2013-2017高考数学分类汇编-文科 第七章 不等式 第3节 基本不等式及其应用

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2013-2017高考数学分类汇编-文科 第七章 不等式 第3节 基本不等式及其应用

第3节 基本不等式及其应用 题型86 利用基本不等式求函数最值 ‎1. (2013山东文12)设正实数,,满足,则当取得最大 值时,的最大值为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎1.分析 含三个参数,消元,利用基本不等式及配方法求最值.‎ 解析 ,所以 ‎.‎ 当且仅当,即时“=”成立,此时,‎ 所以.‎ 所以当时,取最大值2.故选C.‎ ‎2. (2013重庆文7) 关于的不等式的解集为,且,则 ( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.分析 利用因式分解法解一元二次不等式寻求的关系式后代入求解.‎ 解析 由得,即,‎ 故原不等式的解集为.‎ 由得,即,所以.故选A.‎ ‎3.(2013四川文13) 已知函数在时取得最小值,则 .‎ ‎3.分析 借助基本不等式求最值的条件求解.‎ 解析 ,当且仅当,即时等号成立,此时取得最小值.又由已知时,,所以,即.‎ ‎4. (2013天津文14) 设,, 则的最小值为 . ‎ ‎4.分析 分和,去掉绝对值符号,用均值不等式求解.‎ 解析 当时,‎ 当,‎ 综上所述,的最小值是 ‎5. (2013辽宁文21)(1)证明:当时,;‎ ‎(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎5.分析 利用构造法,分别判断与,与的大小关系;利用比较法或构造函数,通过导数求解范围.‎ 解析 (1)证明:记,则,‎ 当时,,在上是增函数;‎ 当时,,在上是减函数.‎ 又,,所以当时,,即.‎ 记,则当时,,所以在上是减函数,则,即.‎ 综上,,.‎ ‎(2)解法一:因为当时,‎ ‎,‎ 所以,当时,不等式对恒成立.‎ 下面证明,当时,不等式对不恒成立.‎ 因为当时,‎ ‎,‎ 所以存在 满足,‎ 即当时,不等式对不恒成立.‎ 综上,实数的取值范围是.‎ ‎ 解法二:记,则 ‎.‎ 记,则.‎ 当时,,因此.‎ 于是在上是减函数,因此,当时,,故当时,,从而在上是减函数,所以,即当时,不等式对恒成立.‎ 下面证明,当时,不等式对不恒成立.‎ 当时,,所以当时,,‎ 因此在上是增函数,故;‎ 当时,.‎ 又,故存在使,则当时,,所以在上是增函数,所以当时,.‎ 所以当时,不等式,对不恒成立.‎ 综上,实数的取值范围是.‎ ‎6.(2014重庆文9)若的最小值是( ).‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎7.(2014江苏14)若的内角满足,则的最小值是 .‎ ‎8.(2014江西文13)在等差数列中,,公差为,前项和为,当且仅当时取得最大值,则的取值范围 .‎ ‎9.(2014江苏14)若的内角满足,则的最小值是 .‎ ‎10.(2014江西文13)在等差数列中,,公差为,前项和为,当且仅当时取得最大值,则的取值范围 .‎ ‎11.(2014辽宁文16)对于,当非零实数,满足,且使最大时,的最小值为 .‎ ‎12.(2015福建文5)若直线过点,则的最小值等于( ).‎ A.2 B.‎3 C.4 D.5‎ ‎12.解析 由已知可得,则.‎ 因为,,所以,‎ 故,当且仅当,即时取等号.‎ ‎13.(2015山东文14)定义运算“”:. 当 ‎ 时, 的最小值为 .‎ ‎13.解析 由所给新定义运算,可知 ‎.又,,所以,‎ 当且仅当,即时,取等号. 故所求最小值为.‎ ‎14.(2015重庆文14)设,,则的最大值为 ________.‎ ‎14.解析 令,则.因为,‎ 所以.故的最大值为.‎ ‎15.(2016上海文13)设,若关于的方程组无解,则的取值范围是 .‎ ‎15.解析 解法一:即线性方程组表示两条平行的直线,故由条件,且,所以.故填.‎ 解法二:将方程组中的①式化简得,代入②式整理得,‎ 方程组无解应该满足且,所以且,‎ 所以由基本不等式得.故填.‎ 评注 或.‎ ‎16.(2017山东文12)若直线过点,则的最小值为 .‎ ‎16.解析 由题意,,故(当且仅当,即时等号成立).‎ ‎17.(2017天津文13)若a,,,则的最小值为 .‎ ‎17.解析 ,‎ 当且仅当,即时取等号.‎ ‎18.(2017江苏10)某公司一年购买某种货物吨,每次购买吨,运费为万元次,一年的总存储费用为万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则的值是 .‎ ‎18.解析 一年的总运费与总存储费用之和为,‎ 当且仅当,即时取等号.故填.‎ 题型87 利用基本不等式证明不等式——暂无 题型 基本不等式及其应用 ‎1.(2015湖南文7)若实数,满足,则的最小值为( ).‎ A. B. ‎2 C. 2 D. 4‎ ‎1.解析 由可知. 由基本不等式可得:‎ ‎. 所以,解得,‎ 当且仅当时取等号,即的最小值为.故选C.‎ ‎ 不等式的解法(蓝色的是2015年多的分类)‎ 题型 不等式的解法 ‎1.(2015广东文11)不等式的解集为 (用区间表示).‎ ‎1.解析 由,得,即,解得,‎ 所以不等式的解集为.故应填.‎ ‎2.(2015江苏7)不等式的解集为 .‎ ‎2.解析 由题意,根据是单调递增函数,得,‎ 即,故不等式的解集为或写成 ‎3.(2015全国2文12)设函数,则使得成立 的的取值范围是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.解析 由题意知,即为偶函数.因为,‎ 所以在上是增函数,所以使成立的条件 是 .所以,解之得 .故选A.‎ ‎4.(2015山东文8)若函数是奇函数,则使成立的的取值范围为 ‎( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎4.解析 因为为奇函数,所以对定义域内的每一个,均有,‎ 即.整理得,所以,‎ 所以.令,得.所以,所以.故选C.‎ 题型 绝对值不等式的解法 ‎1.(2015天津文4)设,则“”是“”的( ).‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎1.解析 由,可知“”是“”‎ 的充分而不必要条件.故选A.‎ ‎ 不等式的综合 题型 不等式恒成立问题中求参数的取值范围 题型 函数与不等式综合 ‎1.(2015四川文21)已知函数,其中.‎ ‎(1)设为的导函数,讨论的单调性;‎ ‎(2)求证:存在,使得恒成立,并且在区间内有唯一解.‎ ‎1.解析 (1)由已知可得函数的定义域为.‎ ‎,所以,‎ 当时,,单调递减; ‎ 当时,,单调递增.‎ ‎(2)由,解得,‎ 令.‎ 则,,所以存在,使得.‎ 令,其中.‎ 由,可知函数在区间上单调递增.‎ 故,即.‎ 当时,有,,‎ 再由(1)可知,在区间上单调递增.‎ 当时,,所以;‎ 当时,,所以.‎ 又当时,,故时,.‎ 综上所述,存在,使得恒成立,‎ 且在区间内有唯一解.‎ ‎2.(2015福建文21)已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期;‎ ‎(2)将函数的图像向右平移个单位长度,再向下平移()个单位长度 后得到函数的图像,且函数的最大值为2.‎ ‎(ⅰ)求函数的解析式;‎ ‎(ⅱ)求证:存在无穷多个互不相同的正整数,使得.‎ ‎2.解析 (1)因为 ‎.‎ 所以函数的最小正周期.‎ ‎(2)(i)将的图像向右平移个单位长度后得到的图像,‎ 再向下平移个单位长度后得到的图像.又函数 的最大值为2,所以,解得.所以.‎ ‎(ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数,使得,就是要证明 存在无穷多个互不相同的正整数,使得,即.‎ 由知,存在,使得.‎ 由正弦函数的性质可知,当时,均有.‎ 因为的周期为,‎ 所以当时,均有.‎ 因为对任意的整数,,‎ 所以对任意的正整数,都存在正整数,‎ 使得.即存在无穷多个互不相同的正整数,使得.‎ ‎3.(2015福建文22)已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调递增区间;‎ ‎(2)求证:当时,;‎ ‎(3)确定实数的所有可能取值,使得存在,当时,恒有.‎ ‎3.解析 (1),.‎ 由,得,解得.‎ 故的单调递增区间是.‎ ‎(2)令,.则有,‎ 当时,,所以在上单调递减,‎ 故当时,,即当时,.‎ ‎(3)由(2)知,当时,不存在满足题意;‎ 当时,对于,有,则,‎ 从而不存在满足题意.‎ 当时,令,,‎ 则有.‎ 由得,.‎ 解得(舍),.‎ 当时,,故在上单调递增.‎ 从而当时,,即.‎ 综上,的取值范围是.‎ ‎4.(2015广东文21)设为实数,函数.‎ ‎(1)若,求的取值范围;‎ ‎(2)讨论的单调性;‎ ‎(3)当时,讨论在区间内的零点个数.‎ ‎4.解析 (1),因为,所以.‎ 当时,,显然成立;‎ 当时,则有,所以,所以.‎ 综上所述,的取值范围是.‎ ‎(2),‎ 对于,其对称轴为,‎ 开口向上,所以在上单调递增;‎ 对于,其对称轴为,‎ 开口向上,所以在上单调递减.‎ 综上,在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(3)由(2)得在上单调递增,在上单调递减,‎ 所以.‎ ‎(i)当时,,.‎ 令=0,即.‎ 因为在上单调递减,所以.‎ 而在上单调递增,.‎ 所以在上,故与在无交点.‎ 当时,,即.‎ 所以,所以.因为,所以.‎ 故当时,有一个零点.‎ ‎(ii)当时,,‎ 当时, ,,‎ 而在上单调递增,当时,.‎ 下面比较与的大小:‎ 因为 ‎,所以.‎ 结合图像可知当时,与有两个交点. ‎ 综上,当时,有一个零点;‎ 当时,与有两个零点.‎ ‎5.(2015全国2文21)已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)当有最大值,且最大值大于时,求的取值范围.‎ ‎5.解析 (1)的定义域为,.‎ 若,则,所以在上单调递增.‎ 若,则当时,;当时,,‎ 所以在 上单调递增, 在上单调递减.‎ ‎(2)由(1)知,当时,在上无最大值;‎ 当时,在处取得最大值,最大值为.‎ 因此等价于.‎ 令,则在上单调递增,又.‎ 于是,当时,;当时,.‎ 因此,的取值范围是.‎ ‎6.(2015湖南文21)函数,记为的从小到大的第 个极值点.‎ ‎(1)证明:数列是等比数列;‎ ‎(2)若对一切恒成立,求的取值范围.‎ ‎6.解析 (1).‎ 令,由,得,即, ‎ 若,即,则;‎ 若,即,则.‎ 因此,在区间与上,的符号总相反,‎ 于是当时,取得极值,所以,‎ 此时,,易知,‎ 而是常数,‎ 故数列是首项为,公比为的等比数列.‎ ‎(2)对一切恒成立,即恒成立,‎ 亦即恒成立(因为),‎ ‎ 设,则,令得,‎ 当时,,所以在区间上单调递减;‎ 当时,,所以在区间上单调递增;‎ 因为,且当时,,‎ 所以,‎ 因此恒成立,当且仅当,解得,‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎7.(2015天津文20)已知函数其中,且.‎ ‎(1)求的单调性;‎ ‎(2)设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;‎ ‎(3)若方程(为实数)有两个正实数根,,且,求证:‎ ‎.‎ ‎7.解析 (1)由,可得,‎ 当 ,即时,函数 单调递增;‎ 当,即时,函数单调递减.‎ 所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.‎ ‎(2)设 ,则 ,且,得,‎ 曲线 在点处的切线方程为 ,即,‎ 令 即 则.‎ 由于在 单调递减,故在 单调递减,‎ 又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,‎ 所以对任意的实数, ,对于任意的正实数,都有.‎ ‎(3)由(2)知,设方程的根为,‎ 可得,因为在上单调递减,‎ 又由(2)知,所以 .‎ 设曲线在原点处的切线为,可得,‎ 对任意的,有,即.‎ 设方程 的根为,可得,‎ 因为在单调递增,且,‎ 因此,所以.‎ ‎8.(2015浙江文20)设函数.‎ ‎(1)当时,求函数在上的最小值的表达式;‎ ‎(2)已知函数在上存在零点,,求的取值范围. ‎ ‎8.解析 (1) ,对称轴.‎ 当,即时,;‎ 当,即时,;‎ 当,即时, .‎ 综上所述,.‎ ‎(2)假设在上的零点,则,‎ 所以,对称轴直线.‎ 当,即时,,综合,得;‎ 当,即时,,综合,得;‎ 当,即时,,‎ 综合,得;‎ 当,即时,,‎ 综合,得.‎ 综上所述,‎ ‎9.(2015湖北文21)设函数,的定义域均为,且是奇函数,是 偶函数,,其中为自然对数的底数.‎ ‎(1)求,的解析式,并证明:当时,,;‎ ‎(2)设,,证明:当时,.‎ ‎9.解析 (1)由,的奇偶性及条件 ① ‎ 得 ②‎ 联立式①式②解得,.‎ 当时,,,故. ③‎ 又由基本不等式,有,即. ④ ‎ ‎(2)由(1)得 , ⑤‎ ‎, ⑥‎ 当时,等价于, ⑦‎ ‎ 等价于 ⑧‎ 设函数 ,由式⑤式⑥,‎ 有 ‎ 当时,‎ ‎(1)若,由式③式④,得,故在上为增函数,‎ 从而,即,故式⑦成立.‎ ‎(2)若,由③④,得,故在上为减函数,‎ 从而,即,故式⑧成立.‎ 综合式⑦式⑧,得. ‎ ‎10.(2015陕西文21)设,,,.‎ ‎(1)求.‎ ‎(2)证明:在内有且仅有一个零点(记为),且.‎ ‎10.解析 (1)由题设,‎ 所以,‎ 所以,‎ 由错位相减法求得:‎ ‎,‎ 所以;‎ ‎(2)因为,,所以在内 至少存在一个零点,又,所以在内单调递增,‎ 因此,在内有且只有一个零点,由于,‎ 所以,由此可得,‎ 故,所以.‎ ‎11.(2015全国1文21)设函数.‎ ‎(1)讨论的导函数零点的个数;‎ ‎(2)求证:当时,.‎ ‎11.解析 (1),.‎ 显然当时,恒成立,无零点.‎ ‎ 当时,取,‎ 则,即单调递增.‎ 令,即.‎ 画出与的图像,如图所示.‎ 由图可知,必有零点,‎ 所以导函数存在唯一零点.‎ ‎(2)由(1)可知有唯一零点,设零点为,‎ 由图可知,则当时,,即单调递减;‎ 当时,,即单调递增.‎ 所以在处取得极小值,即.‎ 又,解得.①‎ ‎①两边分别取自然对数,得,即.‎ 所以 ‎(当且仅当,即时取等号).‎
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