数学理卷·2018届江西省南昌三中高二下学期期末考试（2017-06）

数学理卷·2018届江西省南昌三中高二下学期期末考试（2017-06）

南昌三中2016-2017学年度下学期期末考试 高二数学（理）试卷 命题：施伟斌 审题：杨一博 一选择题 ‎1.设集合（ ）‎ ‎ A．（1，+） B． C．（0，+） D．‎ ‎2.在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(　　)‎ A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差 ‎3.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)＝(　　)‎ A.0.6‎‎ B.0.4 C.0.3 D.0.2‎ ‎4. 已知命题P：;命题q:函数的值域为R ,则P是q的( )‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5、已知函数f(x)＝ 则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是(　　)‎ A.{x|－1≤x≤－1} B.{x|x≤1} C.{x|x≤－1} D.{x|－－1≤x≤－1}‎ ‎6．设f(x)是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线x＝2对称，已知x∈[－2,2]时，函数f(x)＝－x2＋1，则x∈[－6，－2]时，f(x)等于 (　　)‎ A．－(x＋4)2＋1 B．－(x－4)2＋1C．－(x－4)2－1 D．－(x＋4)2－1‎ ‎7.已知集合若映射满足且，则这样的映射个数为（ ）‎ A．12 B.11 C.10 D.9‎ ‎8.若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（ ）‎ ‎（A） （B） （C）1 （D）2‎ ‎9.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为(　　)‎ A.－40 B.－20 C.20 D.40‎ 第7题图 ‎10.如图，、分别为棱长为1的正方体的棱、的中点，点、分别为面对角线和棱 上的动点（包括端点），则下列关于四面体E-FGH的体积说法正确的是（ ）‎ ‎ A）此四面体体积既存在最大值，也存在最小值；‎ ‎ B）此四面体的体积为定值；‎ ‎ C）此四面体体积只存在最小值； ‎ ‎ D）此四面体体积只存在最大值。‎ ‎11已知函数的对称中心为，记函数的导函数为，的导函数为，则有．若函数，则可求得（ ）‎ A. B． C. D． ‎ ‎12．设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为 ( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二． 填空题 ‎13.若实数满足，则的最大值是 。 ‎ ‎14.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为________‎ ‎15. 如图,网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 .‎ ‎16. 对于圆锥曲线，给出以下结论：‎ ‎ ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；‎ ‎ ②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为圆；‎ ‎ ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎ ④双曲线有相同的焦点.‎ ‎⑤椭圆C:上满足的点有4个（其中为椭圆C的焦点）.‎ ‎ 其中正确结论的序号为 （写出所有正确结论的序号）．‎ 二． 解答题 ‎17．已知命题p:的定义域为R，命题q：关于 的不等式>1的解集为R，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数的取值范围.‎ ‎18.如图，平面,四边形为矩形， ，为的中点，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值 ‎19.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．‎ ‎(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．‎ ‎(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？‎ ‎(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设A(-4，0)，过点R(3，0)作与x轴不重合的直线l交椭圆于P、Q两点，连结AP、AQ分别交直线于M、N两点，试问直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由。‎ ‎21.设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.‎ ‎(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；‎ ‎(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值.求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.已知圆锥曲线（为参数）和定点，、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值．‎ ‎23.设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.‎ ‎ (1)求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎ (2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围.‎ 高二数学（理）答案 一选择题 ‎1.设集合 （ B ）‎ ‎ A．（1，+） B． C．（0，+） D．‎ ‎2.在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(　　)‎ A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差 ‎3.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)＝(　C　)‎ A.0.6‎‎ B.0.4 C.0.3 D.0.2‎ ‎4、已知命题P：;命题q:函数的值域为R ,则P是q的( C )‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.已知函数f(x)＝ 则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是(　C　)‎ A.{x|－1≤x≤－1} B.{x|x≤1} C.{x|x≤－1} D.{x|－－1≤x≤－1}‎ ‎6．设f(x)是定义域在R上的偶函数，它的图象关于直线x＝2对称，已知x∈[－2,2]时，函数f(x)＝－x2＋1，则x∈[－6，－2]时，f(x)等于 (　　)‎ A．－(x＋4)2＋1 B．－(x－4)2＋1C．－(x－4)2－1 D．－(x＋4)2－1‎ 解析：∵f(x)是R上的偶函数，它的图象关于直线x＝2对称．∴f(－x)＝f(x)，f(x＋4)＝f(－x)∴f(x)＝f(x＋4)．当x∈[－6，－2]时，x＋4∈[－2,2]．则f(x)＝f(x＋4)＝－(x＋4)2＋1，‎ ‎7.已知集合若映射满足且，则这样的映射个数为 （ B ）‎ A．12 B.11 C.10 D.9‎ ‎8.若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（ C ）（A） （B） （C）1 （D）2‎ ‎9.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为(　　)‎ A.－40 B.－20 C.20 D.40‎ 解：令x＝1，可得a＋1＝2，a＝1，的展开式中项的系数为C22(－1)3，x项的系数为 C23，∴(2x－)5的展开式中常数项为C22(－1)＋C23＝40.故选D.‎ 第7题图 ‎10..如图，、分别为棱长为1的正方体的棱、的中点，点、分别为面对角线和棱上的动点（包括端点） （ A ）‎ ‎ A）此四面体体积既存在最大值，也存在最小值；‎ ‎ B）此四面体的体积为定值；‎ ‎ C）此四面体体积只存在最小值； ‎ ‎ D）此四面体体积只存在最大值。‎ 答案：A ‎11已知函数的对称中心为，记函数的导函数为，的导函数为，则有．若函数，则可求得（ ）‎ A. B． C. D． ‎ 答案：D ‎12．设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为 ( A )‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二． 填空题 ‎13.、若实数满足，则的最大值是__9__。 ‎ ‎14. 15已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为 ‎________{x|x<－lg2}‎ ‎15..如图,网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为_____3______‎ ‎ A.2 B. C.2 D.3‎ ‎16. 对于圆锥曲线，给出以下结论：‎ ‎ ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；‎ ‎ ②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为圆；‎ ‎ ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎ ④双曲线有相同的焦点.‎ ‎⑤椭圆C:上满足的点有4个（其中为椭圆C的焦点）.‎ ‎ 其中正确结论的序号为 ▲ （写出所有正确结论的序号）．‎ 答案：②③④‎ 三． 解答题 ‎17．已知命题p:的定义域为R，命题q：关于 的不等式>1的解集为R，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数的取值范围.‎ 解：p为真命题时， ‎ ‎ P为真命题时，令 ‎ ‎ 的解集为R ‎ ‎ 又“p或q为真”，“p且q”为假 P，q中一真一假 ‎ ‎ ‎ a的取值范围是 ‎ ‎18.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．‎ ‎(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．‎ ‎(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？‎ ‎(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．‎ ‎17．解：(1)X可能的取值为10，20，100，－200.‎ 根据题意，有 P(X＝10)＝C××＝，‎ P(X＝20)＝C××＝，‎ P(X＝100)＝C××＝，‎ P(X＝－200)＝C××＝.‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎10‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎－200‎ P ‎(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.‎ 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－＝1－＝.‎ 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.‎ ‎(3)由(1)知，X的数学期望为EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－.‎ 这表明，获得分数X的均值为负．‎ 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．‎ ‎19.如图，平面,四边形底面为矩形， ，为的中点，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值 ‎19（本小题满分12分）‎ ‎（I）证明：连接，因为，是的中点，故.‎ ‎ 又因为平面平面，面面，面，‎ 故平面. ‎ ‎ 因为面，于是. ……………………2分 又，，所以平面，所以. ……………………4分 ‎ 又因为，，故平面， ……………………5分 所以. ……………………6分 ‎（Ⅱ）由（I）得，，不妨设，取的中点，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系。因为，所以，，于是有，从而，，设平面的法向量，由 得得， …………………………9分 同理，可求得平面的一个法向量，设的夹角为，‎ 则， …………………………11分 由于二面角为钝二面角，所以所求余弦值为. …………………………12分 ‎20.（本小题满分13分）‎ 已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为 ‎，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设A(-4，0)，过点R(3，0)作与x轴不重合的直线l交椭圆于P、Q两点，联结AP、AQ分别交直线于M、N两点，试问直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由。‎ ‎【解】（1）由题意：………2′‎ ‎，∴a2=16………3′‎ 故椭圆C的方程为………4′‎ ‎（2）设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，‎ 若PQ⊥y轴，则M、N中有一点与A重合，与题意不符 故可设直线PQ：x=my+3.………5′‎ 将其与椭圆方程联立，消去x得：(3m2+4)y2+18my-21=0………6′‎ ‎，………7′‎ 由A、P、M三点共线可知，，，………8′‎ 同理可得………9′‎ ‎………10′‎ 而………11′‎ ‎∴‎ 故直线MR、NR的斜率为定值.………13′‎ ‎21.设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.‎ ‎(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；‎ ‎(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值.求实数a的取值范围.‎ ‎9.解　(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a.‎ 可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)，‎ 则g′(x)＝－2a＝.‎ 当a≤0时，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；‎ 当a＞0时，x∈时，g′(x)＞0时，函数g(x)单调递增，‎ x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减.‎ 所以当a≤0时，g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；‎ 当a＞0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎(2)由(1)知，f′(1)＝0.‎ ‎①当a≤0时，f′(x)单调递增，‎ 所以当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，‎ 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，‎ 所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意.‎ ‎②当0＜a＜时，＞1，由(1)知f′(x)在内单调递增.‎ 可得当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，x∈时，f′(x)＞0.‎ 所以f(x)在(0，1)内单调递减，在内单调递增.‎ 所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意.‎ ‎③当a＝时，＝1，f′(x)在(0，1)内单调递增，‎ 在(1，＋∞)内单调递减.‎ 所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意.‎ ‎④当a＞时，0＜＜1，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，‎ 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减.‎ 所以f(x)在x＝1处取极大值，合题意 .‎ 综上可知，实数a的取值范围为.‎ ‎（23）（本小题满分10分）‎ ‎22.已知圆锥曲线（为参数）和定点，、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值．‎ ‎23）解：（Ⅰ）曲线可化为， …………………2分 其轨迹为椭圆，焦点为. ………………………3分 ‎ 经过和的直线方程为,即. ………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的斜率为，因为，所以的斜率为，倾斜角为，‎ 所以的参数方程为 （为参数）， ……………7分 代入椭圆的方程中，得. ……………8分 因为在点的两侧，所以. …………10分 ‎23.设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.‎ ‎ (1)求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎ (2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围.‎ ‎ 4.解(1)f(x)＝所以原不等式转化为或或所以原不等式的解集为∪[6,＋∞).‎ ‎(2)只要f(x)max＜t2－3t，由(1)知f(x)max＝－1＜t2－3t解得t＞或t＜.即t的取值范围是∪，‎ ‎ ‎