2017-2018学年陕西省咸阳市高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年陕西省咸阳市高二上学期期末数学文试题（解析版）

咸阳市2017—2018学年度第一学期期末教学质量检测 高二数学（文科）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.‎ ‎1. 设，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，‎ ‎∴，故选项A,B,C不正确，D正确．选D．‎ ‎2. 下列求导数运算正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以A不正确；因为，所以C不正确；又因为，所以D也不正确，应选答案B。‎ ‎3. 命题“若则”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据四种命题真假之间的关系进行判断即可．‎ 解：若a＞2，则a＞1，成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，‎ 逆命题为：若a＞1，则a＞2，为假命题．，当a=1.5时，满足a＞1，但a＞2不成立，‎ 则否命题为假命题，‎ 故真命题的个数为2个，‎ 故选：B．‎ 考点：四种命题的真假关系．‎ ‎4. 在等比数列中，若，则的前5项和等于（ ）‎ A. 30 B. 31 C. 62 D. 64‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知等比数列中，若， 设公比为 ，解得 则此数列的前5项的和 ‎ 故选C ‎5. 如果，且，那么的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，‎ ‎∴，且．‎ 又，‎ ‎∴．选B．‎ ‎6. “”是“”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由可得，所以当成立时可得到成立，反之不成立，所以是的必要不充分条件，选B.‎ ‎7. 若不等式组有解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】原不等式组即为，若使得不等式组有解，结合数轴可得，解得．选D．‎ ‎8. 已知，则函数的最小值为（ ）‎ A. 1 B. 4 C. 7 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴，当且仅当，即时等号成立．选C．‎ 点睛：利用基本不等式求最值的类型及方法 ‎(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．‎ ‎(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．‎ ‎(3)多次使用基本不等式求最值，此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号，若等号不成立，一般利用函数单调性求解．‎ ‎9. 已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120°，则这个三角形的周长为 （ ）‎ A. 15 B. 18 C. 21 D. 24‎ ‎【答案】A ‎【解析】设的三边长分别为，‎ 由题意得，‎ 解得，‎ ‎∴三角形的周长为．选A．‎ ‎10. 方程的两根分别在与内，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，‎ ‎∵方程的两根分别在与内，‎ ‎∴，解得．选A．‎ ‎11. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”.意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等”，则最中间一人分得的钱数最多的是（ ）‎ A. 钱 B. 1钱 C. 钱 D. 钱 ‎【答案】B ‎【解析】设5人所得钱数分别为，则成等差数列，令其公差为，‎ 由题意得，即，解得．‎ 所以数列为递减数列，最大．‎ 即分得的钱数最多的是钱．选D．‎ ‎12. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图像可能是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，‎ 则由导函数的图象可知：先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除 且第二个拐点（即函数的极大值点）在轴上的右侧，故排除 故选 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 设函数的处可导，且，则等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的处可导 则 ‎14. 已知双曲线，点在它的一条渐近线上，则其离心率等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】渐近线方程为，满足方程：，‎ 又 ‎15. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 有两个不等实根 或 故实数的取值范围是 点睛：本题主要考查的知识点是二次函数的性质。因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若命题“”是真命题，则对应的二次方程有不等的实根，解出即可得到答案 ‎16. 设满足的约束条件是，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．‎ 由，得．平移直线，结合图形可得，当直线（图中的虚线）经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值．‎ 由题意可得点A的坐标为（2,2）．‎ ‎∴，即目标函数的最大值为6．‎ 答案：6‎ 点睛：利用线性规划求目标函数最值的步骤 ‎(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l；‎ ‎(2)平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数l和可行域边界的斜率的大小比较；‎ ‎(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知动圆在运动过程中，其圆心到点与到直线的距离始终保持相等.‎ ‎（1）求圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）若直线与点的轨迹交于两点，且，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据题意及抛物线的定义可得圆心的轨迹方程为．（2）将直线方程与抛物线方程联立消元后得到一二次方程，根据二次方程根据系数的关系和弦长公式可得．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵圆心到点与到直线的距离相等，‎ ‎∴圆心的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线，‎ 设其方程为，‎ 则，解得．‎ ‎∴圆心的轨迹方程为．‎ ‎（2）由消去整理得，‎ ‎∵直线与抛物线交于两点，‎ ‎∴，解得．‎ 设，‎ 则，‎ 由题意得 ‎，‎ 解得，‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎18. 已知是等比数列，，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）； （2）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）设等比数列的公比为，根据条件列出关于的方程，可解得，从而可得数列的通项公式．（2）由（1）可得，由等差数列的求和公式可得．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设等比数列的公比为，‎ 则，‎ ‎∵成等差数列，‎ ‎∴，即，‎ 整理得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴． ‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎∴．‎ 即数列的前项和．‎ ‎19. 在中，角的对边分别是，且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由正弦定理得： ‎ 又∵ ∴‎ 即 ‎ 又∵ ∴，又A是内角 ∴ ‎ ‎（2）由余弦定理得： ‎ ‎∴ 得： ∴ ‎ ‎∴‎ ‎20. 已知函数．（1）求函数的极值；（2）当时，求函数的最值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】试题分析：⑴先求出函数的导数，令，得到函数的单调区间，从而得到函数的极值 ‎⑵由⑴得时，函数取最大值，时，函数取最小值 解析：（1），‎ 令，解得或，‎ 的变化如下表：‎ ‎-2‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 ‎16‎ 单调递减 ‎-16‎ 单调递增 ‎∴函数的极大值为，极小值为；‎ ‎（2）由（1）知，又，‎ ‎∴当时，函数的最大值为，最小值为．‎ ‎21. 已知椭圆的一个焦点为，左、右顶点分别为，经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）记与的面积分别为和，求关于的表达式．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：⑴由焦点坐标可求出的值，根据，，的平方关系可求得的值，由此得到椭圆的方程；‎ ‎⑵依题意，知，设直线方程为，与椭圆方程联立消掉可得的方程，根据韦达定理可用表示，，可转化为关于的式子，进而变为关于的表达式 解析：（1）∵为椭圆的焦点，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴椭圆的方程为；‎ ‎（2）依题意，知，设直线方程为，‎ 和椭圆方程联立消掉，得，‎ 计算知，∴方程有两实根，且，‎ 此时．‎ ‎22. 已知．‎ ‎（1）若函数的单调递减区间为，求函数的图像在点处的切线方程；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：⑴求出的导函数，令导函数小于得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入求出的值，得到函数的解析式，求出的导数在的值即曲线的切线斜率，利用点斜式求出切线的方程 ‎⑵求出不等式，分离出参数，构造函数，利用导数求出的最大值，令大于等于最大值，求出的范围；‎ 解析：（1），由题意，知的解集是，‎ 即方程的两根分别是．‎ 将或代入方程，得，‎ ‎∴，，∴，‎ ‎∴的图像在点处的切线斜率，‎ ‎∴函数的图像在点处的切线方程为：，即；‎ ‎（2）∵恒成立，‎ 即对一切恒成立，‎ 整理可得对一切恒成立，‎ 设，则，‎ 令，得（舍），‎ 当时，单调递增；当时，单调递减，‎ ‎∴当时，取得最大值，∴．‎ 故实数的取值范围是．‎ 点睛：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程及函数恒成立的问题，考查了函数的单调性与导数的关系以及函数解析式的求解及常用方法。解决不等式恒成立问题，常用的方法是分离出参数，构造新函数，求出新函数的最值，得到参数的范围。‎