【推荐】专题1-1+命题及其关系-试题君之K三关2017-2018学年高二数学人教版（选修1-1）x

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第一章 常用逻辑用语 ‎1.1 命题及其关系 ‎1．命题 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_______叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ 在本章中，我们只讨论具有“若p，则q”这种形式的命题，通常把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．‎ 注意：（1）一个数学命题要么是真命题，要么是假命题，但不能既真又假，也不能模棱两可、无法判断其真假．数学中的定义、定理、公理都是真命题．‎ ‎（2）有一些语句，虽然目前还不能判断它的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假．我们把这一类语句也算作命题，如“神农架野人”，虽然目前还不能确定有没有野人，但是随着时间的推移，人们是能够考察清楚的．‎ ‎（3）数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式．关键是分清命题的条件和结论．‎ ‎2．四种命题 ‎（1）原命题与逆命题 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”．‎ ‎（2）否命题 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的___________，我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若，则”．‎ ‎（3）逆否命题 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的__________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题．‎ 也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若，则”．‎ 注意：在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或重复．‎ ‎3．四种命题间的相互关系 一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如图所示：‎ 一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：‎ 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：‎ ‎（1）两个命题互为逆否命题，它们有________真假性；‎ ‎（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．‎ 注意：（1）互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一．‎ ‎（2）在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0，2，4．‎ K知识参考答案：‎ ‎1．陈述句 ‎2．（1）结论和条件 （2）条件的否定和结论的否定 （3）结论的否定和条件的否定 ‎3．（1）相同的 （2）没有关系 K—重点 四种命题及其关系，命题真假的判断 K—难点 涉及命题真假判断的多选型试题 K—易错 对于含有大前提的命题，改写时，易忽略大前提 命题的概念及真假判断 ‎（1）判断一个语句是不是命题，关键看两点：‎ 第一，是否是“陈述句”；第二，是否“可以判断真假”．‎ 这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．‎ ‎（2）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．‎ ‎（3）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．‎ 另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断．‎ 下列语句是命题的序号为________．‎ ‎①风景这边独好； ②求证是无理数；‎ ‎③函数是上的偶函数； ④火星上有水；‎ ‎⑤若，则； ⑥．‎ ‎【答案】③④⑤‎ ‎【解析】①不是命题．因为评价风景好坏的标准不一致，因此不能作出判断．‎ ‎②不是命题．因为它是祈使句，不是陈述句，所以不是命题．‎ ‎③是命题．因为由偶函数的定义可以作出判断，所以是命题．‎ ‎④是命题．因为随着科学技术的发展和时间的推移是可以作出判断的，所以是命题．‎ ‎⑤是命题．因为由不能推出，可以作出判断．‎ ‎⑥不是命题．因为字母的性质不明确，所以不是命题．‎ ‎【名师点睛】本题中的⑤⑥含有字母，对于判断这种含有字母的语句是否为命题时，需注意字母的性质是否明确．若明确，即能判断其真假，则是命题，否则就不是命题．‎ 指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假：‎ ‎（1）若，则成等比数列；‎ ‎（2）正角的正弦值是正数；‎ ‎（3）函数的图象关于y轴对称；‎ ‎（4）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．‎ ‎【答案】（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）真命题．‎ ‎【解析】（1）命题的条件为“”，结论为“成等比数列”，当时，不成等比数列，所以是假命题．‎ ‎（2）写成“若p，则q”的形式为：若一个角是正角，则这个角的正弦值是正数．则该命题的条件为“一个角是正角”，结论为“这个角的正弦值是正数”，由于，所以是假命题．‎ ‎（3）写成“若p，则q”的形式为：若函数为，则其图象关于y轴对称．命题的条件为“函数为”，结论为“该函数的图象关于y轴对称”．由于，所以是偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，是真命题．‎ ‎（4）写成“若p，则q”的形式为：若有两个正数，则它们的算术平均数不小于它们的几何平均数． 命题的条件为“两个正数”，结论为“它们的算术平均数不小于它们的几何平均数”． 基本不等式一定成立，而表示两个正数的算术平均数，表示两个正数的几何平均数，所以此命题是真命题．‎ ‎【名师点睛】“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，需要把这个命题补充完整，确定命题的条件和结论．即对于不是“若p，则q”形式的命题，一般先找到条件和结论，然后加上“若”和“则”，即可写成“若p，则q”的形式，从而判断命题的真假．‎ 四种命题 由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论．‎ ‎（1）将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题．‎ ‎（2）将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题．否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词．‎ ‎（3）先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题．也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题．‎ 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假：‎ ‎①负数小于零．‎ ‎②在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】①原命题：若一个数是负数，则它小于零．是真命题．‎ 逆命题：若一个数小于零，则它是负数．是真命题．‎ 否命题：若一个数不是负数，则它不小于零．是真命题．‎ 逆否命题：若一个数不小于零，则它不是负数．是真命题．‎ ‎②原命题：在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行．是假命题．‎ 逆命题：在空间中，若两条直线平行，则它们平行于同一个平面．是假命题．‎ 否命题：在空间中，若两条直线不平行于同一个平面，则这两条直线不平行．是假命题．‎ 逆否命题：在空间中，若两条直线不平行，则它们不平行于同一个平面．是假命题．‎ ‎【名师点睛】对于①，“小于”的否定是“不小于”，而不是“大于”，因为“不小于”包括了“大于和等于”．‎ 四种命题间的相互关系 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题较困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．‎ 已知奇函数是定义在上的增函数，，若，求证：．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】若，即．‎ 因为是定义在上的增函数，所以．‎ 又是奇函数，所以，则，即．‎ 则原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真命题．‎ 故若，则．‎ ‎【名师点睛】直接证明本题比较困难，不容易找到思路，转而利用原命题和它的逆否命题有相同的真假性，证明逆否命题为真命题，从而得到原命题为真命题，这是我们所讲的“正难则反”策略，在解题时经常用到，注意掌握．‎ 由命题的真假性求参数的值或取值范围 对于此类问题，若由已知条件可以得出一个真命题，即可据此建立相应的不等式或方程求解．解题时要善于从条件中寻找解题思路，善于构造性质、定理等运用的条件．‎ ‎（1）已知，求为假命题时的取值范围；‎ ‎（2）已知在上为减函数，求为真命题时的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）为假命题，则为真命题．‎ 由得，解得．‎ 故为假命题时的取值范围是．‎ ‎（2）当时，，满足在上为减函数；‎ 当时，由已知可得，解得．‎ 故为真命题时的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】本题把分式不等式的解法、函数的单调性和命题结合起来考查，要注意知识的灵活性．‎ 改写命题时，忽略大前提 将命题“当时，函数的值随的减小而减小”写成“若，则”的形式，并写出其逆命题、否命题和逆否命题．‎ ‎【错解】“若，则”的形式：若，则函数的值随的减小而减小．‎ 逆命题：若函数的值随的减小而减小，则．‎ 否命题：若，则函数的值随的不减小而不减小．‎ 逆否命题：若函数的值随的不减小而不减小，则．‎ ‎ 【错因分析】原命题有两个条件：和减小，其中是大前提，将原命题改写为“若，则”的形式时，要把置于“若”字的前面，把减小作为条件．‎ ‎【正解】“若，则”的形式：当时，若减小，则函数的值也减小．‎ 逆命题：当时，若函数的值减小，则也减小．‎ 否命题：当时，若不减小，则函数的值也不减小．‎ 逆否命题：当时，若函数的值不减小，则也不减小．‎ ‎【名师点睛】（1）有大前提的命题改写成“若，则”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若，则”．‎ ‎（2）对于含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变．‎ ‎1．下列语句是命题的是 A． B．‎ C．你会跳舞吗？ D．这是一棵大树 ‎2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是 A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直 C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是平行四边形 ‎3．“若，则”的否命题为 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎4．下列命题中，真命题的个数是 ‎①若，，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若，则；‎ ‎④若，则．‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎5．命题“若，则”的逆否命题是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎6．有下列四个命题：‎ ‎（1）过三点确定一个平面；‎ ‎（2）矩形是平面图形；‎ ‎（3）三条直线两两相交，则确定一个平面；‎ ‎（4）两个相交平面把空间分成四个区域．‎ 其中假命题的序号是 A．（1）和（2） B．（1）和（3）‎ C．（2）和（4） D．（2）和（3）‎ ‎7．下列命题中，为真命题的是 A．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 B．底面是矩形的平行六面体是长方体 C．棱柱的底面一定是平行四边形 D．棱锥的底面一定是三角形 ‎8．若的否命题是命题的逆否命题，则命题是命题的 A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．与是同一命题 ‎9．命题“若，则”的否命题为___________________．‎ ‎10．已知命题 “若，则恒成立”是真命题，则实数的取值范围为___________________．‎ ‎11．记命题为“若，则”，则在命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是___________________．‎ ‎12．判断下列命题的真假，并说明理由．‎ ‎（1）函数是指数函数；‎ ‎（2）关于的方程有唯一解．‎ ‎13．写出命题“如果一个整数的末位数是，则这个整数可以被整除”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．‎ ‎14．已知下列命题：‎ ‎①的图象是一条直线；‎ ‎②若函数的定义域是，则它的值域是；‎ ‎③若函数的定义域是，则它的值域是；‎ ‎④若函数的值域是，则它的定义域一定是，‎ 其中假命题的个数是 A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎15．下面命题为真命题的是 A．已知直线，点，直线，则与异面 B．已知直线，直线，则 C．已知平面，直线，直线，则 D．若直线与所成的角相等，则 ‎16．有下列四个命题：‎ ‎①“若，则互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若，则有实根”的逆否命题；‎ ‎④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．‎ 其中真命题为 A．①② B．②③‎ C．①③ D．③④‎ ‎17．已知命题：“若，则都等于”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 A． B．‎ C． D．‎ ‎18．已知定义在上的奇函数满足，且时，，给出下列命题：‎ ‎①；‎ ‎②函数在上是增函数；‎ ‎③函数的图象关于直线对称；‎ ‎④若，则关于的方程在上的所有根之和为．‎ 其中真命题为___________________．（填上所有真命题的序号）‎ ‎19．判断下列命题的真假：‎ ‎（1）已知，，，，若，，则；‎ ‎（2）对任意的，都有成立；‎ ‎（3）若，则方程无实数根；‎ ‎（4）存在一个三角形没有外接圆．‎ ‎20．已知函数在区间上是增函数，，．‎ ‎（1）求证：若，则；‎ ‎（2）判断（1）中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论．‎ ‎21．（2015山东文）设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是 A．若方程有实根，则 B．若方程有实根，则 C．若方程没有实根，则 D．若方程没有实根，则 ‎22．（2014陕西文）原命题为“若，，则为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 ‎23．（2013天津）已知下列三个命题：‎ ‎①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；‎ ‎②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；‎ ‎③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切，‎ 其中真命题的序号是 A．①②③ B．①②‎ C．①③ D．②③‎ ‎24．（2017北京文）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的 一组整数a，b，c的值依次为___________________．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】A中x不确定，的真假无法判断；B中是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．故选B．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】把命题改写成“若，则”的形式后可知C正确．故选C．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】原命题的否命题需将条件和结论分别否定，的否定是，的否定是，因此命题的否命题为若，则．故选C．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】①中当时不成立；②中时不成立；③中时不成立；④成立．故真命题的个数是1，故选B．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故选C．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】（1）过不共线的三点确定一个平面，故（1）为假命题；‎ ‎（2）“矩形是平面图形”是真命题；‎ ‎（3）三条直线两两相交且不交于同一点，确定一个平面，故（3）是假命题；‎ ‎（4）两个相交平面把空间分成四个区域是真命题．‎ 故选B．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】对于B，底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B为假命题；对于C，棱柱的底面是平面多边形，不一定是平行四边形，故C为假命题；对于D，棱锥的底面是平面多边形，不一定是三角形，故D是假命题．故选A．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】设：若，则，则的否命题为若，则，从而命题为若，则，则命题是命题的逆命题，故选A．‎ ‎9．【答案】若，则 ‎【解析】“若，则”的否命题为“若，则”，所以“若，则”的否命题为“若，则”．‎ ‎10．【答案】‎ ‎【解析】由题意得，解得．故实数的取值范围为．‎ ‎11．【答案】‎ ‎【解析】命题为“若，则”，显然为真命题，所以其逆否命题也为真命题；‎ 命题的逆命题为“若，则”，为假命题，所以其逆否命题，即命题的否命题也为假命题．故真命题的个数是．‎ ‎12．【答案】（1）假命题；（2）假命题．‎ ‎【解析】（1）当且时，函数是指数函数，所以原命题是假命题．‎ ‎（2）关于的方程可化为，当时，方程无解；‎ 当时，方程有唯一解，所以原命题是假命题．‎ ‎13．【答案】见解析．‎ ‎【解析】逆命题：如果一个整数可以被整除，则这个整数的末位数是，假命题．‎ 否命题：如果一个整数的末位数不是，则这个整数不能被整除，假命题．‎ 逆否命题：如果一个整数不能被整除，则这个整数的末位数不是，真命题．‎ ‎14．【答案】D ‎【解析】①的定义域是，所以不是一条直线，是假命题；②的值域应是，所以是假命题；③的值域是，所以是假命题；④不一定是，可以是其子集，所以也是假命题，故选D．‎ ‎15．【答案】C ‎【解析】对于A，已知直线，点，直线，，则与异面、相交或平行，故为假命题；‎ 对于B，已知直线，直线，则或，故为假命题；‎ 对于C，垂直于同一直线的两个平面平行，故为真命题；‎ 对于D，当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的位置关系不能确定，故为假命题．‎ ‎16．【答案】C ‎【解析】①的逆命题为“若互为相反数，则”，是真命题；②的否命题为“不全等的三角形面积不相等”，为假命题；③，当时，，方程有实根，为真命题，逆否命题与原命题同真同假，所以逆否命题为真命题；④逆命题为“三角形三个内角相等，则三角形是不等边三角形”，为假命题．故选C．‎ ‎17．【答案】D ‎【解析】逆命题为若都等于，则，是真命题；‎ 否命题为若，则不都等于，是真命题；‎ 逆否命题为若不都等于，则，是真命题．故选D．‎ ‎18．【答案】①④‎ ‎【解析】根据题意知函数为周期函数，且最小正周期为，根据函数为奇函数，得，从而函数图象关于直线对称，所以③为假命题；，故①为真命题；结合函数的性质，画出函数的草图，可知函数在上是减函数，故②为假命题，结合函数图象，可知关于的方程在上的所有根之和为，故④为真命题，故答案为①④．‎ ‎19．【答案】（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题．‎ ‎【解析】（1）假命题．反例：，，而．‎ ‎（2）假命题．反例：当时，不成立．‎ ‎（3）真命题．，∴方程无实数根．‎ ‎（4）假命题．因为不共线的三点确定一个圆．‎ ‎20．【答案】（1）证明见解析；（2）正确，证明见解析．‎ ‎【解析】（1）由，可得．‎ 由函数在区间上是增函数，得，同理可得，‎ 所以，即．‎ ‎（2）（1）中命题的逆命题是若，则，此逆命题为真命题．‎ 假设不成立，则，，，‎ 根据的单调性，得，，‎ 所以，‎ 这与已知相矛盾，故不成立，即成立，‎ 因此（1）中命题的逆命题是真命题．‎ ‎21．【答案】D ‎【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D．‎ ‎22．【答案】A ‎【解析】由为递减数列，所以原命题为真命题．‎ 逆命题：若为递减数列，则，．‎ 若为递减数列，则，即，所以逆命题为真命题．‎ 因为逆否命题的真假和原命题的真假相同，否命题的真假和逆命题的真假相同，所以逆否命题、否命题也为真命题．‎ 故选A．‎ ‎23．【答案】C ‎【解析】①设球的半径为，缩小后半径为r，则r＝，因为，，所以该球体积缩小到原来的，故①为真命题；‎ ‎②两组数据的平均数相等，它们的标准差可能不相等，故②为假命题；‎ ‎③圆的圆心到直线x＋y＋1＝0的距离，因为该距离等于圆的半径，所以直线与圆相切，故③为真命题．‎ 故选C．‎ ‎24．【答案】−1，−2，−3（答案不唯一）‎ ‎【解析】，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题．‎ ‎【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．‎ ‎ ‎