在其定义域上为单调增函数，求的取值范围；‎ ‎（2）记的导函数为，当时，证明：存在极小值点，且.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）函数在上为单调增函数，等价于对任意恒成立，对任意恒成立，只需，，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出函数最大值，从而可得结果；（2）由（1）得，其中，，，‎ ‎∵，∴与同号，令，，存在 ‎，使得，是的极小值点，.‎ 详解：（1）依题意函数的定义域为且函数在上为单调增函数，‎ 所以 对任意恒成立，‎ ‎∴对任意恒成立，‎ ‎∴对任意恒成立，‎ ‎∴，，‎ 令，，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，，为增函数；当时，，为减函数，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴，即的取值范围是.‎ ‎（2）由（1）得，其中，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴与同号，‎ 令，，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴当时，，即函数在上单调递增，‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴存在，使得，‎ ‎∴当时，，，是减函数，‎ ‎∴当时，，，是增函数，‎ ‎∴当时，存在，使是的极小值点.‎ 又由得，‎ 所以，，‎ 所以.‎ 点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.‎ ‎24．已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点是直线上的动点，过作直线与圆相切，切点分别为、，若使四边形的面积最小，求此时点的坐标.‎ ‎【答案】（1），（2）点的坐标为.‎ ‎【解析】分析：（1）利用代入法消去参数可得直线的普通方程，将圆的极坐标方程，利用两角差的余弦公式展开，两边同乘，根据互化公式可得圆的直角坐标方程；（2）若使四边形的面积最小，则的面积要最小，要使的面积要最小，只需最小即可，若最小，则最小，当最小时，，进而可得结果.‎ 详解：（1）直线的参数方程为（为参数），‎ 消去参数得直线的普通方程为.‎ 由 ，‎ 两边同乘得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为.‎ ‎（2）依题意，若使四边形的面积最小，则的面积要最小，‎ 由，其中等于圆的半径，‎ ‎∴要使的面积要最小，只需最小即可，‎ 又，‎ ‎∴若最小，则最小，‎ 又点为圆心，点是直线上动点，∴当最小时，，‎ 设，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴当四边形的面积最小时，点的坐标为.‎ 点睛：‎ 本题主要考查参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及斜率公式的应用，属于中档题.消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.‎ ‎25．已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设函数，若存在，使，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）原不等式等价于，即，从而可得结果；（2）化简 ，可得当时，，可得，利用一元二次不等式的解法可得结果..‎ 详解：（1）∵，∴，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴当时，，‎ 由题意可知，，即，‎ 解得或，‎ 所以实数的取值范围是. ‎ 点睛：绝对值不等式的常见解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎